例题与总结 一、有限单元法计算步骤 1 整理原始数据：将结构离散化、对单元和节点编号 i II I i (b) (a) y P/2 P/2 1 整理原始数据：将结构离散化、对单元和节点编号 y P/2 P/2 4 j m 3 i II 1m I x m 1 j 2 i 2m P/2 t P/2 (b) (a)

2 求单元I, II的形函数矩阵 （1）求单元I常数

（2）求单元I形函数矩阵

（3）求单元II常数

（2）求单元II形函数矩阵

3 求单元I, II的矩阵[B],[S]

同理得单元 II的矩阵[B],[S]

4 求单元刚度矩阵 （2-40） （2-17） （2-41）

将 代入

5 形成整体刚度矩阵 1 2 3 4 1 2 3 4 单元刚度矩阵按整体编码的分块形式 单元号 I II 局部码 i, j, m 5 形成整体刚度矩阵 单元刚度矩阵按整体编码的分块形式 单元号 I II 局部码 i, j, m i, j, m 整体码 2, 4, 1 4, 2, 3 单元刚度 换 码 1 2 3 4 1 2 3 4

4 求荷载列阵 （1） 求出每个单元的等效结点荷载 （2） 将每个单元的等效结点荷载子向量进行换码，换成对应的整体码 4 求荷载列阵 （1） 求出每个单元的等效结点荷载 （2） 将每个单元的等效结点荷载子向量进行换码，换成对应的整体码 （3） 将换码以后的等效结点荷载子向量送到整体结点荷载列阵的对应位置上 （4） 在同一位置上若送有几个单元的相应的等效结点荷载子向量，则进行叠加 （5） 如果结点上还有直接作用的结点荷载，也按结点码将结点荷载送到整体结点荷载列阵的对应位置上，进行相应的叠加 （6） 若结点i具有水平和垂直支撑，其支撑反力为未知量，可暂设

7 引入支撑条件 消去第1，2，7，8行及其对应的列，整体刚度矩阵为

8 解方程，求结点位移 设 解得： 得结构的结点位移向量

9 求单元应力 单元 I j I m i

单元 II i j m m II i j （2-17）

求出的单元应力，可设为单元重心处的应力 I II

10 求结点力及支撑反力

同 理

i m j II I j m i 验算单元结点力的平衡 0.209P 0.498P 0.28P 0.004P 0.422P 1.58P

校核结点平衡，求支撑反力 0.29P 1.07P 2.00P 0.42P 0.42P Rx1=2.00P 0.79P Ry1=1.07P （b）结点2 （a）结点1 0.209P 0.5P 0.28P 1.58P 0.422P 0.004P Rx4=2.00P 0.5P Ry4=-0.071P （c）结点3 （d）结点4

11 计算成果整理 （1） 各结点的结点位移 ：直接用结点的位移分量画出结构物的位移图线 11 计算成果整理 （1） 各结点的结点位移 ：直接用结点的位移分量画出结构物的位移图线 （2） 各单元的应力分量 ：三角形三结点单元是常应力和常应变，所以计算出来的应力分量 习惯于认为作用于单元形心处

在每个单元形心，沿主应力方向，以一定的比例尺标出主应力的大小（拉应力用箭头表示、压应力用平头表示），这样就可以得到整体结构的主应力分布图 对于不直接承受外荷载的边界单元，如果单元划分得足够小，则其一个主应力方向基本平行于边界、而另一个主应力方向应是基本垂直于边界，且其数值接近于零 需要指出：由常应变三角形单元计算出来的单元的常量应力，并不是单元内的平均应力，即使单元划分得足够小，它也常常会大于或小于单元内各点的实际应力，只是单元应力收敛于实际应力，因此，采取某种平均的计算方法，可以使得结构物内某一点的应力更接近于实际应力

通过大量的数值分析表明：用绕结点平均法计算出来的结点应力，在内结点处表述较好，但在边界结点处常常效果较差 1 2 3 4 a b c d e f g 1）边界内的应力 （a）两单元平均法 （b）绕结点平均法 2）边界上的应力 通过大量的数值分析表明：用绕结点平均法计算出来的结点应力，在内结点处表述较好，但在边界结点处常常效果较差

边界结点处的应力，要由内结点处的应力推算出来：拉格朗日公式 以上图中边界结点0处为例：先将0，1，2，3等结点之间的距离表示成下图的横坐标处，在以应力 为纵坐标，先标出 ， ， ，然后用光滑的曲线将 ， ，和 三点连起来，得到一条抛物线： x 1 x 2 3

y P/2 4 j m 3 i A II I m 1 j 2 i x P/2

二、例2： 求图示结构等效节点荷载，单元厚度为t

1 求常数 2 求形函数矩阵

3 求等效节点荷载

积分沿逆时针，

在ij边上x=0得：

如果　　　　　　：

三、几个问题的讨论 1 解答的收敛性 应变、应力转换矩阵 单元刚度矩阵 等效荷载向量 位移模式 为了保证解的收敛性，位移模式必须满足： 1 解答的收敛性 应变、应力转换矩阵 单元刚度矩阵 等效荷载向量 位移模式 为了保证解的收敛性，位移模式必须满足： （1） 应该包含有单元的刚体位移状态和常量应变状态，满足这个条件的单元称为完备单元； （2）应该保证相邻单元在公共边界处的位移是连续的，这种条件称为协调性或相容性

2 单元的划分 计算结果的精确度及计算量与单元划分直接相关 a 工程要求的精度； b 计算机的速度与容量； c 要符合所使用的程序功能 （1）单元的大小 应力的误差与单元尺寸成正比，位移误差与单元尺寸的平方成正比 网络划分过细、计算量增大

不同部位，采用大小不同的单元 a 应力和位移状态需要了解得比较详细的重要部位； b 位移与应力变化得比较剧烈的部位； 策略： 首先用比较均匀的单元网络作预算，然后对重要部位，重新划分单元，再算； （2）单元的形状 由有限单元法误差分析可知：应力与位移的误差与单元的最小内角正弦成反比；也就是说，内角太小的单元容易引起较大误差，对于三角形单元来说，等边三角形的精度最好。

（3）结构厚度和弹性常数有突变时的单元划分 应力有突变 厚度、弹性常数的突变线作为单元的分界线 保证了每一个单元的厚度、弹性常数、泊松比是常数

3 结构对称性的利用 （1） 正对称性荷载的对称性利用 y y P/2 P Q x o b x b o P 结构结点位移应对称： x 轴上结点在 y 方向位移为零 y 轴上结点在 x 方向位移为零

（2） 反对称性荷载的对称性利用 y y P P x o x 结构结点位移是反对称的： 对称轴上的结点将没有沿该轴方向上的位移 即：y 轴上结点在 y 方向位移为零

单元划分：板件和杆件的连接点都应安排为结点 4 一维、二维和三维单元的混合运用 框架—剪力墙结构 有限单元 右边 = 平面问题二维板结构 左边 = 一维杆件结构 单元划分：板件和杆件的连接点都应安排为结点

三、本课程的主要内容 单元类型： 3 结点三角形单元 4 结点矩形单元 杆件单元（1、2、3维） 薄板矩形单元 高阶单元：6 结点三角形单元、 8结点矩形单元 等参数单元 空间实体单元

位移模式的选择实际是以帕斯卡（Pascal）三角形为基础 2 位移模式的建立： 位移模式的选择实际是以帕斯卡（Pascal）三角形为基础 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 图 多项式选择的 Pascal 三角形 满足：对称性，协调性，完备性 * 形函数的性质等

* 单元刚度的性质 3 单元刚度矩阵的形成： 结点位移 单元内部各点位移 单元应变 单元应力 结点力 位移协调模式 几何方程 物理方程 3 单元刚度矩阵的形成： 结点位移 单元内部各点位移 单元应变 单元应力 结点力 (1) (2) (3) (4) 位移协调模式 几何方程 物理方程 平衡方程边界条件 单元分析 单元刚度矩阵 * 单元刚度的性质

4 整体刚度矩阵的聚集： 坐标变换 地址的对应 刚度矩阵存储 整体刚度矩阵的性质 5 等效结点荷载阵列 6 高阶单元 7 等参数单元

再 见