PISA數學素養評量 數學學習領域 林壽福 教育部中央課程與教學輔導諮詢教師 台北市數學科輔導團員 興雅國中教師 數學學習領域 林壽福 台北市數學科輔導團員 興雅國中教師 內容資料引自林福來、林素微教授檔案 National Professional Teacher Team

背景 我國PISA評量成績(國際排名) 閱讀 科學 數學 2006 16 4 1 2009 23 12 5 2012 ？ 以數學素養(Mathematical Literacy)為核心的評量成績退步 2011/2/17

歷次 PISA 數學調查結果 PISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009 數學 排名 暨平均分數 1.日本 (557) 1.香港 (550) 1.臺灣 (549) 1.上海(600) 2.韓國 (547) 2.芬蘭 (544)) 2.芬蘭 (548) 2.新加坡(562) 3.紐西蘭 (537) 3.韓國 (542) 3.香港 (547) 3.香港(555) 4.芬蘭 (536) 4.荷蘭 (538) 3.韓國 (547) 4.韓國(546) 5.澳大利亞 (533) 5.列支敦士登 (536) 5.荷蘭 (531) 5.臺灣(543) 5.加拿大 (533) 6.日本 (534) 6.瑞士 (530) 6.芬蘭(541) 7.瑞士 (529) 7.加拿大 (533) 7.加拿大 (527) 7.列支敦士登(536) 7.英國 (529) 8.比利時 (529) 8.澳門 (525) 8.瑞士(534) 9.比利時 (520) 9.澳門 (527) 8.列支敦士登 (525) 9.日本(529) 10.法國 (517) 9.瑞士 (527) 10日本 (523) 10.加拿大(527) 3 3

進入主題 先來素養一下 2011/2/17

百分比 Carl到一家正在打八折的店裡去買一件訂價50元的 夾克。在Zedland國家是需要外加5%的稅。店員先 將夾克的定價加5%的稅後再打八折。Carl認為不 應該如此。他要店員先打八折，然後再算5%的稅 。 請問這兩種做法有何差異？ 5

現實問題的體驗：打折與加稅 消費者購買東西時 消費者付的錢一樣（數學結果相同） 對商家呢？ 對政府稅捐機關呢？ 先打折，再加稅 先加稅，再打折 消費者付的錢一樣（數學結果相同） 對商家呢？ 對政府稅捐機關呢？

現實問題的體驗：聯合壟斷─1 某島國只有兩家石油公司，分別是台大石油公司與中華石油公司，假設這兩家石油公司不暗中勾結聯合壟斷，而各行其市，則台大石油每年可賺 2 千億，中華石油可賺 1 千億。假設台大石油跟中華石油暗中勾結聯合壟斷，哄抬油價，每年可共同獲利 7 千億。問：若兩家石油公司暗中勾結，如何「公平的」瓜分這 7 千億？ (題目來源：作者整合Nash, J.F.1951與 Shapley L.S.兩篇文章後杜撰本題情境，若與真實世界雷同，純屬巧合。)

現實問題的體驗：聯合壟斷─2 答案 1：「均分」最「公平」。兩家公司各得 7/2 千億。 答案 2：台大石油的「獲利能力」是中華石油的 2 倍，按照獲利能力分配才「公平」，所以台大石油應得 14/3 千億，中華石油應得 7/3 千億。 答案 3：兩家石油公司勾結壟斷之後「共同多出來的盈餘」(邊際貢獻)是 7—2—1＝4 千億，所以兩家均分這多得的 4 千億才公平。因此台大石油得到 4 千億 中華石油得到 3 千億

現實問題的體驗：聯合壟斷─3 答案 4：在相對於數學模型外部的真實世界，兩家石油公司可採「共識」分錢（目前美國的公共花費問題，例如水費、電費、電話費、高速公路過路費，大都 採用此方法。 答案 5：兩家公司也可採「談判解決的模式」 （談判結局必須滿足下列條件才不算輸，同 樣是在數學模型內與數學模型外的真實世界 建模）。

現實問題的體驗：聯合壟斷─4 數學正確不代表就是真的可以解決現實生活上的問題！

什麼是數學素養？了解與見解 了解：對一件事情的明白。 見解：經批判、反思後進一步提出個人的看法。 不是知道多少數學，而是能夠拿知道的數學處理資訊

什麼是數學素養？OECD派 PISA定義的數學素養： 個人能在多樣不同的情境之下，將情境問題轉化成數學問題、使用數學及詮釋數學的能力。這素養包括了數學推理及使用應用數學概念、程序、事實、工具來解釋、描述及預測現象。 它協助個人瞭解數學在世界上所扮演的角色，能夠進行有根據的評斷，並且針對個體在生活中的需求運用或者投入數學活動，以成為一個有積極的、關懷的、以及反思的國民。

什麼是數學素養？美國派 NRC定義的數學素養 概念的瞭解 (Conceptual understanding) 程序的流暢 (Procedural fluency) 策略的運用 (Strategic competence) 適當的推理 (Adaptive reasoning) 建設性的意向 (Productive disposition)

數學素養的評量─以PISA為例 PISA數學素養評量的目的 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時 的數學素養水準。 提供政策制定者、教育相關人員及研究人員有關學生數學素養水準跨時間成長的訊息。

PISA 評量的特色 PISA評量 年輕人在未來參與社會時，是 否具備所需的基礎知識和技能 ? 面對真實生活問題挑戰的能力 ? 學以致用 平時考 段考 評量對象： 十五歲學生 成就評量 評量學校課程的精熟度 完成義務教育 15 15

PISA 評量的內容 PISA評量自2000 年開始，每三年調 查一次。 PISA評量包括： 閱讀素養、數學素 養和科學素養。 2009 - 閱讀 新增電腦化閱讀評量 PISA評量自2000 年開始，每三年調 查一次。 PISA評量包括： 閱讀素養、數學素 養和科學素養。 每次以一個領域為 主進行深度的調 查，另二個領域為 輔。 2000 - 閱讀 2012 - 數學（問題解決） 電腦化閱讀 新增電腦化數學、問題解決 2003 - 數學 （問題解決） 2015 – 科學 預計 全面電腦化 2006 - 科學 臺灣第一次參加 16 16

PISA評量數學素養的三維度架構 數學內容知識 (Mathematical content knowledge) 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力 (Mathematical processes and the underlying mathematical capabilities) 情境與脈絡 (Contexts)

數學內容知識 (Mathematical content Knowledge) 變化和關係(Change and relationships) 空間和形(Space and shape) 量(Quantity) 不確定性（Uncertainty） 從學生面對的數學物件關係來思考 涵蓋的數學內容包括 方程式、代數、坐標系、平面及立體幾何、測量、數與單位、比與比例、估測、資料收集和整理、取樣及樣本空間、機率…

PISA評量數學素養的三維度架構 數學內容知識 (Mathematical content knowledge) 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力 (Mathematical processes and the underlying mathematical capabilities) 情境與脈絡 (Contexts)

情境問題解決的三步驟 將情境問題轉化成數學問題(Formulating situations mathematically) 使用數學概念、事實、步驟、和推理 (Employing mathematical concepts, facts, procedures and reasoning) 詮釋、應用及評鑑數學結果 (Interpreting, applying, and evaluating mathematical outcomes)

PISA評量數學素養的三維度架構 數學內容知識 (Mathematical content knowledge) 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力 (Mathematical processes and the underlying mathematical capabilities) 情境與脈絡 (Contexts)

情境問題解決內蘊的數學力 情境與數學間的溝通 (Communication) 問題數學化 (Mathematising) 使用及轉換表徵 (Representation) 推理和論述 (Reasoning and argument) 發展策略 (Devising strategies) 使用符號、形式及術語與運算 (Using symbolic, formal, and technical language and operations) 使用數學輔助工具 (Using mathematical tools)

1.情境與數學間的溝通 溝通：主要強調對情境脈絡的理解 辨識出脈絡裡存在的問題及挑戰。 理解的歷程包含閱讀、解碼、理解各種呈現方式的資訊（如敘述、圖表、影像、及動畫） 用來形成一個關於情境脈絡問題的心智模式。 進一步形成數學問題

2.問題數學化 問題數學化：主要將真實情境脈絡的問題轉化成一個數學形式。 將情境結構化或概念化 找出重要的變因 澄清與定義情境中的假設、變數、關係、和限制。 給出數學模式

3.使用及轉換表徵 使用及轉換表徵：用數學表徵呈現真實情境脈絡。 包含方程式、圖表、圖形、文字敘述、具體物，及各種表徵之間的轉化。

4.推理和論述 推理和論述：主要應用邏輯思考能力判斷以某種數學表徵呈現情境脈絡的合理性。 包含解釋、辯駁或檢證所形成的數學表徵。

5.發展策略 發展策略：發展及決定解決問題的策略。 辨別或發展或給出數學形式的答案

6.使用符號、形式及術語與運算 使用符號、形式、術語與運算：主要將情境脈絡轉化成數學結構時，能恰當的使用辨識、符號、圖表、模型。並同時理解問題語言和形式語言或符號語言之間的關係。

7.使用數學輔助工具 在特定情況之下，具備使用數學工具（如測量工具、繪圖工具、Excel報表等）來辨識情境脈絡裡的數學結構或者描繪出數學關係。

PISA評量數學素養的三維度架構 數學內容知識 (Mathematical content knowledge) 情境問題解決三步驟及內蘊的數學力 (Mathematical processes and the underlying mathematical capabilities) 情境與脈絡 (Contexts)

情境與脈絡：四面向 試題的情境脈絡應該是學生世界中的一部分，且情境脈絡應該包羅萬象。 學生個人生活的 (Personal) 教育/職業的 (Occupational) 社會性的 (Societal) 科學性的 (Scientific) PISA的思考是：15歲小孩的世界

數學素養評量 在不同情境脈絡中，辨識、做及運用數學的能力。 藉由描述、建模、解釋與預測不同現象，來瞭解數 學在世界上所扮演角色的能力。 溝通 內容領域 改變與關係：函數、代數、方程式 空間與形狀：座標系統、幾何測量 數量：數與單位、四則計算、百分比 不確定性：抽樣、機率、資料變異性 情境脈絡 個人：購物、飲食 職業：試算表使用 社會：選舉、經濟 科學：醫學、天氣 溝通 建模 表徵 推論 策略發展 符號的使用與運算 工具使用 32 32

數學素養的展現（PISA) 數學力 真實世界 數學世界 形成模式 情境脈絡裡的問題 數學問題 確認答案 使用數學 詮釋答案 情境脈絡裡的答案 數學解答 情境與數學間的溝通 問題數學化 使用及轉換表徵 推理及論述 發展策略 使用符號、形式及術語與運算 使用數學輔助工具 數學力

尤拉發現七橋問題就相當於問：下圖可否一筆描繪，而且起點等於終點？（陸地和小島：點，橋：線條）

校園景物取境  判斷校園造型之空間圖形，是否可以一筆畫完成：

網絡 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 奇點數 偶點數 23 能否一筆畫？ 能 否

督學巡堂問題（類中國郵差問題） 請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎？如果辦不到的話，至少需要重複幾次？最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度？（每間教室長約8.5公尺）

督學巡堂圖 校門口

為校長設計巡堂圖 請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎？如果辦不到的話，至少需要重複幾次？請你幫校長設計一條巡堂的最短路徑圖，並請算出最短的路徑長度大約需多少間教室的長度？路徑參考圖如下，圖中的數字單位是一間教室的長度（約8.5公尺）。

校長巡堂圖

變化和關係Change and relationship 數學素養評量雙向細目表（一） 數學內容 知識 情境脈絡 變化和關係Change and relationship 空間與形Space and shape 量 Quantity 不確定性Uncertainty 1. 個人的 C1 S1 Q1 U1 2.教育/職業的 C2 S2 Q2 U2 3.社會的 C3 S3 Q3 U3 4.科學的 C4 S4 Q4 U4

數學素養評量雙向細目表(二） 解題三步驟 數學力 將情境問題轉化成數學問題 (F) 使用數學概念、事實、步驟、和推理解題 (E) 詮釋、應用及評鑑數學結果(I) 1.情境與數學間的溝通 F1 E1 I1 2.問題數學化 F2 E2 I2 3.使用及轉換表徵 F3 E3 I3 4.推理及論述 F4 E4 I4 5.發展策略 F5 E5 I5 6.使用符號、形式及術語與運算 F6 E6 I6 7.使用數學輔助工具 F7 E7 I7

試題設計的要項 試題(如樣本試題) 試題內容的說明 題旨、數學內容、情境脈絡、解題步驟、數學力 題目(組)名稱   各問題共用之脈絡情境（圖、文）   問題 X 及其脈絡情境（圖、文）與提問   問題 X 的計分說明 試題內容的說明 題旨、數學內容、情境脈絡、解題步驟、數學力 問題與選項設計、試題來源、命題者資訊

素養水準的描述 數學素養 ─ 水準六 (669分以上) … 在此水準的學生能夠進行高階的數學思考和推理，他們能藉由符號、數學運算、關係的洞察和理解，也能在陌生情境發展出解決問題的新方法和策略。… 46 46

臺灣參與 PISA 的效益 提供跨國間教育政策與學生表現的比較 了解臺灣教育成效的趨勢 提供教育決策者在教育成效評鑑的客觀資訊 學校與學生方面： 提供老師和學生對 PISA素養評量設計的認識 了解與學生學習成果有關的學校和家庭資源變項 47 47

模擬練習 要練習哦~ PISA 模擬試卷下載網址：http://pisa.nutn.edu.tw ／最 新消息／ PISA模擬試卷下載 國立臺灣師範大學 林福來教授 主編 《臺灣2011數學素養評量樣本試題（上、下）》 國立彰化師範大學 張惠博校長&林陳涌教授 主編 《科學素養評量》 要練習哦~ 48 48

一.PISA對於數學素養之定義 每個國家的國民都會碰到無數的有關數量、空間、 機率或者其他數學概念的相關課題。例如，媒體（ 報紙、雜誌、電視、以及網際網路）都充滿了統計 圖表或者圖示的資訊，例如氣象、經濟、醫藥和運 動。 現在國民都會碰到全球暖化與溫室效應、人口成長 、浮油與海洋、或者逐漸削減的農村議題的相關資 訊。最後但同樣重要的是，國民都必須閱讀各種表 格，解讀公車以及火車的時刻表、成功的處理包含 金錢的買賣、以及決定賣場中的最佳買法等等。 49

二.PISA數學素養的理論基礎 數學化(mathematising)有五個重要的特徵： 1.數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題。 2.解題者嘗試去找出相關的數學，並且依據重要 的數學概念重新組織問題。 3.逐漸調整現實(trimming away the reality) ，轉化成數學語言 4.進行問題解決 5.針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵。 50

M037 農場(1/4)

M037 農場(2/4)

M037 農場(3/4)

M037 農場(4/4)

M047 地衣(1/6)

M047 地衣(2/6)

M047 地衣(3/6)

M047 地衣(4/6)

M047 地衣(5/6)

M047 地衣(6/6)

學生常犯錯誤 不清楚題目的用意或不懂題目在問什麼。 沒有仔細閱讀題目。 不熟悉利用數學推理和論證來支持自己論點 的作答方式。 粗心、計算錯誤。 主觀的陳述自己對問題的看法，忘記或忽略 使用題目中的資訊。 61 61

學生常犯錯誤 比例尺用錯或未使用比例尺轉換成實際的數 值。 未注意單位不同或忘記換算。 未注意xy座標軸的單位，及其代表的意義。 沒有作答。 這些錯誤有時是可以避免的，若能避免則可 讓具有能力的學生獲得應有的分數，而不會 低估了學生的成績。 62 62

學生作答常犯錯誤示例 63

未能答對的原因 課程未包括、已刪除或只有粗淺的介紹。 論證式的作答 概數 比例尺 有能力，但無法答對，Why ? Find out… 範例 CHECK ? M148Q02 大陸面積 M159Q01 賽車速度 M159Q04 賽車速度 M179Q01 搶劫 國際答對率 0.19 0.67 0.28 0.26 (0.30) 此次測驗答對率 0.18 0.57 0.41 0.33 註：綠色為PISA 2000的國際答對率；藍色為PISA 2003的國際答對率 64

M148 大陸面積(1/4)

M148 大陸面積(2/4)

M148 大陸面積(3/4)

M148 大陸面積(4/4)

常見的學生作答方式-1 公里 孟席斯山 南極 南極洲 公里 孟席斯山 南極 南極洲 將不規則面積補成 1個或多個 長方形 69

常見的學生作答方式-2 公里 孟席斯山 南極 南極洲 全部的面積（2個長方形相加 ）－ 2個三角形－ 1個梯形 70

答題統計 71

學生常犯的錯誤 14400km平方，以一個矩形把整個南極洲圍住，再計算矩 形的面積就大約是整個南極洲的面積。 計算錯誤、比例尺用錯或未使用比例尺。 14400km平方，以一個矩形把整個南極洲圍住，再計算矩 形的面積就大約是整個南極洲的面積。 將南極洲切割成兩個梯形及一個正方形，用尺量出大約長度再 用比例尺計算【2(5+2)/2+(5+2)/2+2*2】*400=5000 。 先畫一個長方形，再把多出來的面積補進空缺的地方（只有敘 述，沒有計算過程，也沒使用比例尺）。 沒有作答。 72

作答建議 比例尺的問題，在真實生活中經常使用，在PISA數學試題也很 經常出現。此類型試題的答案通常是一個範圍或區間，因此， 作答時建議 使用測量工具，例如：尺。 要記得將計算結果依比例尺轉化成實際值。另外，因為轉化後的實 際值通常比較大，建議使用計算機以避免計算錯誤。 正確使用比例尺。比例尺並不是都以1公分：50公里（或100公里） 的換算方式。在本例題中的比例尺比較特殊是0.7公分：200公里， 換算時要特別注意。 儘量作答。多數開放性問題雖然都會要求計算過程，但PISA數學試 題的評分規準有明確提及，答案對但沒有計算過程，仍可獲得滿分 。 73

M159 賽車速度(1/4)

M159 賽車速度(2/4)

答題統計 正確答案 76

作答建議： 學生常犯的錯誤 誤認為賽道一開始一定是『最長且平直』的地方。 (17.6%選A) 誤認為減速最少的就是『最長且平直』的地方。 (12.7%選C ) 不清楚賽車在直線區(1.5km~2.3km)，不但可以加速 ，還可維持高速行駛。 作答建議： 要能將速度變化圖與可能的賽車跑道作連結和對照 。 77

M159 賽車速度(3/4)

M159 賽車速度(4/4)

答題統計 正確答案 註：『8』學生圈選二個以上選項。 80

作答建議： 學生常犯的錯誤 直接將題目中的速度變化圖當成軌道圖 (17.6%選 E) 。 錯誤的認知。誤認為速度增、減變化的地方軌道也要 有凹、凸的情況 (19.5%選 A)。 未考慮轉彎處 (速度遞減後又增加) 與直線區 (加速並 維持高速行駛) 的相對位置 (選B 或D)。 作答建議： 要仔細比對轉彎處和直線區與速度變化圖之間的關係 。 81

M179 搶劫(1/4)

注意： 以下代號中，答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子，而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子。請不要單憑「是」或「否」來計分，而應看看答案解釋是否合理。 只有討論搶劫案的實際增加數字，但沒有將它與總數比較。 不合理。搶劫案數目大約增加了10宗。用「巨幅」一詞去形容搶劫案數目增加的真實情況不正確。搶劫案數目只大約增加了10宗，我不會稱之為「巨幅」。 不合理，須顯示整個圖表。 我不認為那是合理的詮釋，因為如果顯示全圖的話，便能看到搶劫案的數目只是輕微上升。 有點不合理。由508 至515 是有增加，但不是巨幅的增加。 主播不應用「巨幅」這個字眼。 不，這是不合理的。主播（記者）經常喜歡誇大。 是，搶劫案數字差不多雙倍增加。 我們不能說增加是否巨幅。若1997年的搶劫案數目與1998年的相同，那麼我們可以說1999年有巨幅增加。 不，不合理。計算百分比，約只有2%的增加。

M179 搶劫(2/4)

M179 搶劫(3/4)

M179 搶劫(4/4)

答題統計 87

學生常犯的錯誤 主觀的陳述自己對問題的看法，忘記或忽略使用 題目中圖表提供的資訊。 是，對我來說，超過一個都算多。 是，現在科技越來越發達。 是，因為這幾年來經濟不景氣，有人為了生活做出做壞的打 算，所以才會搶劫。 合理，因為每一年的治安越來越亂了!。   只注意到題目中的部分資訊，未能掌握所有（或 關鍵）的資訊。 當然合理，圖表上升那麼多怎麼不合理呢！ 因為犯罪的長條圖，是越長條，數量越多。 是，因為圖表表達得很清楚，1999比1998確實多很多。 否，並沒有巨幅上升。 88

作答建議 利用圖形或表格的資料為依據進行推論、獲得結果 ，是PISA數學試題中常見的開放性問答題類型之一 。這類型的試題在題目中一定有『請依據上圖』或 『請根據表格中的數據』字句，提示學生應以圖表 的資料做為作答的依據。作答時 不要以主觀的意識來回答問題，請務必使用圖、表中的資 訊，。 注意圖形(x軸、y軸) 或表格(公里／小時或公尺／秒)中所 使用的單位，才不會遺漏資訊。 89

為了做環境的回家功課作業，學生收集了幾種廢棄物所 需分解時間的資料： 問題 1：廢棄物 M505Q01 - 0 1 9 為了做環境的回家功課作業，學生收集了幾種廢棄物所 需分解時間的資料： 廢棄物種類 分解時間 香蕉皮 1－3年 橘子皮 1－3年 瓦楞紙箱 0.5年 口香糖 20－25年 報紙 幾天 塑膠杯 超過100年 有一位學生想用長條圖來表示這個調查結果。 寫出一個理由解釋為何長條圖不適合用來表示這個結 果。

評分 你無法驗證這些資料。 因為這是不可行的。 長條圖中長條長度的差異會很大。 假如用一條長10公分的長條來代表塑膠杯，代表瓦楞 紙箱的長條就只有0.05公分。 因為表內的數字只是近似值。 「塑膠杯」長條的長度無法確定。 你不能做出一個表示1-3年的長條或者一個表示20-25 年的長條。 用插圖說明會比較好。

數學素養評量的應試注意事項 92 92

一、使用輔助工具 善用題本提供的公式 題本（封面內頁）有提供部分公式。例如體積、面 積的公式、圓周率（22/7）。 運用測量工具與計算機 PISA評量可以使用各種測量工具解決問題，例如長 度、面積等的計算與估測。因此，作答時建議使用 測量工具（例如：直尺、圓規與量角器），可以提 高測量的準確性。此外，遇到大數或比較繁複的計 算，可以使用計算機作為輔助，以避免計算錯誤或 誤差過大。 93 93

M509 地震(1/2)

M509 地震(2/2)

M552 搖滾音樂會