常用的機率分配 6.1 二項分配 6.2 超幾何分配 6.3 幾何分配 6.4 Poisson分配 6.5 負二項分配 6.6 均勻分配 6.1 二項分配 6.2 超幾何分配 6.3 幾何分配 6.4 Poisson分配 6.5 負二項分配 6.6 均勻分配 6.7 常態分配 6.8 指數分配 統計網路學習館 http://estat.ncku.edu.tw/index.htm 中央極限定理 http://www.math.nsysu.edu.tw/StatDemo/CentralLimitTheorem/CentralLimit.html#five 統計學導論 Chapter 6 常用的機率分配

各種分配的觀念與使用情形 Chapter 6 常用的機率分配

6.1 二項分配 二項實驗 二項實驗的特性 (1)重複進行n次完全相同的試驗(trials)。 6.1 二項分配 二項實驗 二項實驗的特性 (1)重複進行n次完全相同的試驗(trials)。 (2)每一次試驗皆僅有兩種可能結果(outcome)；其一稱為「成功」(S)，另一則為「失敗」(F)。 (3)每一次試驗中，出現成功的結果之機率固定為 p，出現失敗之結果的機率固定為(1-p)。 (4)每一次試驗之間皆互為獨立。 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.1 假定某一新藥品以10位病患來試驗其療效，並假設觀察之結果只有痊癒(S)或無效(F)兩種。又，由於每一病患先天的體質及各人健康的情形有差異，因此，嚴格說來，此種試驗不能視同「對10位病患在完全相同的情形下，重複做10次試驗」（如同第一個特性所要求者）。但是，若將本例視同二項實驗，則可得一非常近似的結果，而如此作法的優點是，我們可以很成功地解釋各種可能結果出現的變異情形，以及其機率行為。 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.2 1/3 假設一母體所含樣本可截然分為兩類：「成功類」S與「失敗類」F。今自該母體抽樣，則有兩種抽樣方式：放回抽樣(with replacement sampling)與不放回抽樣(without replacement sampling)。以下分別說明這兩種抽樣方式的情況： (a)放回抽樣：假設一母體含有15個球，其中5個為紅球，10個為白球。今自其中抽出3個球，一次抽一個然後放回去再抽下一個球。令紅球為成功的結果(S)，白球為失敗的結果(F)，則P(S)=5/15與P(F)=10/15，而且每次抽出的球其屬成功的機率與失敗的機率皆固定。上述這種抽樣方式滿足二項實驗。 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.2 2/3 (b)不放回抽樣：在(a)的情形中，若每次抽出一個球不放回去，緊接著抽出下一個球。如此，每次抽樣的事件並非獨立。因為第一次抽出紅球的機率為5/15，而母體剩下14個球，其中包含4個紅球與10個白球，因此第二次再抽出紅球的機率為4/14，與第一次不同。由此可知，此種抽樣方式並非獨立。這種破壞獨立條件之抽樣方式，在母體個數很大而抽出樣本之個數很小時，可近似獨立抽樣的方式。例如，若母體有1,500個樣本，其中500個屬於S類，若自此母體隨機抽出3個樣本，假設S1代表第一個抽出者屬S類，S2表第二個抽出者屬S類，則 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.2 3/3 就實際應用而言，後者[P(S2|S1)]可視為趨近5/15。因此，在這種情況，不放回的抽樣方式，亦可視為獨立的情況，此時便可視之為滿足二項實驗。 Chapter 6 常用的機率分配

二項分配的公式 1/2 例題 6.3 設有一箱子裝有3個紅球與7個白球，今從此箱中以放回抽樣抽出3個球，令X代表所抽出的紅球個數，試求X的機率分配。 Chapter 6 常用的機率分配

解： Chapter 6 常用的機率分配

二項分配的公式 2/2 (6-1) (6-2) Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.4 例題 6.5 投擲一公正的骰子5次，求恰好出現3次2點的機率。 試計算例題6.4中二項隨機變數X的期望值與變異數。 Chapter 6 常用的機率分配

二項分配查表法 例題 6.6 假定一新藥品能治癒某疾病的機率為0.4，如果以15位病患進行試驗，試求下列機率：(a)最多6個人治癒；(b)治癒的人數介於6與10間（包含6與10）；(c)治癒人數至少12個人（含12）；(d)恰有5人治癒。 Chapter 6 常用的機率分配

二項分配的圖形 圖 6.1 不同的 n 與 p 組合之二項分配的圖形 Chapter 6 常用的機率分配

6.2 超幾何分配 例題 6.7 在例題6.3中，採不放回抽樣方式抽出3個球，令X代表紅球的個數，試求出X的機率分配。 6.2 超幾何分配 例題 6.7 在例題6.3中，採不放回抽樣方式抽出3個球，令X代表紅球的個數，試求出X的機率分配。 Chapter 6 常用的機率分配

超幾何實驗與超幾何分配 1/2 超幾何實驗的特性 超幾何分配 (6-3) (1)從一含有N物的有限母體中，採不放回抽樣抽出大小為n的隨機樣本。 (2)N物中有S個屬成功類，另N-S個屬失敗類。 超幾何分配 式中的符N, S, n, x皆同於前文所述，另外x的範圍是從Max{0, n-(N-S)}至Min{n, S}。 (6-3) Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.8 從6男3女中隨機抽取4人組成委員會，求此委員會中男性人數的機率分配。 Chapter 6 常用的機率分配

超幾何實驗與超幾何分配 2/2 令X代表超幾何隨機變數，則其期望值與變異數分別為： 式中 (6-4) (6-5) 例題 6.9 Chapter 6 常用的機率分配

超幾何分配與二項分配的關係 表 6.1 二項分配與超幾何分配之比較 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.10 一批產品N=5,000，其中有1,000個為不良品。若隨機取10個，則恰有3個不良品的機率為何？ Chapter 6 常用的機率分配

6.3 幾何分配 幾何分配 令X表示第一次成功發生所需的貝努利試驗次數，且p表示成功機率，而q=1-p，則X的機率分配為： 6.3 幾何分配 幾何分配 令X表示第一次成功發生所需的貝努利試驗次數，且p表示成功機率，而q=1-p，則X的機率分配為： 幾何分配的期望值與變異數 令X代表幾何分配的隨機變數，則 (6-6) (6-7) (6-8) Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.11 某製造過程中，已知平均每100個產品中有一個不良品；那麼在一個不良品發現之前，檢驗5個產品的機率為何？期望值為何？意義為何？ 　某製造過程中，已知平均每100個產品中有一個不良品；那麼在一個不良品發現之前，檢驗5個產品的機率為何？期望值為何？意義為何？ Chapter 6 常用的機率分配

6.5 負二項分配 在執行獨立的貝努利試驗，並無預先固定試驗的次數，直到第r次「成功」發生時才停止整個貝努利隨機試驗；成功的次數固定為r，且所需試驗的次數為一隨機變數，則此隨機變數的機率分配即稱為負二項分配。 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.14 過年的氣氛愈來愈濃厚，每個人都會在新的一年中去廟裡祈求平安，假設在廟裡擲出「聖筊」的機率為0.5，則連續擲5次之後，才出現第一個聖筊的機率為何？出現第三個聖筊的機率又為何？ Chapter 6 常用的機率分配

{ 3-10 均勻分配 Chapter 6 常用的機率分配 [a,b]的均勻分配: 1/(a – b) for a £ X £ b f(x)= 0 otherwise E(X) = (a + b)/2; V(X) = (b – a)2/12 { [a, b] 均勻分配 在f(x)下方的整個面積 = 1/(b – a) * (b – a) = 1.00 x ) ( f 在f(x)下方介於a1至b1的面積 = P(a1£ X £ b1) = (b1 – a1)/(b – a) a a1 b1 b x Chapter 6 常用的機率分配

{ 均勻分配(續) Chapter 6 常用的機率分配 [0,5] 的均勻分配: 1/5 for 0 £ X £ 5 f(x)= 0 otherwise E(X) = 2.5 { [ , 5 ] 的均勻分配 . 5 在f(x)下方的整個面積 = 1/5 * 5 = 1.00 . 4 . 3 x ) ( f 在f(x)下方介於1至3的面積 = P(1£X£3) = (1/5)2 = 2/5 . 2 . 1 . 0.0 - 1 1 2 3 4 5 6 x Chapter 6 常用的機率分配

6.6 均勻分配 均勻分配 令隨機變數X的可能值之範圍為區間(a, b)，且呈均勻分配，則其機率密度函數為： (6-12) (6-13) 6.6 均勻分配 均勻分配 令隨機變數X的可能值之範圍為區間(a, b)，且呈均勻分配，則其機率密度函數為： (6-12) (6-13) (6-14) Chapter 6 常用的機率分配

均勻分配平均數與變異數證明 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.15 假定某班火車抵達車站的時間在8:00～8:10分之間，且在此時段中任何時點到站的可能性均相同。試求： (a)某乘客在8:03分抵達車站，可搭上火車的機率？ (b)某乘客在8:08分抵達車站，火車已開走的機率？ (c)計算期望值與變異數，並解釋期望值的意義。 Chapter 6 常用的機率分配

5.5 卜瓦松機率分配 卜瓦松機率分配常用來估計某特定區間或 特定空間中，發生某特定事件的次數。 x 為一離散隨機變數，其可能值為無限數列 Chapter 6 常用的機率分配 第5章離散機率分配 第204頁

卜瓦松機率分配 符合卜瓦松機率分配的隨機變數 洗車場每小時車輛到達的次數 高速公路每10哩需要維修的數目； 或每100哩管線破損的數目。 Chapter 6 常用的機率分配 第5章離散機率分配 第204頁

卜瓦松機率分配 卜瓦松實驗的特性 任意兩個等長的區間發生特定事件的機率皆相同。 各區間發生或不發生某特定事件是彼此獨立的。 Chapter 6 常用的機率分配 第5章離散機率分配 第204頁

卜瓦松機率分配 其中： f(x) = 一區間中發生 x 次的機率 λ = 一區間中發生次數的期望值或平均數 e = 2.71828 卜瓦松機率函數 其中： f(x) = 一區間中發生 x 次的機率 λ = 一區間中發生次數的期望值或平均數 e = 2.71828 Chapter 6 常用的機率分配 第5章離散機率分配 第204頁

例題 6.12 假定到達醫院的病患人數符合Poisson過程，且平均每小時有1人到達，試問： (a)1小時內沒有病患到達的機率。 (b)1小時內到達的病患少於4人的機率。 (c)2小時內沒有病患到達的機率。 Chapter 6 常用的機率分配

卜瓦松機率分配實例 假設我們有興趣的是銀行在正常上班時間中，每 15 分鐘駛入汽車櫃員窗口的車輛數。假設在任何相同的時間區間中，車輛到達的機率皆相同且車輛到達與否為獨立事件。在這種情況下便可以應用卜瓦松機率分配。若根據歷史資料發現，15分鐘內車輛的平均到達數為 10 輛，則可應用下列機率函數。 隨機變數 x = 15分鐘內的來車數。 Chapter 6 常用的機率分配 第5章離散機率分配 第205頁

卜瓦松機率分配實例 若管理者想要瞭解15分鐘內恰有5輛車到達的機率，則此時 x＝5 可得： 上述機率值是將λ＝10, x＝5代入式(5.11)中計算而得。 Chapter 6 常用的機率分配 第5章離散機率分配 第205頁

卜瓦松機率分配實例 計算每 3 分鐘 1 輛來車的機率。 由於 15分 鐘內平均來車數為 10 輛，因此每分鐘平均來車數為 10/15 ＝ 2/3 輛，而每 3 分鐘平均來車為 λ＝(2/3)(3分鐘)＝2輛。因此，3分鐘內來車x輛的機率為 欲求 3 分鐘內 1 輛來車的機率，可利用上述公式 Chapter 6 常用的機率分配 第5章離散機率分配 第206頁

一個包含長度或距離區間的例子 假如我們有興趣的是某一段高速公路路段，經重新舖設路面一個月後，發現重要瑕疵的數量。假設在此路段的任何兩個區間中，發現一個瑕疵的機率皆相同，且各區間發現瑕疵與否為獨立事件。因此可以應用卜瓦松分配。 假設每哩在重新舖設路面一個月後，發現重大瑕疵的平均數目為 2 個，則在 3哩內沒有發現重大瑕疵的機率為何？因為我們有興趣的長度區間為 3 哩，因此 3 哩的平均瑕疵數為 μ ＝(2 個/哩)(3 哩)＝6 個，利用式 (5.11)，f (0)＝60e－6＝0.0025，可得 3 哩內沒有重大瑕疵數的機率為 0.0025，表示在 3 哩內沒有重大瑕疵的可能性非常小。事實上，在 3 哩長的路段裡至少有 1 個重大瑕疵的機率為 1－0.0025＝ 0.9975。 Chapter 6 常用的機率分配 第5章離散機率分配 第206頁

Poisson分配的期望值與變異數 設X為Poisson隨機變數，則 (6-10) (6-11) Chapter 6 常用的機率分配

Poisson分配與二項分配之間的關係 例題 6.13 茲有一批產品，設每1,000件中，平均有一件為不良品。取8,000件的隨機樣本，問其中不良品數少於7的機率為何？ Chapter 6 常用的機率分配

小結 圖 6.2 超幾何、二項與三種分配之間的關係 Chapter 6 常用的機率分配

6.8 指數分配 1/3 表 6.3 Poisson隨機變數與指數隨機變數之比較 Chapter 6 常用的機率分配

指數分配 2/3 設X為指數隨機變數，λ代表單位時間之平均數，μ代表平均時間（每次） (6-21) (6-22) Chapter 6 常用的機率分配

指數分配 3/3 圖 6.18 指數分配機率之計算(f(x)=1/μ , x>0) Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.28 假設某一型彩色電視機其壽命時間呈指數分配，且平均壽命為10年。試求該電視機的壽命時間之下列機率： (a)壽命長達15年以上。 (b)2年內即發生故障而報廢。 (c)壽命時間介於2年至15年。 Chapter 6 常用的機率分配

3.11 指數機率分配 一個常被用來描述完成工作所需時間的連續機率分配是 指數機率分配(exponential probability distribution) 。 指數隨機變數可以用來描述如下： 車輛到達洗車 場的時間間隔 貨車裝貨時間 公路路面損壞的 間隔距離 SLOW Chapter 6 常用的機率分配 第6章連續機率分配 第240頁

指數機率分配 指數機率密度函數 λ=1/μ x > 0, λ > 0 Chapter 6 常用的機率分配 第6章連續機率分配 第241頁

指數機率分配 Chapter 6 常用的機率分配 第6章連續機率分配 第241頁 圖6.10

指數機率分配 如同其他連續機率分配，分配曲線下的區段面積決定隨機變數在某範圍內的機率。 在 Schips 碼頭的例子中，裝貨時間少於等於6 分鐘的機率 P(x ≤ 6)是 x＝0~6 之間的曲線下面積 裝貨時間少於等於18 分鐘的機率 P(x ≤ 18)則是 x＝0~18 之間的曲線下面積。 裝貨時間為 6 分鐘到 18 分鐘的機率 P(6 ≤ x ≤ 18)則是 x＝6~18 之間曲線下的面積。 Chapter 6 常用的機率分配 第6章連續機率分配 第241頁

指數機率分配：累積機率 其中： x0 =小於等於某一特定 x 值 指數分配：累積機率 Chapter 6 常用的機率分配 第6章連續機率分配 第241頁

指數機率分配：累積機率 在Schips碼頭的例子中，x＝裝貨時間且μ ＝15，因此： 所以，裝貨時間少於（含）6分鐘的機率 圖 6.11 為裝貨時間少於（含）6分鐘的機率或面積。使用式 (6.5)，裝貨時間少於（含）18分鐘的機率 P(x ≤ 18)則為 因此，裝貨時間介於 6 分鐘到 18 分鐘的機率等於 0.6988－0.3297＝0.3691。 Chapter 6 常用的機率分配 第6章連續機率分配 第241-242頁

指數機率分配：累積機率 Chapter 6 常用的機率分配 第6章連續機率分配 第242頁 圖6.11

指數機率分配：累積機率 Chapter 6 常用的機率分配

卜瓦松分配與指數分配的關係 卜瓦松分配適合用來表示某一區間內 的事件發生次數的機率 指數分配可以描述二次事件發生的 時間間隔的機率 Chapter 6 常用的機率分配 第6章連續機率分配 第242頁

卜瓦松分配與指數分配的關係 假設洗車場的來車數量呈卜瓦松機率分配，平均每小時 10 輛汽車，則以 x 表示來車車數的卜瓦松機率分配函數將是 由於平均到達車數為每小時 10 輛，則連續到達的 2 輛汽車之間的時間間隔為 因此，對應的指數分配是平均數為μ ＝0.1小時/車；而指數機率密度函數為 Chapter 6 常用的機率分配 第6章連續機率分配 第243頁

指數分配平均數與變異數證明 Chapter 6 常用的機率分配

例題 某品牌的掌上型電腦，其當機間隔服從一種平均50個月的指數分配。該產品的保固期限是六個月。 a.保固期間這款電腦當機的機率有多大？ b.若廠商希望在保固期間，只有8%的當機機會，平均壽命是多少？ 某大學電算中心學生使用電腦的時間呈指數分配，平均數為36分鐘，假設某學生到達時剛好另一名學生剛開始上機，請問： a. 該學生等待15分鐘 (含) 以下就可上機的機率為何？ b. 該學生要等待15到45分鐘才能上機的機率為何？ c. 該學生要等1個小時 (含) 以上的機率為何？ 北美民宿協會的網頁每分鐘有7名訪客，假定每分鐘的網頁訪客數是卜瓦松機率分配。 a. 兩位訪客點選網頁的平均時間間隔為何？ b. 寫出兩名訪客的平均時間間隔的機率密度函數。 c. 1分鐘內沒有人參觀網頁的機率為何？ d. 12秒內沒有人參觀網頁的機率為何？ Chapter 6 常用的機率分配

Poisson隨機變數與指數隨機變數之比較 (a)20分鐘內，平均5輛車子開進停車場(λ=5輛／20分鐘) (a)平均每隔4分鐘有一部車子開進停車場(μ=4分鐘／輛) Q:30分鐘內10 輛車子進場的機率 Q:下一輛車在10分鐘內進場的機率 (b)高速公路每10公里平均有5個窪洞(λ=5個／10公里)。 (b)高速公路上，平均每2公里有1個洞(μ=2公里／個)。 Q:開車5公里遇到2窪洞的機率 Q:開車5公里後才遇到窪洞的機率 (c)某一機器30分鐘內平故障3次 (λ=3次／30分鐘)。 (c)某一機器平均每10分鐘故障1次(μ=10分鐘／次) Q:機器15分鐘內故障零次的機率 Q:剛修好15分鐘內零故障的機率 Chapter 6 常用的機率分配

6.7 常態分配 常態分配及其性質 圖 6.4 常態曲線 Chapter 6 常用的機率分配

常態分配及其性質 2/2 圖 6.5 常態曲線，μ1< μ 2, σ1= σ2 圖 6.5 常態曲線，μ1< μ 2, σ1= σ2 圖 6.6 常態曲線， σ1 < σ2 , μ1 = μ2 = μ Chapter 6 常用的機率分配

標準常態分配 圖 6.7 一般常態分配的標準化 Chapter 6 常用的機率分配

標準常態的特性 (6-18) (6-19) 圖 6.8 標準常態曲線 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.16 試求P(Z≤1.37)與P(Z≥1.37)。 Chapter 6 常用的機率分配

解： 表 6.2 查表法：求P(Z≤1.37) 圖 6.9 P(Z≥1.37) Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.17 試計算P(0.15 ≤ Z ≤ 1.60)。 Chapter 6 常用的機率分配

解： 圖 6.10 P (0.15≤Z≤1.60) Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.18 試求出P(Z≤-1.9或Z≥2.1) Chapter 6 常用的機率分配

解： 圖 6.11 P( Z ≤ 1.9 或 Z ≥ 2.1) Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.19 試找出滿足P(Z≥ z)=0.025之z值。 Chapter 6 常用的機率分配

解： 圖 6.12 P(Z ≥z)=0.025 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.20 試找出滿足P(-z≤Z≤z)=0.9之z值。 Chapter 6 常用的機率分配

解： 圖 6.13 P( - z ≤ Z ≤ z)=0.9 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.21 設X為一常態分配，且已知其平均數μ=400，標準差σ=50，試求：(a)X值小於360的機率；(b)X值介於350與460之間的機率。 Chapter 6 常用的機率分配

解： 圖 6.14 P(X<360)=P(Z<-0.8) Chapter 6 常用的機率分配

常態分配的應用 例題 6.22 假設某校100名學生的統計學測驗成績合於常態分配，且其平均成績為80分，標準差為5分。試求： (a)成績在65分與75分之間的人數。 (b)成績在85分以上的人數。 Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.23 例題 6.24 某品牌家電用品的使用壽命為平均數4.5年，標準差1年的常態分配。若其保證期間為2年，試問退貨比例為多少？ 某公司每日收到的電子郵件數近於常態分配，已知每日平均為80封，且超過120封的機率為0.1。試問標準差σ為何？ Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.25 某項性向測驗之成績呈常態分態分配，其μ=506, σ=81，試求：(a)分數低於574者佔全體之比例；(b)第30個百分位數。 Chapter 6 常用的機率分配

常態分配逼近二項分配 1/3 設X為二項隨機變數，且X～B(n, p)，當np≥5且n(1-p)≥5，則 (6-20) Chapter 6 常用的機率分配

常態分配逼近二項分配 2/3 圖 6.16 連續性修正因子±1/2 Chapter 6 常用的機率分配

常態分配逼近二項分配 3/3 設X～B(n, p)，當np≥5且n(1p)≥5，則存在下列近似式： 式中， Chapter 6 常用的機率分配

例題 6.26 例題 6.27 投擲一公正硬幣12次，試求出：(a)出現正面次數不超過4次的機率？(b)出現正面次數超過5次的機率？ 令X為二項分配，p=0.6, n=150，則以常態逼近二項，下列各項之機率為何？ (a) X介於82與101間（含82與101）。 (b) X大於97。 Chapter 6 常用的機率分配

離散隨機變數 二項 分配 X~B(n,p) E(X)=np V(X)=npq 負二項分配 X~NB(k,p) 幾何分配 X~G(p) P(X=x)=pqx-1 超幾何分配 X~HG(n,K,N) p=K/N 布瓦松 分配 X~Poi(λ), λ=np E(X)= λ V(X)= λ n>=20 & p<=0.05 n>=50 & p<0.1 Chapter 6 常用的機率分配

連續隨機變數 均勻分配 X~U(a,b) 常態分配 X~N(μ,σ2) 指數分配 X~Exp(λ) 布瓦松 分配 X~Poi(λ), λ=np E(X)= λ V(X)= λ n>=20&p<=0.05 n>=50 & p<0.1 Chapter 6 常用的機率分配