习题课四

多元函数微分学的几何应用 1. 空间曲线的切线与法平面 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 切向量 切线方程 法平面方程

2) 一般式情况. 空间光滑曲线 切向量 切线方程 法平面方程

2. 曲面的切平面与法线 1) 隐式情况 . 空间光滑曲面 曲面 在点 的法向量 切平面方程 法线方程

2) 显式情况. 空间光滑曲面 法向量 法线的方向余弦 切平面方程 法线方程

方向导数与梯度 1. 方向导数 • 三元函数 在点 沿方向 l 的方向导数为 (方向角为 • 二元函数 在点 沿方向 l 的方向导数为 • 三元函数 在点 沿方向 l 的方向导数为 (方向角为 • 二元函数 在点 沿方向 l 的方向导数为 (方向角为

2. 梯度 三元函数 在点 处的梯度为 方向: f 变化率最大的方向 • 梯度的特点 模: f 的最大变化率之值 3. 关系 方向导数存在 可微 偏导数存在

多元函数的极值及其求法 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 即解方程组 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法

如求二元函数 在条件 下的极值, 设拉格朗日函数 解方程组 求驻点 . 3. 函数的最值问题 第一步 找目标函数, 确定定义域 及约束条件 第二步 判别 • 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值

典 型 例 题

例1. 设 求极值。 解: 函数的定义域： 令 解得 其中只有 是驻点。 在点 处 因此，在(1, 2)处取得极小值

例2. 求 的极值 解: 驻点 为极小值

无法判断。 因此函数在 上取得极大值。

例3 求旋转抛物面 与平面 之间的最短距离。 设 为抛物面 上任一点，点P 到平面 的距离为d，则 解: 分析: 本题变为求一点 ， 使得 满足

得 解此方程组得

即得唯一驻点 由于驻点唯一且根据题意距离的最小值一定存在，因此必在 取得最小值。 注意：若从实际问题可断定函数的最大（小）值 存在，又函数的可能极值点唯一，则函数必在该 点取得最大（小）值．

例4. 在第一卦限作椭球面 的切平面, 使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 设 解: 切点为 则切平面的法向量为 切平面方程 即

切平面在三坐标轴上的截距为 问题归结为求 在条件 下的条件极值问题 . 设拉格朗日函数

唯一驻点 求解 由实际意义可知 为所求切点 .

例5. 证明函数 有无穷多个极大值,但无极小值. 证明: 驻点: 在 处， 处，函数取得极大值. 点，函数没有极小值.

例6. 在曲面 上作切平面，使得该切平面与三坐标面所围成的 四面体的体积最大，求切点的坐标． 解： 设 为曲面上任一点 曲面在 点的切平面方程为 因 在曲面上， 因此 从而

因此 ,切平面与三坐标面所围成的四面体的体积为 于是问题转化为求函数 在条件 下的最大值问题。

解方程组 依题意，满足所给条件的最大体积一定存在，故在 该点达到最大值．

练习 设椭球面由 绕 y 轴旋转生成，在其第一 卦限求一点，使曲面在该点的切平面与三个坐标面 所围成的四面体的体积最小。 求函数 在条件 下的最大值。

求椭圆 上距坐标原点最远和最近的点。 (07期中) 求椭球面 上点 M 处切平面的方程, 使该切平面过直线L： 求 在球面 上的最大值, 其中 且用此结果证明对于正实数a,b,c有

求平面 和柱面 的交线上与平面 距离最短的点 . 在平面 上求一点,使它到 及 三直线的距离平方之和为最小. 试求内接于椭球 的长方体中 （长方体的各面平行于坐标轴）体积最大者。 08-09期中

D 设 均可微, 且 已知 (x0, y0) 是f (x, y)在约束条件(x, y)  0下的一个极值点, 下列选项正确的是( ) 则 (2006考研) 下列选项正确的是( ) D 则 则 则 则

选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论： 设函数f ( x, y) 在点(0,0)的某邻域内有定义，且 则有： 法向量为(3,-1,1) 曲线 切向量为(1,0,3) 曲线 切向量为(3,0,1).

例7. 在曲面 上求一点 , 使该点处的法线垂直 于平面 并写出该法线方程 . 提示: 设所求点为 则法线方程为 法线垂直于平面 利用 点在曲面上 得

（球面） 例8. 求曲线 （椭球面） 上对应于 x = 1 处的切线方程和法平面方程。 解: 令

将 x = 1 代入方程组得到： 解方程组得， x = 1 处的点为 在点 处 切向量 切线方程

法平面方程 在点 处 切向量 切线方程 法平面方程

例9. 已知曲面的方程为 证明：曲面上任 一点处的切平面通过某一定点。 解 设曲面上任一点为 M ( x0, y0, z0 ) . 曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的法向量为 切平面方程 因此，曲面上任一点处的切平面均通过原点 (0, 0, 0)。

例10. 试证曲面 上任何 点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a。 证 曲面上任取一点 M (x0, y0, z0). 设 曲面在点 M (x0, y0, z0) 处的法向量

切平面方程 化为截距式 所以截距之和为

例11. 曲线 上点 处的法线方程. (06期中)

练习 求曲线 上与平面 平行的切线方程。 求曲面 上平行平面 的切平面。 证明：曲面 的切平面与坐标面 形成的四面体体积为常数。

例12. 求函数 在椭球面 上点 处沿外法线方向的方向导数。 解: 椭球面 上点 处有 法向量 单位法向量 方向导数

例13. 点 处沿点的 向径 r 的方向导数，问a, b, c具有什么关系时此 方向导数等于梯度的模？ 解： 在点 M 处的方向导数为：

在点 M 处的梯度为：

当 时， 当 时，此方向导数等于梯度的模.

练习 求函数 在点(1,1,2)处沿向量方向 的方向导数。 (答案：5) 求函数 在点M(1,2,-2)沿曲线 在该点的切线且指向与x轴 求函数 在点(1,1,2)处沿向量方向 的方向导数。 (答案：5) 求函数 在点M(1,2,-2)沿曲线 在该点的切线且指向与x轴 成钝角的方向的导数。 (答案： )

求函数 在球面 上的一点 处沿外法线方向的方向导数。 在球面上哪些点处沿外法线方向的方向导数有最大值、最小值、等于零？

求曲面z = x y 上某点处的切平面,并使得该切平面的法向量与函数 在点P (1, 2, 1)处的梯度平行. (07期中) 函数 在点(1,1)处的最大方向导数是： (06期中) 函数 在点(1,1)处沿 方向方向导数最大，其值为 (05期中)

作 业 P130. 4，5， 6，10，17， 19 提交时间：2012年3月19日上午8:00