非线性物理—混沌实验报告 报告人：张子恒 11300300034 秦雨舟 11300300031

非线性系统本质 1.自然界几乎所有已知的系统，当输入足够 大时，都是非线性的； 2.从数学上看，非线性系统的特征是叠加原 理不再成立；

非线性系统的分类 1.混沌 2.分形； 3.模式形成； 4.孤立子； 5.元胞自动机； 6.复杂系统。

混沌现象的发现与发展 19世纪法国数学物理学家庞加莱 在研究太阳系的三体运动时，发 现三体引力的互相作用能产生惊 人的复杂行为，确定系物理方程 的解具有不可预见性。随后，他 将动力学系统与拓补学相结合， 指出了混沌存在的可能性，不意 识到了混沌不可预测的偶然性起 源于不稳定性

20世纪五六十年代，前苏联概率 论大师A. N. Kolmogorov及其学生 V. I. Arnolg以及瑞典数学家 J 20世纪五六十年代，前苏联概率 论大师A.N.Kolmogorov及其学生 V.I.Arnolg以及瑞典数学家 J.Moser先后证明了一个充分接 近可积Hamilton系统的不可积 Hamilton系统当做Hamilton系统 的扰动来处理时，在无论是较大 和较小的扰动时，系统的图像发 生了本质性的变化，及混沌现象， 称为KAM定理，被誉为现代混沌 学的一个开端。

1963年，美国气象学家洛伦兹在 对一个由确定性的三阶常微分方 程组描述的大气对流模型的研究 中发现，系统的长期行为对初值 的微小变化具有高度的敏感依赖 性，即“蝴蝶效应”，这结果表明， 对天气的长期预报将是不可能的， 随后他也揭示了混沌系统的不可 预测性，为耗散系统的混沌研究 铺平了道路。

实验原理 测量数据： C1=0.106uF，C2=10.47nF，L=21.8mH 蔡氏电路示意图 返回

非线性负阻 理想非线性负阻I-V曲线图 非线性负阻内部结构

内置信号测量I-V特性电路图

混沌信号的观察 𝑅=0Ω 𝑅=1.801𝑘Ω 𝑅=1.964𝑘Ω 𝑅=2.010𝑘Ω

混沌信号的观察 𝑅=2.020𝑘Ω 𝑅=2.050𝑘Ω 返回 𝑅=2.060𝑘Ω

倍周期分岔的解释 一维非线性迭代方程Xn+1=λXn(1-Xn) (0<Xn<1) 当1<λ<3时，极限为1-1/λ； 当λ>3时，周期1不再稳定，初值稍有变化，最后迭代结果不再 回到1-1/λ，出现了周期二； 当λ继续增大时，周期二也开始不稳定从而出现了周期四解； 以此类推，迭代稳定解为 2 ∞ 周期解，即没有周期，迭代数据到 处乱跑，最后形成混沌状态。

阵发混沌 系统的运动性在某些段落， 十分接近周期过程，而在规 则运动的段落之间，又夹杂 着看起来很随机的跳跃，呈 现出阵发行为。

奇异吸引子 系统状态进入相应吸引域内，运 动的轨道都会向吸引子汇聚，但 是，一切到达吸引子的轨道由于 其对初值条件的敏感性又会急剧 的分离发散，轨道来回纠缠，永 不相交。

双吸引子 耗散系统其相体积需要收缩，相 空间轨迹经过足够长时间都要收 缩到有限区域内，如不动点，周 期子，他们是稳定的。 这里表现为有两个不动点，即两 个吸引子；

混沌系统的特点 1.对初值极为敏感； 2.有界性； 3.便历性； 4.内随机性； 5.非周期定常态特性（确定性）； 6.长期行为不可预见性 后续讨论

蔡氏电路电路图

蔡氏电路电路图

实验中的可调节量 电容C1，C2； 电阻Ru1，Ru2，其和为总电阻R=1/G； 电感L

关于R的调节 随着R的变化，示波器上显示出的混沌现象也会随之变化。 不同的图像的变化不是平均的。

随R变化的图像变化 𝑅=0Ω 𝑅=1.801𝑘Ω 𝑅=1.964𝑘Ω 𝑅=2.020𝑘Ω 𝑅=2.050𝑘Ω

随R变化的图像变化 随着R的变化，图像在很大一个范围内的变化是很小的，而且在该范围中没有表 现出混沌现象。 在之后的很小的一个范围中，图像剧烈变化，电阻对于图像的影响明显，并且图 像表现出明显的混沌特征。 在各种混沌，现象中，双吸引子对应的R范围较大；其他几种的范围较小。

对于电容的调节 由于接线和时间等原因，采用模拟方法。 实验中有两个电容器，采用控制变量的方法逐一调节。

模拟所使用的电路

对于C2的调节 𝐶 2 =100𝑛𝐹 𝐶 2 =120𝑛𝐹 𝐶 2 =140𝑛𝐹 图形没有明显差别，但是肉眼观察发现图线“绕圈”的速度逐渐变快，但是不是特别明显。 𝐶 2 =160𝑛𝐹

对C1的调节 𝐶 1 =10𝑛𝐹 𝐶 1 =12𝑛𝐹 𝐶 1 =14𝑛𝐹 𝐶 1 =8𝑛𝐹

对电容的调节 实验说明，电路中的电阻改变和电容改变都会影响到观察到 的混沌现象。 电阻和电容小范围变化时，混沌现象整体变化不大； 电阻和电容的改变到达一定范围时，出现不同混沌状态的跳 变。

非线性负阻的I-U曲线 测量电路

非线性负阻的I-U曲线 图像是分段的； 中间一部分图像分成三段，中间一段的斜率明显较大； 图线中间部分明显比两端翘起的部分要粗 图线分段说明非线性负阻在不同段的特性不同； 中间部分粗说明中间部分应为两条分裂的线。

不同状态下的I-U曲线 直线状态 “瓜子形”状态 图像整体的形貌相似 非负阻区随着混沌状态的改变（即电阻的改变）而减小； 图像中心对称，但是对称性不是特别好 返回 双吸引子状态

不同状态下的I-U曲线 图像只显示了之前的一部分； 原因应该是只有该部分是处于正常的工作区域； 一定程度上说明混沌有一定的区域性。 三周期 双周期 图像只显示了之前的一部分； 原因应该是只有该部分是处于正常的工作区域； 一定程度上说明混沌有一定的区域性。

模拟得到的I-U图 连线 30Hz 300Hz 3000Hz

参考资料 罗页, and 乐永康. "蔡氏非线性电路的深入研究——参数测量和实验现象观察的新 方法." 大学物理 29.006 (2010): 53-57. 汤琳. 基于蔡氏电路的混沌保密通信的研究. Diss. 天津: 天津大学, 2005. 谢红梅. 基于混沌理论的信号处理方法研究. Diss. 西北工业大学, 2003. 毛自灿. "混沌调制实验研究." 电子科技大学学报 2 (1995). http://phylab.fudan.edu.cn/doku.php?id=exp:nonlinearphysics:chuas- circuit:start

谢谢大家