（讲座幻灯课件请在网上下载，让我们一起思考！） 数学高考的命题趋势和能力要求 四川省凉山州教育科学研究所 谌 业 锋 ⊙ 四川省特级教师 ⊙ 凉山州专家型教师 ⊙ 凉山州学术和技术带头人 ⊙ 中学高级教师 ⊙ 中小学教育研究室主任 ⊙ 西昌学院客座教授 欢迎访问 业锋教育在线 http://www.lsyf.cn 谌业锋主页 http://lsyf.cn/jksyf.html （讲座幻灯课件请在网上下载，让我们一起思考！） QQ:178990915 电话:18981539788 E-mail:jksyf@163.com

数学高考的命题趋势和能力要求 四川省凉山州教育科学研究所 谌业锋 一、命题趋势 二、能力要求

一、命题趋势 改革中的数学高考的命题，继承和发扬历次高考改革的成果和经验，在保持整体稳定的前提下，加大了改革创新的力度，形成了“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰”的新特色，有利于大学创新人才的选拔和中学素质教育的实施。

（一）强化主干知识，从学科整体意义上设计试题 考查考生对基础知识的掌握程度，是数学高考的重要目标之一。 对数学基础知识的考查，要求全面，但不刻意追求知识点的百分比，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要的深度。

即重点知识重点考查，如函数关系及性质，空间线、面关系，坐标方法的运用等内容的考查都保持较高的比例，并达到必要的深度。 如函数内容在选择题、解答题中都做了重点考查，而且都有一定的深度，显示出重点知识在试卷中的突出位置。

对能力考核的强化离不开对基础知识和技能的考查，高中阶段仍属于基础教育。高中教学的目的之一，就是引导学生建构符合他们年龄特征和身心状况的知识结构和知识体系。数学科高考反对死记硬背，但并不排除对所学知识的识记。强调能力考核，并不意味着要削弱对基础知识和基本理论的要求。不能借口能力考核或理论联系实际而弱化、淡化基础知识、基本理论。

相反，学生是否具有较为扎实的基础知识和基本理论，是数学命题贯彻理论和实际相结合的原则的前提，也是教学中培养、提高学生分析问题和解决问题的能力的基础。近几年来，相当一部分考生在答题中的一些失误，并不是因缺乏灵活的思维和敏锐的感觉，而恰恰是因对教学大纲中规定的基础知识、基本理论的掌握还存在某些欠缺，甚至有所偏废所致。考生对所学知识的掌握缺乏整体性、条理性是较为普遍的现象。

知识的整体性，是切实掌握数学知识的重要标志。高考命题总是从学科整体意义的高度去考虑问题，以检验考生能否形成一个有序的网络化的知识体系，并从中提取相关的信息，有效地、灵活地解决问题。 《数学科考试大纲》中明确提出，在考查知识的同时，逐步加强能力的考查。要求考生对课程内容能够融会贯通，把重点放在系统地掌握课程内容的内在联系上。 命题中很重视知识的整体性和综合性，在知识网络的交汇点上设计试题。目的是倡导对所学内容能够融会贯通，理论联系实际，防止单纯机械记忆。

强调知识之间的交叉、渗透和综合。 目前，在教学中一般比较关注教科书中那些有形的有着具体文字描述的东西，即具体的知识内容（“陈述性知识”），这些具体的知识内容一般都能讲清、讲透、讲活。 然而，还应当重视对教科书中那些无形的没有文字描述的东西，即知识之间的内在联系和思维过程，即所谓“程序性知识”的教授。

我们知道，现实生活中的诸多问题，并非是由单一因素构成的，其变化发展的过程以及所产生的影响，往往涉及很多方面。 显然，分析问题和解决问题的角度、条件、办法，等等，就需要做多种考虑。强调知识之间的交叉、渗透和综合，正是这一现象在数学命题中的客观要求。事实上，阐述那些无形的东西比阐述那些有形的东西更重要，也更能体现教师对学生的作用和价值。

如果过于强调各个知识点之间的相对独立性，过于强调对已有结论的记忆，教学前后脱节，不能将教科书中的有关内容视为一个发展的过程和有机的整体，抓不住知识之间的内在联系，导致相关知识之间相互割裂，就会影响学生思维过程和思维能力的培养和训练，展示给学生的，只是不同观点和结论的碰撞、叠加，而没有多种思想和方法的交锋、交融，学生也就很难举一反三、融会贯通了。

（二）淡化特殊技巧，强调数学思想和方法 数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中。因此，对它的考查是考查考生能力的必由之路，在考查知识的同时，考查数学思想和方法是必然之举。 数学基本方法，如待定系数法、换元法、配方法、割补法、反证法等是数学通法的主体。数学逻辑方法或思维方法，如分析与综合，归纳与演绎，比较与类比，具体与抽象，一般（化）与特殊（化）等是数学考查中理解、思考、分析与解决问题的普通方法。

数学思想方法，属方法范畴，但更多地带有思想、观点的属性，属于较高层次的提炼与概括。 在中学教学与高考考查中，共识的数学思想方法有：数形结合的思想方法，给抽象的问题以形象化的原型，从而给人们以形象思维的启示；反过来给直观问题以数理推证和精确刻画。 数学思想和基本数学方法蕴含于数学基础知识中，表现为数学观念，它们与数学知识的形成过程同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习、理解和应用过程。

（三）深化能力立意，突出考查能力与素质的导向 数学科考试的重点是考查运用知识分析问题的方法和解决问题的能力，因此命题中尽量避免刻板、繁难和偏怪的试题，避免死记硬背的内容和繁琐的计算。 力图通过数学科的高考，不但能考查出考生数学知识的积累是否达到进入高校学习的基本水平，而且要以数学知识为载体，测量出考生将知识迁移到不同情境的能力，从而检测出考生已有的和潜在的学习能力。

在卷首列出部分参考公式，引导教师、学生在教学和复习中把精力放在理解、思考、分析和解决问题上，避免死记硬背和过于繁琐复杂的计算。 考查运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力以及分析和解决问题的能力，是数学科本身特点决定的、公认与共识的能力，其中以逻辑思维能力为考查重点。

运算能力是思维能力与运算技能的结合，它不仅包括数的计算，还包括式的运算；不仅包括精算，还包括近似计算与估算。以含字母的式的运算为主，兼顾对算理和逻辑推理的考查。 数学是一门思维的科学，数学活动是一项思维运动。 数学科的考试，作为一项限时解答数学问题的专门活动是个体的思维能力作用于数学活动的心理过程，同样表现为思维的过程。“以能力立意命题”，是数学的学科特点和考试目标所决定的。

数学科命题突出以能力立意，对知识的考查侧重于理解和应用，而不是简单的重现，特别注重知识的综合性和灵活应用。 题目的面目新颖，这类的题目在课本例题、复习资料、模拟试题中比较少见。 新颖的题目因为没有现成方法可借鉴，会使一些考生感到难以入手，从而在一定程度上影响该题的得分率。 但新颖的试题有利于考查学生进入高等学校进一步学习的潜能，这与高考的宗旨是一致的。

试题提高了对解决问题的能力要求，增加思考量，控制计算量，要求考生抓住问题的实质，对试题提供的信息进行分检、组合、加工，寻找解决问题的方法。 这样的试题，不同于知识型的试题，知识型的试题注重知识的记忆、解题的技巧，常伴有大量的运算，一般都可以通过一定时间的训练，形成固定的解题模式、记忆性的操作步骤，从而使解题过程变成一系列机械的操作程序。

能力型的试题没有固定的模式，难有现成的方法和套路可以套用，思维水平要求高，不强调解题技巧，无须死记硬背，思维容量大，运算量较小，能有效展示考生的思维水平和创造意识，完成这样的试题需要有能力的培养，依靠“题海”和大运动量的操练是难以奏效的。

设计试题注意研究试题的能力层次要求，设计出不同解题思想层次的试题，使善于知识迁移和运用思维块简缩思维的考生能用敏捷的思维赢得时间，体现其创造能力，有明显的思维层次要求。

（四）坚持数学应用，考查应用意识 加强应用意识的培养与考查是时代的需要，是教育改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的。从1993年开始，数学科逐步加强了数学应用的考查。 应用题的主要特点是，密切结合课本，考查数学的重点知识；靠近生活，密切联系国家政治、经济和人民生活的实际，具有强烈的现实意义。 解答数学应用问题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力。新课程的试卷，突出新增加的向量、概率、导数和微积分等知识的应用性。反映出中学课程新增加的数学内容在解决实际问题中重要作用。

应用题是对考生“综合实力”的考查，是考查能力与素质的良好题型。近几年应用题的编拟更加重视语言简洁、准确，背景清新、近人，模型具体、简明，方法熟悉、简便，所涉及的都是数学基本内容、思想和方法，摒弃繁琐的数学运算，突出了数学思想、方法和综合分析问题能力的考查。

（五）开放探索，考查探究精神，开拓展现创新意识的空间 高考作为选拔性考试，应该偏重于能力测验，特别是能力倾向测验，主要考查考生是否具有在未来的学习或工作中成功的可能性。 因此，它着重反映的不是人们的实践和认识活动的经验以及这些经验所必须符合的条件，而是考生认知活动过程本身。

在教育测量比较发达的美国，其心理学家一般将大学入学考试中的能力要求划分为晶体能力测试和流体能力测试两种。 晶体能力主要反映在解决词语和数字的任务中，受环境和经验的影响。 流体能力主要反映在解决某些没有学过的、非词语的任务中，较少受知识的影响。关于这两种能力的划分标准，也有人以“课堂上教过的”和“没有教过的”作为区分，也许，用考查学生的“显能”和“潜能”来描述，可能更为清楚。

晶体能力测试的设计原则是：主要考核中学课程中所讲授的、对大学学习的成功也是有一定帮助的学科内容。 流体能力测试的设计原则是：侧重学科性考核，以预测一个学生在大学相关专业的学习上成功机会的有无和大小。 这两种测试在学科知识内容的选择上基本相同，而在考核目标和考核形式上却有较大区别。例如，在有关晶体能力的测试中，题目的设问、答案的要求等，一般都比较确定，基本上限制在教学大纲以内。而在流体能力测试中，多采取开放性的、学生自己构思答案的做法。

共性与个性相结合，适当增加开放性的试题，鼓励有创造性的答案，这一高考改革原则，更多地反映在考查能力与素质上。 开放型试题是考查学生能力与素质，特别是考查学生探究精神的很好题型。

在考查考生创新能力的努力中，命题也要体现创新精神，力争使试题富含时代气息。数学科命题积极调整题型结构，创设试题的新鲜背景和设问方式。 对考试性质和考试要求等方面，都表述得更为具体、明确，同时在试题情境和设问形式方面继续有所创新。

试题的创新，既要体现在情境上，更要体现在思维价值水平上。命题要求立意新、情境新，思维价值高。多年来，一再强调“要从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧”。在坚持这一要求的同时，必须注意考查思维价值水平的问题。 试题的精心设计旨在深化能力立意，从不同角度检测考生的探索、反驳和否定的能力。

这样的高考试题，力图考出学生的能力和创新意识。更准确地说，这样的试题是给学生提供了充分展示能力的空间，而不是限制在狭小的范围内考查学生的能力。 “展示”与“考查”是完全不同的评价理念。 强调“考查”，学生往往被限制在一种能力的某一特定的范围内，被动地进行；

强调“展示”，学生则更多地是在比较自由的空间里，以自己擅长的方式构思或寻找解决问题的方法，创造出各种不同的独特的解法，学生的能力得到了主动的发挥，学生身上蕴藏的创造力得到充分的发掘。 这种在考试中让学生充分体现主体性和建构性的命题，使得高考这个重要的评价形式建立在新的理念的基础上，对今后考试内容改革的发展将产生重要的影响。

在考查创新能力的过程中，一方面要积极探索，大胆实践，同时应进一步研究试题的稳定与创新的关系，处理好试题创新与试题难度的关系，体现出“新题不难，难题不怪”的特点。

（六）均衡试卷结构，形成合理布局 随着高考科目组设置的改革，高考内容改革的深入和高中数学新课程的推行，当前高考正处在一个过渡时期，数学科试卷有“3+X”科目组、新课程、文理合卷等多种类型。 因此必须研究这些试卷的相关性，使之既能依据各自的内容和层次要求，发挥高考的选拔功能和导向作用，又能使不同试卷适应不同考生群体的情况，体现出不同的试卷特点。

1. 创新试卷结构，发挥整体效应 近年高考数学试卷，努力做好全卷的均衡，仔细研究试卷长度与考试时间的关系，基本题型与综合题型的匹配，能力考查深度与教学实际的相关程度等问题，形成了较为合理的布局，发挥了试卷的整体效应。 改革措施有助于打破僵化的试卷模式，形成生动、活泼、新颖、流畅的试卷布局，为试题内容改革提供适宜的形式和方法。同时也有助于突破固有的复习模式，打破背题型、套套路的复习方法，进而摆脱“题海”战术的困扰，真正实施素质教育。

2. 控制运算量，增加考生思考时间 高考改革的指导思想中提出，高考要以考查能力和素质为主，为真正考查出学生的潜能和素质，必须给学生更多的思考空间和时间。 注意控制试题的运算量，使学生有更多的时间去理解题意，分析、解决问题。

3. 充分估计考生对试题的适应程度，控制试题难度 数学科试卷近几年来能保持一个较为稳定的难度系数，说明试卷总体上能与考生的实际水平相适应。由于高考内容改革的步伐加大，命制了一些比较综合和新颖的试题，对于那些习惯于模仿现成方法和套用现成题型的考生显然不能适应，因此试卷中较难的试题显得多了一些，造成考生群体成绩有所下降。

一些年份的难度波动，究其原因，往往是个别小题使考生不能适应，由于一道题失分较多造成整卷成绩下降。 因此要充分关注试题的每一个条件、每一个设问乃至每一个表述方法，充分估计考生的适应程度，有效地保证整卷难度的稳定。

控制试题难度，除减少试题量外，还采取了控制试题的综合程度，适当降低试题入门“门槛”等措施。 试题的表述注意运用考生熟悉的语言和表述方式，同时采用图形、图像、表格、数学符号等多种数学语言，简明直观，有利于考生的阅读理解；试题背景的取向注意靠近教材和考生的生活实际，让考生处于一个较为平和、熟悉的环境中，增强解题信心。

同时，控制计算量，避免繁琐运算，一些貌似有较长运算过程的试题都有不同的解题思维层次，以保证考生有较多的时间和精力去答解答题。数学科命题充分注意到考生群体的新情况、新特点，加强调查研究，综合分析，试题的编制努力做到实现考查目的，同时充分考虑难度控制的问题，贴近考生，切合教学实际。

4. 综合平衡不同类别的数学考卷 现行教材和新课程两套试卷的编制，既注意到高中教学阶段相同的培养目标，又顾及它们在知识内容和编写系统上的差异，做到整体思想保持一致，又突出各自独特的风格，以利于高中新课程的推广。

（七）妥善处理文、理试卷的区别与联系 试验文、理合卷，探索数学作为基础学科的考查功能。 1999年在执行“3+X”科目设置的广东省，命制文、理合卷的数学试题，研究合卷试卷设计，平衡文、理两类考生对数学知识和能力方面的差异，并进一步探索高中毕业生合理的数学知识结构的问题。

1. 内容 在制定《数学科考试大纲》时，根据合卷后数学科的基本要求和考生文、理科分科教学的实际，在内容的选择时，合卷后的要求不能完全按照理科的要求处理，但也不能造成这样的误解，即合卷后的数学试卷等同于文科试卷。

2. 难度 在设计合卷后的试卷难度时，首先考虑的是中学教学的基本要求，即合卷难度不能低于中学教学大纲的要求，因此难度应当介于原“3+2”科目方案的文、理科试卷之间，同时适当考虑使用试卷的省份的考生的水平，这是确定整卷难度的基础。

在进行试卷难度梯度设计时，要考虑考生的具体情况，合卷后由于文、理科考生同时使用一张试卷，因此考生之间的差距加大，水平差异更为明显。 所以一方面要使按文科要求学习的考生能够动手做题，同时又应使高水平的考生有充分发挥其聪明才智的空间； 应适当拉大试题难度的分布区间，试题难度的起点应与文科的起点相近或基本持平，而试题难度的终点应与理科相同。

二、能力要求 普通高考的目的和性质决定了它不仅要对考生的学科知识和具体技能进行考核，而且要对考生所学习的知识的内在联系、学科基本规律及方法的理解程度和应用程度进行考查，即考查考生的一般心理能力和学科能力。 从学科角度和命题实践出发，可将高考的数学考试的能力要求归纳为以下几个方面。

1. 思维能力 会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。 2. 运算能力 会根据法则、公式进行正确运算、变形和处理数据；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。

3. 空间想象能力 能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

4. 实践能力 能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。

5. 创新意识 能从数学的角度发现问题，提出问题，能够应用所学的数学知识和方法进行独立思考，探索、研究和解决问题。

数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。

对能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料。 对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。

对能力的考查，以思维能力为核心，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际。 运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要是算理和逻辑推理的考查，以含字母的式的运算为主。 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，考查时注意与推理相结合。

实践能力在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。 命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我国中学数学教学的实际。 让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识。

创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现。在数学学习和研究过程中，知识的迁移、组合、融会的程度越高，展示能力的区域就越宽，显现出的创造意识也就越强。命题时要注意试题的多样性，设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探索型或开放型的题目。让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具，梳理解题程序，为考生展现其创新意识发挥创造能力创设广阔的空间。

（一）思维能力的考查 思维能力是数学能力的核心，是人们进行思维活动的基础，是一个人基本素质的主要标志。思维能力在数学科中是使用数学素材进行训练和培养的，但这种思维具有思维的一般性，是完全可以脱离数学内容而适用于思维的一切领域。 因此，高考应把思维能力的考查放在重要的位置。高考对思维能力的考查以演绎推理为重点，注意归纳和类比推理；考查观察、比较、分析、综合、抽象和概括能力；注意数学语言、普通语言的理解和运用；注意思维品质的考查。

1. 演绎推理 数学是一个各部分紧密联系的逻辑系统，形式逻辑推理是基本方法。由概念组成命题，由命题组成判断，由判断组成证明。 在数学领域中只有被严密逻辑证明了的结论才被承认为正确的，因此数学是体现逻辑最为彻底的学科。中学没有逻辑学科，数学就很自然地承担了这方面的责任，因此数学考试中着重考查了演绎推理的能力。

演绎推理能力是指从定义出发进行分析、推理、论证的能力，其重点是三段论推理。 大学对合格新生的要求一方面是掌握一定的数学知识，但更重要的是具有一定的能力。在大学数学基础课程中，学生普遍感到困难的是线性代数，如向量空间。究其原因，是学生利用原理、定义进行抽象推理的能力没有达到要求。

高考对逻辑思维能力的考查主要体现在对演绎推理的考查。试卷中考查演绎推理的试题比例较大，命题时既要考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又要考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考查。

2. 归纳推理 归纳推理和演绎推理是两种不同的思考和推理方法。 归纳推理是一种由旧事物发现新事物的推理方法，是创造力的一种成分。

虽然数学知识是一个演绎的知识体系，并且演绎推理是数学研究和学习的重要方法，但归纳的方法是获得数学结论的一条重要的途径，运用不完全归纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般结论，形成猜想，然后加以证明，这是数学研究的基本方法之一，是学生应当学习、理解的。 归纳推理可分为完全归纳和不完全归纳两种。包括了所有可能情况的归纳称为完全归纳。数学归纳法也是一种完全归纳法。高考对归纳推理的考查是从这两个方面进行的。

3. 直觉思维 数学思维主要是形式逻辑思维，逻辑思维操作的对象是概念，并严格遵循形式逻辑推理的规则。 直觉思维区别于逻辑思维的重要特征就是在没有经过严格的逻辑推理之前，迅速对事物作出判断，得出结论。而且这种结论还需要严格的逻辑证明。 事实上，直觉思维得出的结论并不是主观臆断，而是以扎实的知识为基础，以对事物敏锐的观察、深刻的理解为前提的。

直觉思维是指不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质的一种思维方式。 在直觉思维过程中，人们以已有的知识为根据，对研究的问题提出合理的猜测和假设，其中含有一个飞跃的过程，往往表现为突然的认识和领悟，直觉思维的特性主要表现在思维对象的整体性、思维产生的突发性、思维过程的非逻辑性、思维结果的创造性和超前性以及思维模式的灵活性和敏捷性等。

逻辑思维与直觉思维是两种基本的思维形式。 逻辑思维在数学中始终占据着主导的地位，而直觉思维又是思想中最活跃、最积极、最具有创造性的成分，逻辑思维与直觉思维形成了辩证的互补关系，它们的辩证运动构成了完整的数学思维过程。 直觉思维为演绎思维提供了动力并指示着方向，逻辑思维则对直觉思维作出检验与反馈，是直觉思维的深入和精化。

既然直觉思维与逻辑思维一起组成数学思维，那么在高考命题中，很自然地要考虑如何对直觉思维进行考查。考生在考试过程中直觉思维活动的结果是可以在卷面上反映出来的，但思维过程则很难反映出来。 因此，选择题、填空题的题型对考查考生的直觉思维有特别的作用。我们在设计试题时，往往从多种方法、多个角度来考虑，使试题解答尽量应用多种思考方法，给考生提供较为广阔的思维空间。 由于考生在解答时思考的思维方式不同，那么他们解题所花费的时间也必定不同。我们便以解答时间的长短来衡量考生的思维水平，解答正确而所用时间较少的考生，其思维水平较高。在他们的思维过程中，必定含有直觉思维的因素。

解选择题时，鼓励考生使用“猜”的方法对不对呢. “猜”算不算数学 解选择题时，鼓励考生使用“猜”的方法对不对呢?“猜”算不算数学?这些问题在一部分教师中还存在着不同的认识。他们总认为数学就是严格的推理、严密的证明，“猜”怎么能算数学呢?怎么能进入课堂? 孰不知，“猜”是直觉思维的特性，是发明创造的基础，是人的素质的标志。科学、合理的猜测是数学能力的体现!我们不鼓励胡猜、乱猜、瞎猜，而提倡合乎情理的猜想。正如一些伟大的数学家所说：数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看数学是一门系统的演绎科学，但另一方面创造过程中的数学，看起来更像一门试验性的归纳科学。

（二）运算能力的考查 运算能力是思维能力和运算技能的结合。它不仅包括数的运算，还包括对式的运算，对考生运算能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，同时要兼顾对算理和逻辑推理的考查。

运算能力主要是数与式的组合与分解变形的能力，包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、数列极限的计算、几何图形中的计算等。运算结果具有存在性、确定性和最简性。 运算能力是一项基本能力，在代数、立体几何、平面解析几何等学科中都有所体现。在高考中半数以上的题目需要运算，运算的作用不仅是只求出结果，有时还可以辅助证明。运算能力是最基础的又是应用最广的一种能力。 高考对运算能力的考查注重算理和符号运算考查，控制运算量，精确计算与合理估算结合。

1. 运算的准确 运算的准确是对运算能力的基本要求，要求考生根据算理和题目的运算要求，有根有据地一步一步地实施运算。影响运算准确的因素是多方面的，只要在运算全过程的某一个环节出现问题，就会导致整个运算的错误。 在填空题中，一步算错，整题失分；在解答题中，某步出错，后继部分随之有误，最多只能得一半的分数。在高考中重点强调的是：在运算过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误。

2. 运算的熟练 运算的熟练是对考生思维敏捷性的考查。在高考中考查运算能力，一般不是增大每题的运算量，而是通过控制每题的运算量，增加题目数量来实现的。 增加有效题量，可以增加考核知识点，更重要的是可以增加考核深度，给考生以充裕的时间去想怎么算，而不是把时间花在冗长的计算过程的条理和书写上，过难过繁的计算消耗考生的时间和精力，将会影响对基本概念、方法和其他实践能力的考查。

数学试卷全卷的计算量一直是高考命题研究的重要问题。实际上，计算量的大小主要是由高考的性质决定的。 应以50%的考生在110分钟内能完成全卷的解答为标准。这里所谓完成，不含复核时间，而且计算量的估计也应以一般通用解法为准。 事实上，数学试题往往存在一题多解、计算量相差悬殊的现象。同一道试题不同的解题思路会反映出不同的能力层次。计算量的大小往往也能反映出不同的能力层次。

3. 运算的合理 运算的合理性是运算能力的核心。一般一个较复杂的运算，往往是由多个简单的运算组合而成的。如何确定运算目标，怎样将各部分有机地联系在一起，这是运算合理性的主要标志，是运算能力的体现。 随着计算机和计算器技术的发展和普及，只要能设计出运算程序，计算机能够完成一切计算，而且高效、快捷、准确。 因此，运算能力的考查重点应放在考查算理，运算途径的判断、选择、设计及相关的字母和代数式的运算，因为这些是要靠人的思维去解决的。

运算的合理性表现在运算要符合算理，运算过程中的每一步变形都要有所依据，或依据概念，或依据公式，或依据法则，可以说运算的每一步变形都是演绎法的体现。运算过程包含着思维过程，运算离不开思维。 运算的合理性表现在运算目标的确定。运算的目的是要得到化简的数值结果或代数式等，有时是完成推理和判断的工具。对一些比较直接、简单的运算目标一般考生还能把握，但对一些比较复杂的运算目标，需要经过几步运算才能达到最后结果的，考生一般都感到困难，突出表现是三角函数的恒等变形。

在1991年以前，对三角函数的考查一般以证明恒等式的形式出现，一般考生不能从等式两边的特点分析出化简的方向，证明中表现的目的性不明确，滥用公式，把有关的三角公式都写上，分辨不出用公式的目的。 近年来为加强对运算目的性的考查，将证明恒等式改为求值。一般是给出一个比较简单的三角函数式的值，求一个比较复杂的三角函数式的值，或反之。在求曲线的轨迹方程时，如何消去方程组中的参数，也有确定运算目标的问题。

运算的合理性还表现在运算途径的选择。合理选择运算途径不仅是运算迅速的需要，也是运算准确性的保证，运算的步骤越多，越繁琐，出错的可能性也会越大。 因而，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，灵活地运用公式、法则和有关的运算律，要求掌握同一个问题的多种运算方法和途径，并善于通过观察、分析、比较，作出合理的选择。 因此，运算能力的考查中包括了对思维能力的要求以及对思维品质（如思维的灵活性、敏捷性、深刻性）的考查。

4. 运算的简捷 运算的简捷是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省，运算的简捷是运算合理性的标志，是运算速度的要求。 高考对运算简捷性的考查，主要体现在运算过程中概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用，尤其是数学思想方法，可以简化运算，提高速度。

其中数形结合的思想、函数与方程的思想、等价转化的思想、换元法等数学思想方法在简化运算中都有重要的作用。 运算的简捷是对考生思维深刻性、灵活性的考查。

（三）空间想象能力的考查 所谓空间想象能力，就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象思维的能力。 其主要包括四个方面的要求： 一是对基本几何图形必须非常熟悉，能正确画图，能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及位置关系。

二是能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系。 三是能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系。 四是有熟练的识图能力，即从复杂的图形中能区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系。

事实上，立体图形画在平面上，必然与实际图形产生差异，容易造成错觉。 然而，空间想象能力就能克服这种错觉，正确认识各元素的空间位置和图形的空间结构，能准确领会“点线—线线—线面—面面”之间的联系，并能就解题的根据、需要，对这些关系加以转化，多数情况是把给出的条件转化到某个平面上来，利用平面几何的知识来解题，这就是降维思想，即数学转换思想。 同时，空间想象能力还有助于对题中给出的图形进行分解—分割，组合—拼补，变形—转换，位移或从不同视角观察图形，从而寻找出解题的最佳方法。

（四）实践能力的考查 能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题； 能阅读、理解对问题进行陈述的材料； 能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型； 应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。

高考数学重视数学应用问题，有着深刻的现实背景，随着世界性的科学技术的迅猛发展，数字化技术已经深入到现实生活的各个领域，未来信息化社会对人的素质的要求中，数学能力将是极其重要的组成部分，近年来国内外数学教育改革强调数学的“人人有份”和“问题解决”，正是基于社会对数学的需求。 高考作为培养未来社会人才的选拔性考试，理所当然地要面对社会现实。 正是这个更深层的原因，现在强调高考中重视数学应用，不能单纯满足于课本应用题的变形和发展，应该让数学应用问题更加贴近现实的生活实际，引导考生置身于现实的社会大环境，关心自己身边的数学问题。

（五）创新意识的考查 能从数学的角度发现问题，提出问题，能够应用所学的数学知识和方法进行独立思考，探索、研究和解决问题。 通过数学科的高考，倡导重视数学应用，是从1993年开始的，已经经历了十几年头。这些年来，尽管数学科高考中有关数学应用的试题存在这样那样的缺陷，但是它所倡导的加强数学学科与社会实际和生产实际的联系，引导考生置身于现实社会大环境中，关心身边的数学问题，具有良好的导向,也促进了中学数学教学加强数学应用的研究，推动数学教学改革。这种命题方向得到数学教育界的普遍肯定。

回顾这些年来高考中有关数学应用的问题，所涉及的知识面上还存在一定的局限性，多数是函数知识和数列知识的运用。以前试题选择题中出现的“民房屋顶面积”问题，各地反映良好，以及设计的“纸片剪拼”问题，目的在于尝试开拓数学应用的新领域。

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⊙ 四川省特级教师 ⊙ 凉山州首批专家型教师 ⊙ 凉山州学术和技术带头人 ⊙ 中学高级教师 ⊙ 凉山州教科所中小学教育研究室主任 ⊙ 西昌学院数学教育、教育心理学客座教授 ⊙ 中国数学会会员 ⊙ 中国教育学会会员 ⊙ 中国心理学会会员 ⊙ 中国心理卫生协会会员 ⊙ 四川省教育学会中学数学教学专业委员会常务理事 ⊙ 四川省教育学会教育心理专业委员会理事 ⊙ 四川省中学数学学科中心组成员 ⊙ 四川省中小学心理健康教育中心组成员 ⊙ 凉山州基础教育课程改革专家指导组成员 ⊙ 凉山州基础教育课程改革学科指导组成员 ⊙ 凉山州教育学会心理健康教育研究会理事长 ⊙ 凉山州教育学会数学教学研究会副理事长