解排列组合问题的常用策略

排列组合应用题解法综述 计数问题中排列组合问题是最常见的，由于其解法往往是构造性的, 因此方法灵活多样, 不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。

知识结构网络图： 排列 排列数公式 应 用 问 题 基 本 原 理 组合数公式 组合 组合数性质

两个原理的区别与联系： 分类（加法）原理 分步（乘法）原理 做一件事或完成一项工作的方法数 定 义 相同点 不同点 直接（分类）完成 名称内容 分类（加法）原理 分步（乘法）原理 定 义 相同点 不同点 做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 做一件事，完成它可以有n个步骤， 做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法……， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法. 做一件事或完成一项工作的方法数 直接（分类）完成 间接（分步骤）完成

分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

1.排列和组合的区别和联系： 名 称 排 列 组 合 定义 种数 符号 计算 公式 关系 性质 ， 所有排列的的个数 所有组合的个数 排 列 组 合 定义 种数 符号 计算 公式 关系 性质 ， 从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列 从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组 所有排列的的个数 所有组合的个数

2.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素. ※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题 (3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组，共有多少种分法? 组合问题 (4)10人聚会，见面后每两人之间要 握手相互问候，共需握手多少次? 组合问题 组合问题 (5)从4个风景点中选出2个安排游览, 有多少种不同的方法? (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景 点的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题

3.合理分类和准确分步 解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚.

例： 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？ 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类： 1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有 种方法. 2）若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有 种，1位的排法有 种, 第2、3、6、7位的排法有 种，根据分步计数原理，不同的站法有 种。 3）再安排老师，有2种方法。 根据分步及分类计数原理，不同的站法共有

练 习 题 （1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？ 分类：个位数字为5或0： 个位数为0： 个位数为5：

（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？ 分类： 引申1：31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？ 方法一：（排除法） 方法二：（直接法） 引申2：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的 五位数中大于31250，小于50124的数共有多少个？

（3）有不同的数学书7本，语文书5本，英语书4本，由其中取出不是同一学科的书2本，共有多少种不同的取法？ 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。 （7×5 + 7×4 + 5×4 = 83） 回目录

基本方法 (一) 特殊元素和特殊位置问题

特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 先排末位共有___ 然后排首位共有___ 最后排其它位置共有___ 由分步计数原理得 =288

例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字 的三位数，其中偶数共有（ ） A.24 B.30 C.40 D.60 B 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类； 0排在末尾时，有 个； 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有 个； 由分类计数原理，共有偶数 30 个.

小结：1、“在”与“不在”可以相互转化。解决某些元素在某些位置上用“定位法”，解决某些元素不在某些位置上一般用“间接法”或转化为“在”的问题求解。 2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏”现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案

基本方法 (二) 相邻相间问题

1.相邻元素捆绑策略 例：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。 甲 乙 丙 丁 由分步计数原理可得共有 种不同的排法 =480 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 要注意合并元素内部也必须排列.

2.不相邻问题插空策略 例：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 种 不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有 种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 相 独 独 独 相

练 习 （1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？ 捆绑法： （2）三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？ 插空法： （3）用１、２、３、４、５、６、７、８ 组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）

(3)(2005 ·辽宁)用１、２、３、４、５、６、７、８ 组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻， ３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻， 这样的八位数共有___________个．（用数字作答） 将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列 有 种，再将７、８插入4个空位中的两个 有 种，故有 种．

（4）七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种 960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种 解： 另解：

（5）某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ） （5）某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ） 20

小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定. 回目录

基本方法 (三) 定序问题 定序问题倍缩、空位、插入策略

定序问题倍缩、空位、插入策略 例：7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法 (倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 是： 解: （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外 的四人就坐共有 种方法，其余的三个 位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种 方法 1 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 方法 4*5*6*7 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理 练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

练习：期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序? 结论 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.

基本方法 (四) 分房问题 又名：住店法，重排问题求幂策略

各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种 例： 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（ ） A. B. C D. 分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得 种。 注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？ 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种 n m 用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。 回目录

练习题 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法 （ ） 回目录

基本方法 (五) 环排问题和多排问题

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 环排问题线排策略 例1. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即 （5-1)！ 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 A B C E D D A B C E

练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？ 60

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 多排问题直排策略 例2.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 个特殊元素有____种,再排后4个位置上的 特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置 上任意排列有____种,则共有_________种. 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 前排 后排 回目录

练习题 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______ 346

基本方法 (六) 小集团问题

小集团问题先整体局部策略 例：计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４ 　幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 　品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 　端，那么共有陈列方式的种数为_______ 练习： 5男生和５女生站成一排照像,男生相 邻,女生也相邻的排法有_______种

基本方法 (七) 元素相同问题隔板策略 1.应用背景：相同元素的名额分配问题。 2.隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一个。

将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 元素相同问题隔板策略 例.有10个运动员名额，分给7个班，每 　　班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成 　　一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有___________种分法。 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班

例 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解. 解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的隔板,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有 种不同的放法,所以名额分配方案有 种. 结论 转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.

练 习 （1）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有 （ ）种。 （1）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有 （ ）种。 （2）10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 个，共有（ ）种装法。

小结：把n个相同元素分成m份每份,至少1个元素,问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”得出共有 种.

基本方法（八） 平均分组问题除法策略 “分书问题”

平均分组问题除法策略 例： 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？ 解: 分三步取书得 种方法,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法 ,而 这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 有 种分法。 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均分的组数)避免重复计数。

1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4 个队, 有多少分法？ 2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______

基本方法（九） 间接法解题 正难则反总体淘汰策略

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰. 例1.我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种? 分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程. 解 43人中任抽5人的方法有 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有 种. 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

例2：将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（ ） （A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种 解：

练 习 五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72 直接

分清排列、组合、等分的算法区别 例 (1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法? 例 (1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法? (3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法? 解：（1） （2） (3)

十、构造模型策略 例. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关 掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏 亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯 有________ 种 一些不易理解的排列组合题如果能转化为 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队 模型，装盒模型等，可使问题直观解决

练习题 某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右 两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？ 120

基本方法（十一） 先选后排问题

排列组合混合问题先选后排策略 例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 有__种方法.再把5个元素(包含一个复合 元素)装入4个不同的盒内有_____种方法. 根据分步计数原理装球的方法共有_____ 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似 吗?

192 练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192

3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种? 先选后排问题的处理方法 3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种? 解法一：先组队后分校（先分堆后分配）

解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.

练习 某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种. 解：采用先组后排方法:

小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。

基本方法（十二） 实验法（穷举法），（枚举法）

实验法（穷举法） A.6 B.9 C.11 D.23 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。 例 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（ ） A.6 B.9 C.11 D.23 分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。 第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。 若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。 若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。 同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应填3。因而，第一格填2有3种方法。 不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。

注意区别“恰好”与“至少” 解： 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ） 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种 解： 小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。“至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”。

练习 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有____种 解：

小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。

排列组合应用题解法综述（目录） 实验法（枚举法） 基本概念和考点 合理分类和准确分步 其它特殊方法 特殊元素和特殊位置问题 构造模型策略 相邻相间问题 平均分组问题 定序问题 先选后排问题 分房问题 环排、多排问题 小集团问题

高考对这部分的要求还是比较高的. 要重视两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用. 值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合 高考对这部分的要求还是比较高的.要重视两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合.画一画，数一数，算一算，是基本的计数方法，不可废弃.