非线性物理—混沌实验报告 报告人:张子恒 11300300034 秦雨舟 11300300031.

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非线性物理—混沌实验报告 报告人:张子恒 11300300034 秦雨舟 11300300031

非线性系统本质 1.自然界几乎所有已知的系统,当输入足够 大时,都是非线性的; 2.从数学上看,非线性系统的特征是叠加原 理不再成立;

非线性系统的分类 1.混沌 2.分形; 3.模式形成; 4.孤立子; 5.元胞自动机; 6.复杂系统。

混沌现象的发现与发展 19世纪法国数学物理学家庞加莱 在研究太阳系的三体运动时,发 现三体引力的互相作用能产生惊 人的复杂行为,确定系物理方程 的解具有不可预见性。随后,他 将动力学系统与拓补学相结合, 指出了混沌存在的可能性,不意 识到了混沌不可预测的偶然性起 源于不稳定性

20世纪五六十年代,前苏联概率 论大师A. N. Kolmogorov及其学生 V. I. Arnolg以及瑞典数学家 J 20世纪五六十年代,前苏联概率 论大师A.N.Kolmogorov及其学生 V.I.Arnolg以及瑞典数学家 J.Moser先后证明了一个充分接 近可积Hamilton系统的不可积 Hamilton系统当做Hamilton系统 的扰动来处理时,在无论是较大 和较小的扰动时,系统的图像发 生了本质性的变化,及混沌现象, 称为KAM定理,被誉为现代混沌 学的一个开端。

1963年,美国气象学家洛伦兹在 对一个由确定性的三阶常微分方 程组描述的大气对流模型的研究 中发现,系统的长期行为对初值 的微小变化具有高度的敏感依赖 性,即“蝴蝶效应”,这结果表明, 对天气的长期预报将是不可能的, 随后他也揭示了混沌系统的不可 预测性,为耗散系统的混沌研究 铺平了道路。

实验原理 测量数据: C1=0.106uF,C2=10.47nF,L=21.8mH 蔡氏电路示意图 返回

非线性负阻 理想非线性负阻I-V曲线图 非线性负阻内部结构

内置信号测量I-V特性电路图

混沌信号的观察 𝑅=0Ω 𝑅=1.801𝑘Ω 𝑅=1.964𝑘Ω 𝑅=2.010𝑘Ω

混沌信号的观察 𝑅=2.020𝑘Ω 𝑅=2.050𝑘Ω 返回 𝑅=2.060𝑘Ω

倍周期分岔的解释 一维非线性迭代方程Xn+1=λXn(1-Xn) (0<Xn<1) 当1<λ<3时,极限为1-1/λ; 当λ>3时,周期1不再稳定,初值稍有变化,最后迭代结果不再 回到1-1/λ,出现了周期二; 当λ继续增大时,周期二也开始不稳定从而出现了周期四解; 以此类推,迭代稳定解为 2 ∞ 周期解,即没有周期,迭代数据到 处乱跑,最后形成混沌状态。

阵发混沌 系统的运动性在某些段落, 十分接近周期过程,而在规 则运动的段落之间,又夹杂 着看起来很随机的跳跃,呈 现出阵发行为。

奇异吸引子 系统状态进入相应吸引域内,运 动的轨道都会向吸引子汇聚,但 是,一切到达吸引子的轨道由于 其对初值条件的敏感性又会急剧 的分离发散,轨道来回纠缠,永 不相交。

双吸引子 耗散系统其相体积需要收缩,相 空间轨迹经过足够长时间都要收 缩到有限区域内,如不动点,周 期子,他们是稳定的。 这里表现为有两个不动点,即两 个吸引子;

混沌系统的特点 1.对初值极为敏感; 2.有界性; 3.便历性; 4.内随机性; 5.非周期定常态特性(确定性); 6.长期行为不可预见性 后续讨论

蔡氏电路电路图

蔡氏电路电路图

实验中的可调节量 电容C1,C2; 电阻Ru1,Ru2,其和为总电阻R=1/G; 电感L

关于R的调节 随着R的变化,示波器上显示出的混沌现象也会随之变化。 不同的图像的变化不是平均的。

随R变化的图像变化 𝑅=0Ω 𝑅=1.801𝑘Ω 𝑅=1.964𝑘Ω 𝑅=2.020𝑘Ω 𝑅=2.050𝑘Ω

随R变化的图像变化 随着R的变化,图像在很大一个范围内的变化是很小的,而且在该范围中没有表 现出混沌现象。 在之后的很小的一个范围中,图像剧烈变化,电阻对于图像的影响明显,并且图 像表现出明显的混沌特征。 在各种混沌,现象中,双吸引子对应的R范围较大;其他几种的范围较小。

对于电容的调节 由于接线和时间等原因,采用模拟方法。 实验中有两个电容器,采用控制变量的方法逐一调节。

模拟所使用的电路

对于C2的调节 𝐶 2 =100𝑛𝐹 𝐶 2 =120𝑛𝐹 𝐶 2 =140𝑛𝐹 图形没有明显差别,但是肉眼观察发现图线“绕圈”的速度逐渐变快,但是不是特别明显。 𝐶 2 =160𝑛𝐹

对C1的调节 𝐶 1 =10𝑛𝐹 𝐶 1 =12𝑛𝐹 𝐶 1 =14𝑛𝐹 𝐶 1 =8𝑛𝐹

对电容的调节 实验说明,电路中的电阻改变和电容改变都会影响到观察到 的混沌现象。 电阻和电容小范围变化时,混沌现象整体变化不大; 电阻和电容的改变到达一定范围时,出现不同混沌状态的跳 变。

非线性负阻的I-U曲线 测量电路

非线性负阻的I-U曲线 图像是分段的; 中间一部分图像分成三段,中间一段的斜率明显较大; 图线中间部分明显比两端翘起的部分要粗 图线分段说明非线性负阻在不同段的特性不同; 中间部分粗说明中间部分应为两条分裂的线。

不同状态下的I-U曲线 直线状态 “瓜子形”状态 图像整体的形貌相似 非负阻区随着混沌状态的改变(即电阻的改变)而减小; 图像中心对称,但是对称性不是特别好 返回 双吸引子状态

不同状态下的I-U曲线 图像只显示了之前的一部分; 原因应该是只有该部分是处于正常的工作区域; 一定程度上说明混沌有一定的区域性。 三周期 双周期 图像只显示了之前的一部分; 原因应该是只有该部分是处于正常的工作区域; 一定程度上说明混沌有一定的区域性。

模拟得到的I-U图 连线 30Hz 300Hz 3000Hz

参考资料 罗页, and 乐永康. "蔡氏非线性电路的深入研究——参数测量和实验现象观察的新 方法." 大学物理 29.006 (2010): 53-57. 汤琳. 基于蔡氏电路的混沌保密通信的研究. Diss. 天津: 天津大学, 2005. 谢红梅. 基于混沌理论的信号处理方法研究. Diss. 西北工业大学, 2003. 毛自灿. "混沌调制实验研究." 电子科技大学学报 2 (1995). http://phylab.fudan.edu.cn/doku.php?id=exp:nonlinearphysics:chuas- circuit:start

谢谢大家