§3　全称量词与存在量词 3.1　全称量词与全称命题 3.2　存在量词与特称命题 3.3　全称命题与特称命题的否定

链接一:表示人、事物或动作的数量单位的词,叫作量词.你学过哪些量词呢? 链接二:命题的概念及分类.

1.全称量词:“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内,表示整体或全部的含义,这样的词叫作_________,含有全称量词的命题,叫作_________. 2.特称命题:“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分的含义,这样的词叫作________,含有存在量词的命题,叫作________. 3.全称命题的否定是_________,特称命题的否定是_________. 全称量词 全称命题 存在量词 特称命题 特称命题 全称命题

1.下列语句不是全称命题的是(　C　) (A)任何一个实数乘以零都等于零 (B)自然数都是正整数 (C)高二·一班绝大多数同学是团员 (D)每一个向量都有大小 解析:A、B、D中都含有全称量词,而C中的“绝大多数”不是全称量词.故选C.

3.命题“所有函数都有解析式”的否定是(　B　) (A)有的函数有解析式 (B)有的函数没有解析式 (C)多数函数都有解析式 (D)所有函数都没有解析式 解析:原命题为全称命题,其否定应为特称命题. 4.“有一个素数含三个正因数”是　　命题(填“全称”或“特称”),其中　　　　是量词,其否定为　.  答案:特称　有一个　所有的素数都不含三个正因数

探究要点一:全(特)称命题的判断 　判断一个命题是否为全称命题或特称命题,关键看命题中是否含有全称量词或存在量词. 应当指出,同一个全称命题、特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法.现列表总结如下,在实际应用中可以灵活地选择: 命题 全称命题 特称命题 表述方法 ①所有的x∈A,p(x)成立 ②对一切x∈A,p(x)成立 ③对每一个x∈A,p(x)成立 ④任意一个x∈A,使p(x)成立 ⑤若x∈A,则p(x)成立 ①存在x∈A,使p(x)成立 ②至少有一个x∈A,使p(x)成立 ③对有些x∈A,使p(x)成立 ④对某个x∈A,使p(x)成立 ⑤有一个x∈A,使p(x)成立

常见的全称量词有:“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任何”等. 常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等. 探究要点二:全(特)称命题真假的判断 1.要判断全称命题“对任意x∈M,p(x)成立”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立.如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题. 2.要判断特称命题“存在x∈M,p(x)成立”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题是假命题.

探究要点三:全(特)称命题的否定 1.一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题p:对任意x∈M,p(x)成立,它的否定q是:存在x∈M,使p(x)不成立.全称命题的否定是特称命题,“对任意x∈M”变为“存在x∈M”,“p(x)成立”变为“p(x)不成立”,要注意形式上的变化. 2.一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:特称命题p:存在x∈M,使p(x)成立,它的否定q是:对任意x∈M,p(x)不成立.特称命题的否定是全称命题,“存在x∈M”变为“对任意x∈M”,“p(x)成立”变为“p(x)不成立”,要注意形式上的变化.

熟练掌握了以下常用词语的否定,对否定含量词的命题很有用. 原词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定词语 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 至多有一个 至少有一个 至多有n个 至少有两个 一个也没有 至少有n+1个 任意的 任意两个 所有的 能 或 某个 某两个 某些 不能 且

全称命题、特称命题辨析 【例1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题 (1)指数函数都是单调函数; (2)负数的平方是正数; (3)有的实数是无限不循环小数; (4)有些三角形不是等腰三角形; (5)每个二次函数的图像都与x轴相交. 思路点拨:判断命题是全称命题还是特称命题关键是看语句是否含有全称量词或存在量词. 解:(1)、(2)尽管不含量词,但其意义是指“所有的”,故(1)(2)为全称命题.(3)是特称命题,(4)是特称命题,(5)是全称命题.

个别语句中全称量词和存在量词体现的不明显,给判断造成困难,从而容易出现错误 个别语句中全称量词和存在量词体现的不明显,给判断造成困难,从而容易出现错误.因此我们要根据命题涉及的意义去判断,区分是一般性结论,还是对特殊例子才成立的结论.大家熟悉的判定定理多数是特称命题,而性质定理多数是全称命题.

全称命题、特称命题真假的判定 【例2】 判断下列命题的真假. (1)所有的素数都是奇数; (2)有一个实数,使x2+2x+3=0; (3)有些整数只有两个正因数; (4)所有奇数都能被3整除. 解题流程:

解:(1)2是素数,但不是奇数,所以全称命题“所有素数都是奇数”是假命题. (2)对任意的x,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在,故此特称命题是假命题. (3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以此特称命题是真命题. (4)由于存在奇数1不能被3整除,所以此全称命题是假命题. (1)要确定一个全称命题是真命题,必须对所有元素验证,即给出严格的证明;要确定一个全称命题是假命题,只需举出一个反例.(2)要确定一个特称命题是真命题,只需找到一个满足要求的特例;要确定一个特称命题是假命题,需要严格证明对所有元素均不符合要求.

特称命题的否定是全称命题,因此否定一个特称命题时,要把存在量词换成全称量词,再否定命题的结论即可;全称命题的否定是特称命题,因此否定一个全称命题时,要把全称量词换成存在量词,再否定命题的结论即可.

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