319 Chapter 10 基本元件及相量

319 10.2 導　數 定義導數 是 相對於時間 的改變速率。假使在某一特定時間中 沒有作任何改變，則 ，也就是說導數等於 0。

320

一正弦波 (sine wave) 之導數為一餘弦波 (cosine wave)。 320 正弦波形可看出 在 時產生最大的變化。 一正弦波 (sine wave) 之導數為一餘弦波 (cosine wave)。

321

一正弦波的導數擁有和原始正弦波相同的週期及頻率。 對於一正弦電壓 其導數可以直接以微分的方式而求得如下： 321 一正弦波的導數擁有和原始正弦波相同的週期及頻率。 　對於一正弦電壓 其導數可以直接以微分的方式而求得如下： (10.1) 導數的峰值，是 之頻率 的一個函數，以及正弦波形的導數是餘弦波。

321 10.3 基本元件 R,L,C 對於正弦電壓或電流之響應 電阻器 (Resistor) 對一 正弦電壓， 其中 (10.2)

322 對於一已知電流 i； 其中 (10.3)

對於一個純電阻性的元件而言，其兩端的電壓及流經此一元件的電流相位上保持一致，而其峰值大小則遵循歐姆定律。 322 對於一個純電阻性的元件而言，其兩端的電壓及流經此一元件的電流相位上保持一致，而其峰值大小則遵循歐姆定律。

322 電感器 (Inductor) 對於一個電阻元件而言，我們發現其阻抗即為其電阻值，而 可由歐姆定律 所決定。

323 並且，應用微分 於是 或 其中

323 及 的圖形顯示出： 對於電感而言，其 領先 ，或是說， 落後 。

如果在 的正弦表示法中包含相位角的話，例如 324 如果在 的正弦表示法中包含相位角的話，例如 則 現在，在交流正弦網路中由電感所產生的阻抗就可以應用 代入數值，我們可以得到

324 得出在一交流正弦網路中，由一電感所產生的阻抗值直接與角速度 及電感值的乘積相關。 的值則稱之為電感器之「電抗」，通常以 來代表，而其單位是歐姆。也就是說： (10.4) 若使用歐姆定律，則 的大小可以決定如下： (10.5)

電容器 (Capacitor) 電容兩端電壓之瞬時變化會受到電容的極板需要時間完成充電 ( 放電 ) 這一個現象所抵抗，而 。 324 電容器 (Capacitor) 電容兩端電壓之瞬時變化會受到電容的極板需要時間完成充電 ( 放電 ) 這一個現象所抵抗，而 。 由於電容的大小是用來評量電容器電極板上充放電的速率，所以 對於電容兩端一個特定值的電壓變化而言，電容的值愈大，其所產生的電容電流也就愈大。

對一個特定的電容而言，電容兩端電壓的改變速率愈大，其電容電流也就愈大。 325 電容兩端的電壓及其電流之基本公式 指出： 對一個特定的電容而言，電容兩端電壓的改變速率愈大，其電容電流也就愈大。

326 並且應用微分， 於是 或者 此處

326 圖10.12中 和 的圖形可以看出： 對於電容器而言， 領先 ，或者說 落後 。

如果在 的正弦表示法中包含相位角的話，例如， 326 如果在 的正弦表示法中包含相位角的話，例如， 則 應用 並且代入數值，我們可以得出

我們稱 的值為電容器的電抗，用 來代表，其單位是歐姆。也就是說： 327 我們稱 的值為電容器的電抗，用 來代表，其單位是歐姆。也就是說： (10.6) 若使用歐姆定律，則 的大小可以決定如下： (10.7)

327 所以 (10.8) 在電容電路中， 所以 (10.9)

如果電流相位領先電壓相位，則此一網路是以電容性為主，而如果電壓相位領先電流相位的話，此一電路則是屬於電感性電路。 327 如果電流相位領先電壓相位，則此一網路是以電容性為主，而如果電壓相位領先電流相位的話，此一電路則是屬於電感性電路。

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332 直流、高頻、低頻對L 和C 的影響 對於直流電路而言，因為頻率為0，所以線圈的電抗為 (10.10) 及 (10.11)

而當 時，電容可以用一個開路作為其在直流時的等效電路。這是因為 332 而當 時，電容可以用一個開路作為其在直流時的等效電路。這是因為 因為

333 所以 可以相當趨近於0。以公式表示為： (10.12) 及 (10.13) 表10.1顯示出上述的結論。

333 10.4 基本元件之頻率響應 R ( 電阻 )

實際上，由於電阻性的元件仍然具有雜散電容及引線電感，因此會受到頻率的影響。 334 實際上，由於電阻性的元件仍然具有雜散電容及引線電感，因此會受到頻率的影響。 的電阻能夠保持阻值穩定直到 ，而 的電阻則在 時其阻值就開始劇烈地衰減。

334 L ( 電感 ) 這等式也可以看成是如圖10.21所示的一條直線式 斜率 ，而 代表 軸而 代表 軸座標。

335 對一電容而言，其電抗公式是 也可寫成 與雙曲線函數 具有同樣的格式，其中 ， 而 。

總結而言，隨著頻率的增大，電阻的阻抗保持不變，電感的電抗線性地增大，而電容的電抗則非線性地減小。 335 總結而言，隨著頻率的增大，電阻的阻抗保持不變，電感的電抗線性地增大，而電容的電抗則非線性地減小。

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電感端點特性會隨幾種因素而變，例如頻率、溫度、和電流。 336 電感端點特性會隨幾種因素而變，例如頻率、溫度、和電流。

337 電阻 定義為介電質的電阻係數 和外殼電阻。放電週期的漏電流大小由 決定，也就是說，已充電的電容器可能經由外殼和介電質放電，放電電流大小由各個路徑的電阻決定，放電時間依電容器而定。

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338 10.5 平均功率及功率因數 圖10.27所示負載的瞬時功率為 　若我們考慮一般狀況，亦即 則

339 應用三角函數公式 可化為 於是

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現在讓我們定義 ，而‖代表絕對值，我們可得到 340 平均功率的大小與相位角領先 或 領先 無關。 現在讓我們定義 ，而‖代表絕對值，我們可得到 (10.14)

為平均功率，單位為瓦特 (Watts)，上式也可以寫成 340 為平均功率，單位為瓦特 (Watts)，上式也可以寫成 同時，由於 以及 ，所以公式 (10.14) 可化成 (10.15)

340 電　阻 在一個純電阻性的電路上，由於 和 的相位相同，所以 ，並且 ，所以 (10.16) 或者，由於， 所以 (10.17)

電 感 在一個純電感性的電路上，由於 和 在相位上 領先 ， ，於是 341 電　感 在一個純電感性的電路上，由於 和 在相位上 領先 ， ，於是 一個理想電感 ( 亦即無寄生電阻 ) 其平均功率或是說其所消耗的功率為0。

電 容 在一個純電容性的電路上，由於在相位上 i 領先 ， ，於是 電　容 341 在一個純電容性的電路上，由於在相位上 i 領先 ， ，於是 一個理想電容 ( 亦即無寄生電阻 ) 其平均功率或是說其所消耗的功率為0。

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342 功率因數 (Power Factor) 公式 中影響傳送功率大小的重要因素為 ，不管電壓或電流有多大，如果 ，則功率為0，如果 =1，則傳送的功率最大。也就是 是控制功率傳送的因素，所以稱 為「功率因數」，以符號 表示： (10.18)

343 和 之間的相角為 ，故 ， 傳送的功率為

若以平均功率及終端電壓、電流來表示功率因數，則可寫成： 343 若以平均功率及終端電壓、電流來表示功率因數，則可寫成： (10.19) 電容性網路擁有超前功率因數，而電感性網路擁有滯後功率因數。

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10.6 複 數 一個複數可代表一個二度空間上由兩條軸線所定出平面上的一點。如圖10.34所示。有時我們亦稱實軸為電阻軸，而虛軸為電抗軸， 344 10.6 複　數 一個複數可代表一個二度空間上由兩條軸線所定出平面上的一點。如圖10.34所示。有時我們亦稱實軸為電阻軸，而虛軸為電抗軸，

345 在複數平面上，在虛軸右方部分的實軸代表所有的正數，而在虛軸左方部分的實軸代表所有的負數。所有的正虛數都位於實軸上方，而負虛數則位於實軸下方。虛數部分通常用 j ( 或是 i) 來代表。

345 10.7 直角座標形式 直角座標形式的格式如下： (10.20)

346 10.8 極座標形式 極座標形式的格式如下： (10.21) C 代表大小而 代表由正實軸依逆時針方向所測得之角度。

346 (10.22)

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347 10.9 直角座標與極座標形式之轉換 直角座標轉換成極座標形式 (10.23) (10.24)

347 極座標轉換成直角座標形式 (10.25) (10.26)

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10.10 複數的數學運算 349 定義， (10.27) 於是 (10.28) 及 得 依此類推，並且 故 (10.29)

共軛複數 (Complex Conjugate) 349 共軛複數 (Complex Conjugate) 兩種方式求得共軛複數，第一是在直角座標形式中改變其虛數部分的正負號，

350 倒數 (Reciprocal) 一複數的倒數即是1除以此一複數。例如， 是 而 的倒數則是

350 加法 (Addition) 對複數做加法運算，只需要針對它的實數及虛數部分分別相加即可，例如，若 和 則 (10.30)

351

351

在減法運算中，複數的實數及虛數部分仍然需要分開處理。例如，如果 351 減法 (Subtraction) 　在減法運算中，複數的實數及虛數部分仍然需要分開處理。例如，如果 和 則， (10.31)

352

352

乘法 (Multiplication) 兩個以直角座標形式表示的複數作乘法運算為一個複數的實數及虛數部分分別乘以另一複數的實數及虛數部分。 353 兩個以直角座標形式表示的複數作乘法運算為一個複數的實數及虛數部分分別乘以另一複數的實數及虛數部分。

353 如下例所示： 和 則 ：　 故 (10.32)

354

若是作極座標形式的乘法運算，我們僅需將兩個複數的大小部分 (C) 相乘，而角度部分 相加即可。例如， 354 若是作極座標形式的乘法運算，我們僅需將兩個複數的大小部分 (C) 相乘，而角度部分 相加即可。例如， 和 則 (10.33)

354

除法 (Division) 兩個以直角座標形式表示之複數的除法，需要除數與被除數同時乘以除數的共軛複數，然後分別就實數與虛數部分計算之。 355 除法 (Division) 兩個以直角座標形式表示之複數的除法，需要除數與被除數同時乘以除數的共軛複數，然後分別就實數與虛數部分計算之。

355 和 則 故 (10.34)

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357 對於 和 則 (10.35)

357

一個以直角座標形式表示的複數，其倒數可以由除數與被除數分別乘以除數的共軛複數而求得： 357 一個以直角座標形式表示的複數，其倒數可以由除數與被除數分別乘以除數的共軛複數而求得： 且 (10.36) 對於極座標形式之複數，其倒數是 (10.37) 以下是幾個有關於運用這四種基本運算的例子。

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10.11 相 量 徑量的一端固定在原點，而其長度為一定值。在電路的應用上我們稱之為「相量」。 向量代數之求法： 358 10.11 相　量 徑量的一端固定在原點，而其長度為一定值。在電路的應用上我們稱之為「相量」。 向量代數之求法： 我們可以先將 及 轉換成相量的形式如下：

359 然後使用向量代數的運算將其相加，我們就可以輕易地求出 的相量表示法。之後再將 轉換回時間的定義域並將其繪在座標軸之上，如圖10.58(b) 所示。像圖10.58(a) 那樣子能表示出不同相量的大小及相關位置的圖形，我們稱之為「相量圖」。

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在交流電路的分析中，我們一直都是使用「峰值」。 一個正弦電壓或正弦電流的相量將以如下型式表示： 和 361 在交流電路的分析中，我們一直都是使用「峰值」。 一個正弦電壓或正弦電流的相量將以如下型式表示： 和 其中 及 是正弦波的有效值，而 則為相位角。有一點必需特別指出的是：在相量表示法中，其所對應的波形是指正弦波，而且並無法表示出此一正弦波的頻率。 對於正弦波形的種種相量代數運算只能應用於具有相同頻率的弦波之上。

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