近世代数(Abstract Algebra) 近世代数以群、环、域等代数系统为其基本内容。它对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵、线性空间等概念进一步概括，具有抽象的特点，适宜于培养学生抽象思维和逻辑推理的能力。它不仅是将来学习代数的一个入门，而且与其它学科，如几何、拓扑、泛函和有限数学等有密切联系.

第三章 环与域 加群、环的定义 交换律、单位元、零因子、整环 除环、域 无零因子环的特征 子环、环的同态 多项式环 理想 第三章 环与域 加群、环的定义 交换律、单位元、零因子、整环 除环、域 无零因子环的特征 子环、环的同态 多项式环 理想 剩余类环、同态与理想 最大理想 商域

§1加群、环的定义 定义：一个交换群叫做一个加群，假如将群的代数运算叫做加法，并且用称号+表示。 的和有意义，这个和 因此在加群里n个元 用符号 即： 加群中的唯一元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示 则有运算规则：

§1加群、环的定义 规定: 则有： （0为Ｒ中零元）

§1加群、环的定义 定义 一个集合Ｒ叫做环，假如 1、Ｒ是个加群，即Ｒ对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群； 定义　一个集合Ｒ叫做环，假如 1、Ｒ是个加群，即Ｒ对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群； ２、Ｒ对于一个叫做乘法的运算来说是闭的； ３、关于乘法满足结合律： ４、关于乘法与加法满足分配律： 则有运算规则：

§1加群、环的定义 （0为Ｒ中零元）

§1加群、环的定义 规定： 则有：

§２交换律、单位元、零因子、整环 定义 一个环Ｒ叫做交换环，假如 其中a,b为Ｒ中任意元。 所以有： 定义　一个环Ｒ叫做交换环，假如 其中a,b为Ｒ中任意元。 所以有： 定义　一个环Ｒ的一个元e叫做一个单位元，假如有 其中a为Ｒ中任意元。 注：不是所有环都有单位元，如下例。

§２交换律、单位元、零因子、整环 例１Ｒ＝｛所有偶数｝，Ｒ对于普通数的加法和乘法作成一个环，但Ｒ没有单位元。 单位元的唯一性：一个环Ｒ如果有单位元则其单位元是唯一的。 证明：设Ｒ有两个单位元e和e’则有 所以性质成立。 注一个环Ｒ中的单位元用1表示，且规定

§２交换律、单位元、零因子、整环 定义 一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆元，假如 逆元唯一性：环一个元a若有逆元，则最多只有一个逆元。 证明：设a有两个逆元b和b’，则 所以性质成立。 注：不是环中所有元都有逆元，如整数环中除１和-1外其余元都滑逆元。

§２交换律、单位元、零因子、整环 用a-1表示a的逆元，且规定 则对任何整数都有 定义 若在一个环Ｒ里 但 定义　若在一个环Ｒ里 但 则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。

§２交换律、单位元、零因子、整环 例２ Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法如下： 可以验证Ｒ是一个环，称为模n的剩余类环。 但 所以n非平凡因子均为Ｒ的零因子。

§２交换律、单位元、零因子、整环 例３ 高等代数中一个数域Ｆ上一切n阶方阵对于矩阵的加法和乘法来说做成一个有单位元的环， 则当 时有非0矩阵乘积为０矩阵，所以有零因子。 如 但ＡＢ＝０

§２交换律、单位元、零因子、整环 定理 在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。 定理　在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。 证明：因为Ｒ没有零因子，所以由 和 消去律成立。 得 即

§２交换律、单位元、零因子、整环 反之，假设消去律成立，因为 所以由消去律知若 则 所以环Ｒ没有零因子。 推论　一个环若有一个消去律成立，则另一个消去律也成立。

§２交换律、单位元、零因子、整环 定义 一个环Ｒ叫做一个整环，若 １、乘法适合交换律： ２、Ｒ有单位元１: 3、Ｒ没有零因子： 定义　一个环Ｒ叫做一个整环，若 １、乘法适合交换律： ２、Ｒ有单位元１: 3、Ｒ没有零因子： 其中a,b为Ｒ中任意元素。 例如整数环是一个整环。

§３除环、域 例１Ｒ只包括一个元a加法和乘法规定为： 则Ｒ是个环，它只一个元a既是0元，也是a的逆元等。 定义　一个环Ｒ叫做一个除环，若 １、Ｒ至少包含一个不等于零的元； ２、Ｒ有一个单位元； ３、Ｒ每一个不等零的元都逆元。 定义　一个交换除环叫做一个域。

§３除环、域 除环的性质： １、除环无零因子。 因为 ２、除环Ｒ的不等零的元对于乘法来说作成一个群Ｒ＊ 称为除环Ｒ的乘法群。 注：除环由两个群构成，分配律是一这两个群之间联系的桥梁。

§３除环、域 方程ax=b和ya=b各有一个唯一解是a-1b和ba-1. 但是a-1b不一定等于ba-1，而在域中，则有a-1b＝ba-1 所以在域中可以用 表示a-1b和ba-1。 则有以下结论： １、 当且仅当ad=bc时成立； ２、 ３、

§３除环、域 例３Ｒ＝｛所有复数对 ｝。这里规定 则Ｒ是一个除环，但不是交换环。 因为对于非零元 均有逆元 但是(i,0)(0,1)=(0,i),(0,1)(i,0)=(0,-i)所以 这个环是四元数除环。

§３除环、域 环的分类： 环 交换环 有单位元环 无零因子环 整环 除环 域

§４无零因子环的特征 讨论规则： 例１设p是一个素数，则模p的所有剩余类Ｆ构成一个环，则可以证明Ｆ是一个域。 证明：只需证明Ｆ的所有非零元Ｆ＊作成一个乘群。 １、结合律成立，则数的乘法结合律知； ２、由于p是素数，所以p不整除a，p不整除b时一定有p不整除ab,所以 时有 即

§４无零因子环的特征 ３、p不整除a，但p整除a(x-x’)时，则p整除x-x’，即有 所以Ｆ＊是一个乘法群，则Ｆ是一个域。 证明：因为p[a]=[a]+[a]+…+[a]=[pa]=[0]. 分析原因：是因为Ｆ中除零元外，其余元的阶（加法）均为p是一个有限数。

§４无零因子环的特征 定理１ 在一个无零因子环中所有不等于零的元的阶（对于加法来说）都一样。 定理１　在一个无零因子环中所有不等于零的元的阶（对于加法来说）都一样。 证明：如果每个非零元的阶都是无限大，则结论成立。假设Ｒ的某一个元a的阶是有限整数n，b是Ｒ的另一个非零元，则(na)b=a(nb)=0,由 R是无零因子环知nb=0。 所以a的阶不超过b的阶，b的阶不超过a的阶，所以 a的阶＝b的阶.

§４无零因子环的特征 定义 一个无无零子环Ｒ的非零元的相同的（加法）阶叫做环Ｒ的特征。 定义　一个无无零子环Ｒ的非零元的相同的（加法）阶叫做环Ｒ的特征。 定理２若无零因子环Ｒ的特征是一个有限数n，则n一定是素数. 证明：假如n不是素数，n=n1n2，那么对于Ｒ的一个非零元a有 但是 与Ｒ是无零因子环矛盾，所以n是素数。

§４无零因子环的特征 推论　整环、除环、域的特征或是无限大，或是一个素数。 结论：在一个特征为p的交换环中有

§ 5 子环、环的同态 定义 一个环R的一个子集S叫做R的一个子环，假如S本身对于R的代数运算来说作成一个环。 同样可以规定子整环、子域概念。 结论：一个环的非空子集S作成子环的充要条件是：

§ 5 子环、环的同态 一个除环的非空子集S作成子除环的充要条件是： 1、 S包含一个不等于零的元； 2、 例1 R本身是环R的子环。由0一个元作成的集合也是R的子环。 例2 一个环R可以同每一个元交换的元作成一个子环，叫作环R的中心。

§ 5 子环、环的同态 定理1 设R是一个环， 是一个不空子集，且有一个加法和 一个乘法运算，若存在一个R到 的满射，使得R与 对于一对加法和一对乘法来说同态，则 也是一个环。 定理2 设R和 是两个环，并且R与 同态，则R的零元的象是 的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元，R是交换环则 也是交换环，R若有单位元1 ，则 也有单位元 而且 是1的象。

§ 5 子环、环的同态 例3 设R是整数环， 是模n的剩余类环，则 显然是R到 的一个同态满射。 注：R是无零因子环， 是一个有零因子。

§ 5 子环、环的同态 例4 R={所有整数对(a,b)}，对于代数运算 R是一个环，用 表示整数环，则 显然是R到 的一个同态满射。R的零元是（0，0），而 注：R是有零因子环， 是一个无零因子。

§ 5 子环、环的同态 定理3 假设R与 是两个环，且 若R是整环，则 也是整环； 若R是除环，则 也是除环； 若R是域，则 也是域。

§ 5 子环、环的同态 定理4（挖补定理）设S是环R的一个子环，S在R里的补足集合与另一个环 没有共同元，并且 ，则存在一个与R同构的环 而 是 的子环。 证明思路：令 因 所以有同构映射

§ 5 子环、环的同态 R中不属于S的元为a,b,c,… 则 规定一个映射 则可以证明 。

§ 6、多项式环 定义 一个可以写成 形式的R0的元叫做R上的一个多项式，ai叫做多项式的系数。其中 定义加法与乘法运算如下： 加法

§ 6、多项式环 乘法 其中 结论：1、加法与乘法封闭。 2、 是一个环（包含R0和 的最小子环）。 定义 叫做R上的 的多项式环。

§ 6、多项式环 定义 R0的一个元x叫做R上的一个未定元，若R中找不到不都等于0的元a0,a1,…an，使得 定义 令 是环R上的多项式，则n称为为个多项式的次数，0多项式没有次数。

§ 6、多项式环 定理1 有单位元交换一定有未定元x存在。 证明思路：1、利用交换环R构造一环 其中只有有限个ai不等于零.则定义加法和乘法可证明其为交换环。 2、利用 可以得到一个包含R的环P 3、证明P包含R上的未定元。

§ 6、多项式环 定义 一个有形式 的元叫做R上的 的多项式。 则R上的所有 的多项式构成一个环称为 多项式环记作 定义 R上的x1,x2,…,xn任何一个系数不全为零的多项式不等于0，则称x1,x2,…,xn为R上的无关未定元。

§ 6、多项式环 定理2 R为一个交换环，n为一个正整数，则一定有R上的无关未定元x1,x2,…,xn存在。 证明思路：由定理1和数学归纳法得到。 定理3 设 和 是R上的多项式环， x1,x2,…,xn是无关未定元则 与 同态。

§ 6、多项式环 证明思路： 则定义映射： 可以证明其为一个同态映射。

§ 7 理想 定义环R的一个非空子集 叫做一个理想子环（理想）若： 1、 2、 显然：只包含零元的集合，是R的理想，称为R的零理想。

§ 7 理想 定理1 除环R中有零理想和单位理想。 证明：设 是R的一个理想，且不是零理想，则由 得 所以对任意 所以 注：理想对除环和域没有用处。

§ 7 理想 例1 设R是整数环，n为是0，1的整数，则所有倍数rn作成一个理想。 例2 环R上的一元多项式环R[x]则所有次数不超过n次的多项式构成的集合是R[x]的理想。

§ 7 理想 设R一个环，若a为R的一个非0元，则所有形式为 的元构成一个集合是R的一个理想记作 。 结论： 是包含a的最小理想。

§ 7 理想 定义 上面得到的理想叫做由a生成的主理想，记作(a). 当R为交换环时 当R有单位元时 当R有单位元且为交换环时

§ 7 理想 设R是一个环，若 是R的m个元，则 是R的一个理想。 证明：因为 则 所以是R的理想。

§ 7 理想 注： 是包含 的最小理想。 定义 称为由 生成的理想。 记作

§ 7 理想 例3 设R[x]整数环R上的一元多项式环，则 1、可以证明 2、可以证明 不是R[x]主理想。 因为若 则 则 矛盾。

§ 8 剩余环、同态与理想 设R为一个环， 为其一个理想，则对加法运算 是R的一个不变子群，所以 的陪集 显然

§ 8 剩余环、同态与理想 把R的所有剩余类作成的集合记作 在其上规定 加法 乘法 则有结论： 定理1 设R是一个环， 是它的一个理想， 是所有模 的剩余类作成的集合，则 是一个环且与R同态。

§ 8 剩余环、同态与理想 证明 映射 是R到 的同态满射，所以 与R同态，所以 是一个环。 定义 叫做环R的模 的剩余类环记作

§ 8 剩余环、同态与理想 证明：1、证明 是R的一个理想。 假设 那么 即 则有 假设 那么 则有 即 所以 是R的一个理想.

§ 8 剩余环、同态与理想 2、证明 规定一个法则 则由 得 是一个映射，且是一个满射。 而 所以 是一个一一映射。 由于 所以