第六章 关系数据理论 6.1 问题的提出 6.2 规范化 6.3 数据依赖的公理系统 *6.4 模式的分解

6.1 问题的提出 一、概念回顾 关系数据库逻辑设计 针对具体问题，如何构造一个适合于它的数据模式 数据库逻辑设计的工具──关系数据库的规范化理论 一、概念回顾 关系：描述实体、属性、实体间的联系。 从形式上看，它是一张二维表，是所涉及属性的笛卡尔积的一个子集。 关系模式：用来定义关系。 关系数据库：基于关系模型的数据库，利用关系来描述现实世界。 从形式上看，它由一组关系组成。 关系数据库的模式：定义这组关系的关系模式的全体。

二、关系模式的形式化定义 关系模式由五部分组成，即它是一个五元组： R(U, D, DOM, F) R： 关系名 U： 组成该关系的属性名集合 D： 属性组U中属性所来自的域 DOM：属性向域的映象集合 F： 属性间数据的依赖关系集合

三、什么是数据依赖 1. 完整性约束的表现形式 限定属性取值范围：例如学生成绩必须在0-100之间 定义属性值间的相互关连（主要体现于值的相等与否），这就是数据依赖，它是数据库模式设计的关键。 2. 数据依赖 是通过一个关系中属性间值的相等与否体现出来的数据间的相互关系； 是现实世界属性间相互联系的抽象是数据内在的性质是语义的体现。 3. 数据依赖的类型 函数依赖（Functional Dependency，简记为FD） 多值依赖（Multivalued Dependency，简记为MVD） 其他

当且仅当U上的一个关系r 满足F时，r称为关系模式 R（U, F）的一个关系 四、关系模式的简化表示 关系模式R（U, D, DOM, F） 简化为一个三元组： R（U, F） 当且仅当U上的一个关系r 满足F时，r称为关系模式 R（U, F）的一个关系

五、数据依赖对关系模式的影响 例：描述学校的数据库： 学生的学号（Sno）、所在系（Sdept） 系主任姓名（Mname）、课程名（Cname） 成绩（Grade） 单一的关系模式 ： Student <U、F> U ＝｛ Sno, Sdept, Mname, Cname, Grade ｝ 学校数据库的语义： ⒈ 一个系有若干学生， 一个学生只属于一个系； ⒉ 一个系只有一名主任； ⒊ 一个学生可以选修多门课程， 每门课程有若干学生选修； ⒋ 每个学生所学的每门课程都有一个成绩。

数据依赖对关系模式的影响 属性组U上的一组函数依赖F： (Sno, Cname) → Grade ｝ Sno Cname Sdept F ＝｛ Sno → Sdept, Sdept → Mname, (Sno, Cname) → Grade ｝ Sno Cname Sdept Mname Grade

关系模式Student<U, F>中存在的问题 Student(Sno, Sdept, Mname, Cname, Grade ) ⒈ 数据冗余太大——浪费大量的存储空间 ⒉ 更新异常（Update Anomalies） 数据冗余 ，更新数据时，维护数据完整性代价大。 例：每一个系主任的姓名重复出现 ⒊ 插入异常（Insertion Anomalies） 该插的数据插不进去 例：某系更换系主任后，系统必须修改与该系学生有关的每一个元组。 ⒋ 删除异常（Deletion Anomalies） 不该删除的数据不得不删 例，如果一个系刚成立，尚无学生，我们就无法把这个系及其系主任的信息存入数据库。 。 例，如果某个系的学生全部毕业了， 我们在删除该系学生信息的同时，把这个系及其系主任的信息也丢掉了。

结论： Student关系模式不是一个好的模式。 “好”的模式： 不会发生插入异常、删除异常、更新异常，数据冗余应尽可能少。 原因：由存在于模式中的某些数据依赖引起的. 解决方法：通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖。 分解成三个关系模式 : S (SNO, SDEPT, SNO → DEPT); SG (SNO, CNAME, G, (SNO, CNAME) → G); DEPT (SDEPT, MN, SDEPT→MN);

6.2 规范化 规范化理论正是用来改造关系模式，通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖，以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。

6.2 规范化 6.2.1 函数依赖 一、函数依赖 定义6.1 设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等， 而在Y上的属性值不等， 则称 “X函数确定Y” 或 “Y函数依赖于X”，记作:X→Y。 X称为这个函数依赖的决定属性集(决定因素)。 Y=f(x) 说明： 1. 函数依赖不是指关系模式R的某个或某些关系实例满足的约束条件，而是指R的所有关系实例均要满足的约束条件。 2. 函数依赖是语义范畴的概念。只能根据数据的语义来确定函数依赖。 例如“姓名→年龄”这个函数依赖只有在不允许有同名人的条件下成立 3. 数据库设计者可以对现实世界作强制的规定。例如规定不允许同名人出现，函数依赖“姓名→年龄”成立。所插入的元组必须满足规定的函数依赖，若发现有同名人存在， 则拒绝装入该元组。

例: Student(Sno, Sname, Ssex, Sage, Sdept) 假设不允许重名，则有: Sno → Ssex， Sno → Sage , Sno → Sdept， Sno ←→ Sname, Sname → Ssex， Sname → Sage Sname → Sdept 但Ssex →Sage 若X→Y，并且Y→X, 则记为X←→Y。 若Y不函数依赖于X, 则记为X─→Y。

二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖 在关系模式R(U)中，对于U的子集X和Y， 如果X→Y，但Y  X，则称X→Y是平凡的函数依赖 对于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义，因此若不特别声明， 我们总是讨论非平凡函数依赖。 例：在关系SC(Sno, Cno, Grade)中， 非平凡函数依赖： (Sno, Cno) → Grade 平凡函数依赖： (Sno, Cno) → Sno (Sno, Cno) → Cno

例: 在关系SC(Sno, Cno, Grade)中， 由于：Sno →Grade，Cno → Grade， 三、完全函数依赖与部分函数依赖 定义6.2 在关系模式R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’，都有 X’ Y, 则称Y完全函数依赖于X，记作X F Y。 若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y部分函数依赖于X，记作X P Y。 例: 在关系SC(Sno, Cno, Grade)中， 由于：Sno →Grade，Cno → Grade， 因此：(Sno, Cno) F Grade

四、传递函数依赖 定义6.3 在关系模式R(U)中，如果X→Y，Y→Z，且Y X，Y→X，则称Z传递函数依赖于X。 注: 如果Y→X， 即X←→Y，则Z直接依赖于X。 例: 在关系Std(Sno, Sdept, Mname)中，有： Sno → Sdept，Sdept → Mname Mname传递函数依赖于Sno

6.2.2 码 定义6.4 设K为关系模式R<U,F>中的属性或属性组合。若K F U，则K称为R的一个侯选码（Candidate Key）。若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个做为主码（Primary key）。 主属性与非主属性 全码 (ALL KEY) 定义6.5 关系模式 R 中属性或属性组X 并非 R的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是R 的外部码（Foreign key）也称外码 主码又和外部码一起提供了表示关系间联系的手段。

6.2.3 范式 范式是符合某一种级别的关系模式的集合。 关系数据库中的关系必须满足一定的要求。满足不同程度要求的为不同范式。 范式的种类： 第一范式(1NF) 第二范式(2NF) 第三范式(3NF) BC范式(BCNF) 第四范式(4NF) 第五范式(5NF) 各种范式之间存在联系： 某一关系模式R为第n范式，可简记为:R∈nNF。

6.2.4 2NF 1NF的定义 如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则R∈1NF。 第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库。 但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式。 例: 关系模式 S-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade) Sloc为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方。 函数依赖包括： (Sno, Cno) F Grade Sno → Sdept (Sno, Cno) P Sdept Sno → Sloc (Sno, Cno) P Sloc Sdept → Sloc Sno Cno Grade Sdept Sloc S-L-C S-L-C的码为 (Sno, Cno) S-L-C满足第一范式。 非主属性Sdept和Sloc部分函数依赖于码(Sno, Cno)

S-L-C (Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade)不是一个好的关系模式 (1) 插入异常 假设Sno＝95102，Sdept＝IS，Sloc＝N的学生还未选课，因课程号是主属性，因此该学生的信息无法插入S-L-C。 (2) 删除异常 假定某个学生本来只选修了3号课程这一门课。现在因身体不适，他连3号课程也不选修了。因课程号是主属性，此操作将导致该学生信息的整个元组都要删除。 (3) 数据冗余度大 如果一个学生选修了10门课程，那么他的Sdept和Sloc值就要重复存储了10次。 (4) 修改复杂 例如学生转系，在修改此学生元组的Sdept值的同时，还可能需要修改住处（Sloc）。如果这个学生选修了K门课，则必须无遗漏地修改K个元组中全部Sdept、Sloc信息。

原因 Sdept、 Sloc部分函数依赖于码。 解决方法 S-L-C分解为两个关系模式，以消除这些部分函数依赖 SC（Sno， Cno， Grade） SL（Sno， Sdept， Sloc） 函数依赖图： Sno Cno Grade SC Sdept Sloc Sno SL

2NF定义 定义6.6 若关系模式R∈1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于R的码，则R∈2NF。 例：SLC(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade) ∈1NF SLC(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade)  2NF SC（Sno， Cno， Grade） ∈ 2NF SL（Sno， Sdept， Sloc） ∈ 2NF 采用投影分解法将一个1NF的关系分解为多个2NF的关系，可以在一定程度上减轻原1NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。 将一个1NF关系分解为多个2NF的关系，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。

6.2.5 3NF Sdept Sloc Sno SL 例：2NF关系模式SL(Sno, Sdept, Sloc)中 函数依赖： Sno→Sdept，Sno→Sloc，Sdept→Sloc Sloc传递函数依赖于Sno，即SL中存在非主属性对码的传递函数依赖。 解决方法： 采用投影分解法，把SL分解为两个关系模式，以消除传递函数依赖： SD（Sno， Sdept） DL（Sdept， Sloc） SD的码为Sno， DL的码为Sdept。 Sno Sdept SD Sdept Sloc DL

3NF的定义 定义6.8 关系模式R<U，F> 中若不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Z  Y）, 使得X→Y，Y → X，Y→Z，成立，则称R<U，F> ∈ 3NF。 例， SL(Sno, Sdept, Sloc) ∈ 2NF  SL(Sno, Sdept, Sloc)  3NF SD（Sno， Sdept） ∈ 3NF DL（Sdept， Sloc）∈ 3NF 若R∈3NF，则R的每一个非主属性既不部分函数依赖于候选码也不传递函数依赖于候选码。 如果R∈3NF，则R也是2NF。 采用投影分解法将一个2NF的关系分解为多个3NF的关系，可以在一定程度上解决原2NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。 将一个2NF关系分解为多个3NF的关系后，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。

6.2.6 BC范式（BCNF） 定义6.9 设关系模式R<U，F>∈1NF，如果对于R的每个函数依赖X→Y，若Y不属于X，则X必含有候选码，那么R∈BCNF。 若R∈BCNF 每一个决定属性集（因素）都包含（候选）码 R中的所有属性（主，非主属性）都完全函数依赖于码 R∈3NF（证明） 若R∈3NF 则 R不一定∈BCNF 证明：采用反证法。设R不是3NF。则必然存在如下条件的函数依赖，X→Y（YX），Y→Z，其中X是含有码的属性，Y是任意属性组，Z是非主属性，ZY，这样Y→Z函数依赖的决定因素Y不包含候选码，这与BCNF范式的定义相矛盾，所以如果RBCNF，则R也是3NF

S(Sno,Sname,Sdept,Sage) 例1 对关系模式C、SC、S进行分析。 C(Cno,Cname,Pcno) SC(Sno,Cno,Grade) S(Sno,Sname,Sdept,Sage) 它只有一个码Cno，这里没有任何属性对Cno部分依赖或传递依赖，所以C∈3NF。同时C中Cno是唯一的决定因素，所以C∈BCNF。 假定Sname也具有唯一性，那么S就有两个码，这两个码都由单个属性组成，彼此不相交。其他属性不存在对码的传递依赖与部分依赖，所以S∈3NF。同时S中除Sno，Sname外没有其他决定因素，所以S∈BCNF。

例2：关系模式SJP(S,J,P)中，S是学生，J表示课程，P表示名次。 每一个学生选修每门课程的成绩有一定的名次，每门课程中每一名次只有一个学生（即没有并列名次）。由语义可得到下面的函数依赖: (S，J)→P ；(J，P)→S 候选码为:(S，J)与(J，P) 这两个码各由两个属性组成，而且它们是相交的。这个关系模式中显然没有属性对码传递依赖或部分依赖。所以SJP∈3NF，而且除(S,J)与(J,P)以外没有其它决定因素，所以SJP∈BCNF

例3：在关系模式STJ（S，T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。 每一教师只教一门课。每门课由若干教师教，某一学生选定某门课，就确定了一个固定的教师。某个学生选修某个教师的课就确定了所选课的名称 。由语义可得到下面的函数依赖: (S，J)→T，(S，T)→J，T→J S T J S J T 候选码为：(S，J)和(S，T)  S、T、J都是主属性，所以STJ∈3NF T→J，T是决定属性集，T不是候选码STJ∈BCNF 解决方法： 将STJ分解为二个关系模式： SJ(S，J) ∈ BCNF， TJ(T，J)∈ BCNF S J ST T J TJ 没有任何属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖

练习题 指明下列关系模式属于第几范式. R(X,Y,Z) F={XY→Z} R(X,Y,Z) F={Y→Z,XZ→Y} R(X,Y,Z) F={Y→Z,Y→X,X→YZ} R(X,Y,Z) F={X→Y,X→Z} R(W,X,Y,Z) F={X→Z,WX→Y}

3NF与BCNF的关系与区别 BCNF的关系模式所具有的性质 如果关系模式R∈BCNF，必定有R∈3NF 如果R∈3NF，且R只有一个候选码，则R必属于BCNF。 3NF和BCNF是在函数依赖的条件下对模式分解所能达到的分离程度的测度。 一个模式中的关系模式如果都属于BCNF，那么在函数依赖范畴内，它已实现了彻底的分离，已消除了插入和删除的异常。 3NF的“不彻底”性表现在可能存在主属性对码的部分依赖和传递依赖。 BCNF的关系模式所具有的性质 ⒈ 所有非主属性都完全函数依赖于每个候选码; ⒉ 所有主属性都完全函数依赖于每个不包含它的候选码; ⒊ 没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性.

6.2.7 多值依赖 例1: 学校中某一门课程由多个教师讲授，他们使用相同的一套参考书。 关系模式: Teaching(C, T, B) 表5.1 课 程 C 教 员 T 参 考 书 B 物理   数学 计算数学 … 李 勇 王 军 张 平 周 峰 普通物理学 光学原理 物理习题集 数学分析 微分方程 高等代数 例1: 学校中某一门课程由多个教师讲授，他们使用相同的一套参考书。 关系模式: Teaching(C, T, B) 课程C、教师T 和 参考书B

用二维表表示 Teaching 参考书B 教员T 课程C 普通物理学 光学原理 物理习题集 数学分析 微分方程 高等代数 … 李 勇 王 军 张 平 物 理 数 学 参考书B 教员T 课程C

用二分图表示 Teaching 物 理 普通物理学 光学原理 物理习题集 李勇 王军

Teaching具有唯一候选码(C，T，B)， 即全码 Teaching关系模式中存在的问题 Teaching∈BCNF: Teaching具有唯一候选码(C，T，B)， 即全码 Teaching关系模式中存在的问题 (1) 数据冗余度大：有多少名任课教师，参考书就要存储多少次。 (2) 插入操作复杂：当某一课程增加一名任课教师时，该课程有多少本参照书，就必须插入多少个元组。 (3) 删除操作复杂：某一门课要去掉一本参考书，该课程有多少名教师，就必须删除多少个元组。 (4) 修改操作复杂：某一门课要修改一本参考书，该课程有多少名教师，就必须修改多少个元组。 产生原因：存在多值依赖

多值依赖的定义 t x y1 z2 s x y2 z1 w x y1 z1 v x y2 z2 定义6.10 设R(U)是一个属性集U上的一个关系模式， X、 Y和Z是U的子集，并且Z＝U－X－Y，多值依赖 X→→Y成立当且仅当对R的任一关系r，r在（X，Z）上的每个值对应一组Y的值，这组值仅仅决定于X值而与Z值无关。 例 Teaching（C, T, B） 对于C的每一个值，T有一组值与之对应，而不论B取何值。 另一等价定义 在R（U）的任一关系r中，如果存在元组t，s 使得t[X]=s[X]，那么就必然存在元组 w,v r，（w,v可以与s，t相同），使得： (1) w[X]=v[X]=t[X]=s[X] ， (2) w[Y]=t[Y]，w[Z]=s[Z]， (3) v[Y]=s[Y]，v[Z]=t[Z] （即交换s，t元组的Y值所得的两个新元组必在r中）， 则Y多值依赖于X，记为X→→Y。 这里，X，Y是U的子集，Z=U-X-Y。 t x y1 z2 s x y2 z1 w x y1 z1 v x y2 z2

平凡多值依赖和非平凡的多值依赖 若X→→Y，而Z＝φ，则称 X→→Y为平凡的多值依赖 否则称X→→Y为非平凡的多值依赖

按照语义对于W的每一个值Wi，S有一个完整的集合与之对应而不论C取何值。所以W→→S。 例2：关系模式WSC(W,S,C)中，W表示仓库，S表示保管员，C表示商品。假设每个仓库有若干个保管员，有若干种商品。每个保管员保管所在仓库的所有商品，每种商品被所有保管员保管。 仓库管理关系 按照语义对于W的每一个值Wi，S有一个完整的集合与之对应而不论C取何值。所以W→→S。 于是{S}Wi与{C}Wi之间正好形式一个完全二分图，如图: Si1 ，Si2 ，… … Sin Ci1 ，Ci2 ，… … Cin Wi S C

多值依赖的性质 Yi1 Yi2 … Yin Xi Zi1 Zi2 … Zim （1）多值依赖具有对称性 若X→→Y，则X→→Z，其中Z＝U－X－Y 多值依赖的对称性可以用完全二分图直观地表示出来。 （2）多值依赖具有传递性 若X→→Y，Y→→Z， 则X→→Z -Y Xi Zi1 Zi2 … Zim Yi1 Yi2 … Yin （3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。 若X→Y，则X→→Y。 （4）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y Z。 （5）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y∩Z。 （6）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y-Z，X→→Z -Y。

多值依赖与函数依赖的区别 (1) 有效性 (2) 多值依赖的有效性与属性集的范围有关 若X→→Y在U上成立，则在W（X Y  W  U）上一定成立；反之则不然，即X→→Y在W（W  U）上成立，在U上并不一定成立 多值依赖的定义中不仅涉及属性组 X和 Y，而且涉及U中其余属性Z。 一般地，在R（U）上若有X→→Y在W（W  U）上成立，则称X→→Y为R（U）的嵌入型多值依赖 只要在R（U）的任何一个关系r中，元组在X和Y上的值满足定义5.l（函数依赖），则函数依赖X→Y在任何属性集W（X Y  W U）上成立。 (2) 若函数依赖X→Y在R（U）上成立，则对于任何Y'  Y均有X→Y' 成立 多值依赖X→→Y若在R(U)上成立，不能断言对于任何Y‘  Y有X→→Y’ 成立。

例：对于关系模式R(X,Y,A,B) 设： U={X,Y,A,B} Y={def} W={X,Y,A} XY⊆W⊆U Y’={de} ⊂Y 函数依赖： 多值依赖： F={X→Y} F={X→→Y} X→A X→→YA X→B X→?→B X→d X→?→d X→e X→?→e X→f X→?→f 在U上成立 在U上成立 在W，Y’上肯定成立 在W， Y’上不一定成立

6.2.8 第四范式（4NF） 定义5.10 关系模式R<U，F>∈1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y（Y  X），X都含有候选码，则R∈4NF。 （X→Y） 如果R ∈ 4NF， 则R ∈ BCNF 不允许有非平凡且非函数依赖的多值依赖，允许的是函数依赖（是平凡多值依赖）。 函数依赖和多值依赖是两种最重要的数据依赖。 如果只考虑函数依赖，则属于BCNF的关系模式规范化程度已最高了。 如果考虑多值依赖，则属于4NF的关系模式规范化程度是最高的了。

例： Teach(C,T,B) ∈ 4NF 存在非平凡的多值依赖C→→T，且C不是候选码 用投影分解法把Teach分解为如下两个关系模式： CT(C, T) ∈ 4NF CB(C, B) ∈ 4NF C→→T， C→→B是平凡多值依赖 同样的方法可以把WSC（W，S，C）分解为： WS（W，S） ∈ 4NF WC（W，C） ∈ 4NF

6.2.9 规范化小结 关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具。 一个关系只要其分量都是不可分的数据项，它就是规范化的关系，但这只是最基本的规范化。 规范化程度可以有多个不同的级别 规范化程度过低的关系不一定能够很好地描述现实世界，可能会存在插入异常、删除异常、修改复杂、数据冗余等问题 一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式集合（这个分解不是唯一的），这个过程就叫关系模式的规范化

1NF 关系模式规范化的基本步骤 ↓ 消除非主属性对码的部分函数依赖 消除决定属性 2NF 集非码的非平 ↓ 消除非主属性对码的传递函数依赖 ↓ 消除非主属性对码的部分函数依赖 消除决定属性 2NF 集非码的非平 ↓ 消除非主属性对码的传递函数依赖 凡函数依赖 3NF ↓ 消除主属性对码的部分和传递函数依赖 BCNF ↓ 消除非平凡且非函数依赖的多值依赖 4NF

规范化的基本思想 消除不合适的数据依赖 模式中的各关系模式达到某种程度的“分离” 采用“一事一地”的模式设计原则 让一个关系描述一个概念、一个实体或者实体间的一种联系。若多于一个概念就把它“分离”出去 所谓规范化实质上是概念的单一化 不能说规范化程度越高的关系模式就越好。 在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适的、能够反映现实世界的模式。 上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止。

6.3 数据依赖的公理系统 逻辑蕴含 定义6.11 对于满足一组函数依赖 F 的关系模式R <U，F>，其任何一个关系r，若函数依赖X→Y都成立, 则称：F逻辑蕴含X →Y Armstrong公理系统 一套推理规则，是模式分解算法的理论基础 用途:1) 求给定关系模式的码 2)从一组函数依赖求得蕴含的函数依赖

1. Armstrong公理系统 关系模式R <U，F >来说有以下的推理规则： Al.自反律（Reflexivity）： 若Y  X  U，则X →Y为F所蕴含。 A2.增广律（Augmentation）：若X→Y为F所蕴含，且Z  U，则XZ→YZ为F所蕴含。 A3.传递律（Transitivity）：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则X→Z为F所蕴含。 注意：由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖，自反律的使用并不依赖于F

定理 6.l Armstrong推理规则是正确的 (l)自反律:若Y  X  U，则X →Y为F所蕴含 证: 设Y  X  U 对R <U，F> 的任一关系r中的任意两个元组t，s： 若t[X]=s[X]，由于Y  X，有t[y]=s[y]， 所以X→Y成立. 自反律得证 (2)增广律: 若X→Y为F所蕴含，且Z  U，则XZ→YZ 为F所蕴含。 证：设X→Y为F所蕴含，且Z  U。 设R<U，F> 的任一关系r中任意的两个元组t，s； 若t[XZ]=s[XZ]，则有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]； 由X→Y，于是有t[Y]=s[Y]，所以t[YZ]=s[YZ]，所以XZ→YZ为F所蕴含. 增广律得证。

(3) 传递律：若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则 X→Z为 F所蕴含。 证：设X→Y及Y→Z为F所蕴含。 对R<U，F> 的任一关系 r中的任意两个元组 t，s。 若t[X]=s[X]，由于X→Y，有 t[Y]=s[Y]； 再由Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z为F所蕴含. 传递律得证。

2. 导出规则 1.根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到下面三条推理规则： 合并规则：由X→Y，X→Z，有X→YZ。 伪传递规则：由X→Y，WY→Z，有XW→Z。 分解规则：由X→Y及 ZY，有X→Z。 2.根据合并规则和分解规则，可得引理6.1 引理6.l X→A1 A2…Ak成立的充分必要条件是X→Ai成立（i=l，2，…，k）。

3. 函数依赖闭包 定义6.12 在关系模式R<U，F>中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F的闭包，记为F+。 定义6.13 设F为属性集U上的一组函数依赖，X U， XF+ ={ A|X→A能由F 根据Armstrong公理导出}，XF+称为属性集X关于函数依赖集F 的闭包 例:设R<U，F>，U={A，B，C)， F＝{A→B，B→C}，则： ① 当X＝A时，XF+＝ABC； ② 当X＝B时，XF+＝BC； ③ 当X＝C时，XF+＝C。

F的闭包 F={A→B,B→C}, F+计算是NP完全问题，X→A1A2...An F+={ A→φ, B→φ, C→φ, AB→φ, AC→φ, BC→φ, ABC→φ, A→A, B→B, C→C, AB→A, AC→A, BC→B, ABC→A, A→B, B→C , AB →B, AC→B, BC→C, ABC→B, A →C, B→BC, AB →C, AC→C, BC→BC, ABC →C, A→AB, AB→AB, AC→AB, ABC→AB, A→AC, AB→BC, AC→AC, ABC→BC, A→BC, AB→AC, AC→AB, ABC→AC, A→ABC, AB→ ABC,AC→ABC, ABC→ABC }

关于闭包的引理 引理6.2 设F为属性集U上的一组函数依赖，X，Y  U，X→Y能由F 根据Armstrong公理导出的充分必要条件是:Y XF+ 用途 将判定X→Y是否能由F根据Armstrong公理导出的问题，就转化为求出XF+ ，判定Y是否为XF+的子集的问题。

求闭包的算法 算法6.l 求属性集X（X  U）关于U上的函数依赖集F 的闭包XF+ 输入：X，F 输出：XF+ 步骤： （1）令X（0）=X，i=0 （2）求B，这里B = { A |( V)(  W)(V→WF∧V  X（i）∧A W)}； （3）X（i+1）=B∪X（i） （4）判断X（i+1）= X （i）吗? （5）若相等或X（i）=U , 则X（i）就是XF+ , 算法终止。 （6）若否，则 i=i+l，返回第（2）步。 对于算法6.l， 令ai =|X（i）|，{ai }形成一个步长大于1的严格递增的序列，序列的上界是 | U |，因此该算法最多 |U| - |X| 次循环就会终止。

求闭包的算法 [例1] 已知关系模式R<U，F>，其中 U={A，B，C，D，E}； F={AB→C，B→D，C→E，EC→B，AC→B}。 求（AB）F+ 。 解 设X（0）=AB； (1)计算X（1）: 逐一的扫描F集合中各个函数依赖， 找左部为A，B或AB的函数依赖。得到两个： AB→C，B→D。 于是X（1）=AB∪CD=ABCD。 (2)因为X（0）≠ X（1） ，所以再找出左部为ABCD子集的那些函数依赖，又得到AB→C，B→D， C→E，AC→B， 于是X（2）=X（1）∪BCDE=ABCDE。 (3)因为X（2）=U，算法终止 所以（AB）F+ =ABCDE。

求关系模式的码 [例2] 已知关系R <U，F>，U=﹛A，B，C，D，E﹜， F=﹛AB→C，B→D，C→E，EC→B，AC→B﹜。 求R 的码？ 解法： 1.求出所有可能存在的闭包X(i) =XF+ ， 2.若X(i) =U，则选出其中的X， 3.在X中选出最简的主属性组Xi , 4. Xi 就是所求的码。 具体解为： (AB)F+=﹛ABCDE﹜ (B)F+=﹛BD﹜ (C)F+=﹛CBDE﹜ (EC)F+=﹛CBDE﹜ (AC)F+=﹛ABCDE﹜ (ABC)F+=﹛ABCDE﹜ (ABCE)F+=﹛ABCDE﹜ (BC)F+=﹛BCDE﹜ (BEC)F+=﹛BCDE﹜ (AEC)F+=﹛ABCDE﹜ 包含全部属性的有(AB)F+ ， (AC)F+ ， (ABC)F+ ， (ABCE)F+ ， (AEC)F+ 挑选出最简的是： (AB)F+ ， (AC)F+ 所以R 的码为： AB 和 AC

4. Armstrong公理系统的有效性与完备性 有效性：由F出发根据Armstrong公理推导出来的每一个函数依赖一定在F+中。 /* Armstrong正确 完备性：F+中的每一个函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理推导出来 。/* Armstrong公理够用，完全 若 f 不能用Armstrong公理推导出来， f∈ F+ 有效性与完备性的证明 证明： 1. 有效性： 可由定理5.l得证 2. 完备性： 只需证明逆否命题: 若函数依赖X→Y不能由F从Armstrong公理导出，那么它必然不为F所蕴含 分三步证明：

(1)引理: 若V→W成立，且V  XF+，则W  XF+ 证 因为 V  XF+ ，所以有X→V成立； 因为X →V，V→W，于是X→W成立 所以W  XF+ (2)/* 若 f 不能用Armstrong公理推导出来， f∈ F+ /* 若存在r， F+中的全部函数依赖在 r上成立。 /* 而不能用Armstrong公理推导出来的f , 在r上不成立。 构造一张二维表r，它由下列两个元组构成，可以证明r必是R（U，F）的一个关系，即F+中的全部函数依赖在 r上成立。 XF+ U-XF+ 11......1 00......0   11......1 11......1   若r不是R<U，F> 的关系，则必由于F中有函数依赖V→W在r上不成立所致。由r的构成可知，V必定是XF+ 的子集，而W不是XF+ 的子集，可是由第（1）步，W  XF+，矛盾。所以r必是R<U，F>的一个关系。

/* 而不能用Armstrong公理推导出来的 f , 在r上不成立。 (3) /* 若 f 不能用Armstrong公理推导出来， f∈ F+ /* 而不能用Armstrong公理推导出来的 f , 在r上不成立。 若X→Y 不能由F从Armstrong公理导出，则Y 不是 XF+ 的子集。（引理5.2） 因此必有Y 的子集Y’ 满足 Y’ U-XF+， 则X→Y在 r 中不成立，即X→Y必不为 R<U，F> 蕴含 /* 因为 F+中的全部函数依赖在 r上成立。 Armstrong公理的完备性及有效性说明: “蕴含” == “导出” 等价的概念 F+ ==由F出发借助Armstrong公理导出的函数依赖的集合

5. 函数依赖集等价 定义5.14 如果G+=F+，就说函数依赖集F覆盖G（F是G的覆盖，或G是 F的覆盖），或F与G等价。 证: 必要性显然，只证充分性。 （1）若FG+ ，则XF+  XG++ 。 （2）任取X→YF+ 则有 Y  XF+  XG++ 。 所以X→Y  (G+）+= G+。即F+  G+。 （3）同理可证G+  F+ ，所以F+ = G+。 要判定F  G+，只须逐一对F中的函数依赖X→Y，考察 Y 是否属于XG++ 就行了。因此引理5.3 给出了判断两个函数依赖集等价的可行算法。

6. 最小依赖集 定义5.15 如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集。亦称为最小依赖集或最小覆盖。 (2) F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与 F-{X→A}等价。 (3) F中不存在这样的函数依赖X→A， X有真子集Z 使得 F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。

[例2] 对于5.1节中的关系模式S<U，F>，其中： U={ SNO，SDEPT，MN，CNAME，G }， F={ SNO→SDEPT，SDEPT→MN， （SNO，CNAME）→G } 设F’={SNO→SDEPT，SNO→MN， SDEPT→MN，(SNO，CNAME)→G， (SNO，SDEPT)→SDEPT} F是最小覆盖，而F ’不是。 因为：F ’-{SNO→MN}与F ’等价 F ’-{(SNO，SDEPT)→SDEPT}也与F ’等价 F ’-{(SNO，SDEPT)→SDEPT} ∪{SNO→SDEPT}也与F ’等价

7. 极小化过程 定理5.3 每一个函数依赖集F均等价于一个极小函数依赖集Fm。此Fm称为F的最小依赖集 (1)逐一检查F中各函数依赖FDi：X→Y， 若Y=A1A2 …Ak，k > 2， 则用 { X→Aj |j=1，2，…， k} 来取代X→Y。 引理5.1保证了F变换前后的等价性。 (2)逐一检查F中各函数依赖FDi：X→A， 令G=F-{X→A}，若AXG+， 则从F中去掉此函数依赖。 由于F与G =F-{X→A}等价的充要条件是AXG+ 因此F变换前后是等价的。

(3)逐一取出F中各函数依赖FDi：X→A， 设X=B1B2…Bm， 逐一考查Bi （i=l，2，…，m）， 若A （X-Bi ）F+ ， 则以X-Bi 取代X。 由于F与F-{X→A}∪{Z→A}等价的充要条件是AZF+ ，其中Z=X-Bi 因此F变换前后是等价的。 由定义，最后剩下的F就一定是极小依赖集。 因为对F的每一次“改造”都保证了改造前后的两个函数依赖集等价，因此剩下的F与原来的F等价。 定理5.3的证明过程 也是求F极小依赖集的过程

[例3]已知：F = {A→B，B→A，B→C，A→C，C→A}，求F 的极小函数依赖集Fm 解：1.化右部为单一属性： F=﹛A→B，B→A，B→C，A→C，C→A﹜ 2. ①在F中去掉A→B， (A)F+={AC}，∵B  (A)F+ ，∴不去掉。 ②在F中去掉B→A ， (B)F+={ABC}，∵A∈ (B)F+ ，∴应去掉。 ③在F中去掉B→C ， (B)F+={B}，∵C  (B)F+ ，∴不去掉。 ④在F中去掉A→C， (A)F+={ABC}，∵C∈ (A)F+ ，∴应去掉 ⑤在F中去掉C→A， (C)F+={C}，∵A  (C)F+ ，∴不去掉。 3.因主属性是单属性，故不用再取其子集去考察。 故极小函数依赖集Fm1=﹛A→B，B→C，C→A﹜ Fm1= {A→B，B→C，C→A}   Fm2= {A→B，B→A，A→C，C→A} Fm1、Fm2都是F的最小依赖集： F的最小依赖集Fm不一定是唯一的它与对各函数依赖FDi 及X→A中X各属性的处置顺序有关

例4：已知关系R <U，F>，U=﹛A，B，C，D，E，F，G，H，I，J﹜，F=﹛A→B，A→C，A→DE，D→E，DE→B，AF→GHI，I→J﹜。 求F 的极小函数依赖集Fm 解：1.化右部为单一属性： 则F=﹛ A→B ,A→C，A→D，A→E，D→E，DE→B，AF→G， AF→H， AF→I，I→J﹜。 2. ①A→B：记G=F-﹛A→B﹜， ∴(A)G+= ﹛ACDEB﹜ ，∴ B∈ (A)G+ ，∴去掉A→B ， F=F-﹛A→B﹜=﹛ A→C，A→D，A→E，D→E，DE→B，AF→G， AF→H， AF→I，I→J ﹜ 。 ②A→C：记G=F-﹛ A→C ﹜， ∴(A)G+= ﹛ADEB﹜ ，∴ C  (A)G+ ，∴不去掉A→C ， F=﹛ A→C，A→D，A→E，D→E，DE→B，AF→G， AF→H， AF→I，I→J ﹜ 。

③ A→E：记G=F-﹛A→E﹜， ∴(A)G+= ﹛ACDEB﹜ ， ∴ E∈ (A)G+ ，∴去掉A→E ， F=F-﹛A→E﹜=﹛ A→C，A→D，D→E，DE→B，AF→G， AF→H， AF→I，I→J ﹜ 。 ④ 同理考察： A→D，D→E，DE→B，AF→G， AF→H， AF→I，I→J ，它们都不能去掉。 故记F为： F=﹛ A→C，A→D，D→E，DE→B，AF→G， AF→H， AF→I，I→J ﹜ 。 3. 函数依赖左部的分解 ①.DE→B：∴(D)F+= ﹛DEB﹜ ，∴ B∈ (D)F+ ， ∴用D→B代替 DE→B ， 记F=﹛ A→C，A→D，D→E， D→B ，AF→G， AF→H， AF→I，I→J ﹜ 。

②.AF→G： ∴(A)F+= ﹛ACDEB﹜ ， ∴(F)F+= ﹛ACDEB﹜ ， ∵ G  (A)F+ ； G  (F)F+ ， ∴不能用A→G或F→G代替 AF→G ， 记F=﹛ A→C，A→D，D→E， D→B ，AF→G， AF→H， AF→I，I→J ﹜ 。 同理，可考察AF→H， AF→I，它们都应保留。 所以，Fm=﹛ A→C，A→D，D→E， D→B ，AF→G， AF→H， AF→I，I→J ﹜ 。

极小化过程( 定理5.3的证明 )也是检验F是否为极小依赖集的一个算法 若改造后的F与原来的F相同，说明F本身就是一个最小依赖集 在R<U，F>中可以用与F等价的依赖集G来取代F 原因：两个关系模式R1 <U，F>，R2<U，G>，如果F与G等价，那么R1的关系一定是R2的关系。反过来，R2的关系也一定是R1的关系。

关系数据理论小结 关系数据理论 设计数据库的标准 设计数据库方法 判断关系模式能达到哪一级范式 进行关系模式分解 为关系数据库设计提供了理论的指南和工具。 关系数据理论 不存在插入异常、删除异常、修改异常和冗余度大等问题。 设计数据库的标准 概念模型→关系数据模型→ 关系数据规范化（将数据库中的各关系尽量达到高一级的范式）。 设计数据库方法 判断关系模式能达到哪一级范式 由关系模式中的U、F和Key根据各范式定义来判断。 Key的求法： 1.求出所有可能存在的闭包X(i) =XF+ 2.若X(i) =U，则选出其中的X， 3.在X中选出最简的主属性组Xi , 4. Xi 就是所求的码。 进行关系模式分解 将低级范式的关系模式分解使其达到高级范式。

6.4 模式的分解 把低一级的关系模式分解为若干个高一级的关系模式的方法并不是唯一的。 只有能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价，分解方法才有意义。 三种模式分解的等价定义 ⒈ 分解具有无损连接性。 ⒉ 分解要保持函数依赖。 ⒊ 分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接性。 以上也是模式分解的原则。

SL 例: SL（Sno， Sdept， Sloc） F={ Sno→Sdept,Sdept→Sloc,Sno→Sloc} SL∈2NF 存在插入异常、删除异常、冗余度大和修改复杂等问题 分解方法可以有多种: S (Sno) D (Sdept) L(Sloc) 1. Sno Sdept Sloc 95001 CS A 95002 IS B 95003 MA C 95004 IS B 95005 PH B SL S-L(Sno， Sloc) D-L (Sdept， Sloc) 2. S-D(Sno， Sdept) S-L (Sno， Sloc) 3. S-D(Sno， Sdept) D-L (Sdept， Sloc) 4.

第一种分解 S D L S D L Sno 95001 95002 95003 95004 95005 Sdept CS IS MA PH Sloc A B C L 无法连接 分解后的数据库丢失了许多信息。 例如无法查询95001学生所在系或所在宿舍。 如果分解后的关系可以通过自然连接恢复为原来的关系，那么这种分解就没有丢失信息。

第二种分解 S-L D-L S-L D-L Sno 95001 95002 95003 95004 95005 Sloc A B C Sdept CS IS MA PH D-L Sno Sdept Sloc 95001 CS A 95002 IS B 95002 PH B 95003 MA C 95004 IS B 95004 PH B 95005 IS B 95005 PH B    连接后比原来的SL关系多了3个元组，无法知道95002、95004、95005究竟是哪个系的学生。 元组增加了，信息丢失了。

没有丢失信息，但原关系SL中的函数依赖Sdept→Sloc 在关系模式S-D和S-L上不见了。 有数据冗余。 第三种分解 S-D S-L Sno 95001 95002 95003 95004 95005 Sdept CS IS MA PH S-D Sloc A B C Sno 95001 95002 95003 95004 95005 S-L Sno Sdept Sloc 95001 CS A 95002 IS B 95003 MA C 95004 IS B 95005 PH B 没有丢失信息，但原关系SL中的函数依赖Sdept→Sloc 在关系模式S-D和S-L上不见了。 有数据冗余。

这种分解方法没有丢失信息和数据冗余，并保持了函数依赖 第四种分解 S-D D-L Sno 95001 95002 95003 95004 95005 Sdept CS IS MA PH S-D Sloc A B C Sdept CS IS MA PH D-L Sno Sdept Sloc 95001 CS A 95002 IS B 95003 MA C 95004 IS B 95005 PH B 这种分解方法没有丢失信息和数据冗余，并保持了函数依赖

SL 存在插入异常、删除异常、冗余度大和修改复杂等问题 例: SL（Sno， Sdept， Sloc） F={ Sno→Sdept,Sdept→Sloc,Sno→Sloc} SL∈2NF 分解方法可以有多种: 既没有保持函数依赖，又无法连接。 S (Sno) D (Sdept) L(Sloc) 1. Sno Sdept Sloc 95001 CS A 95002 IS B 95003 MA C 95004 IS B 95005 PH B SL 保持函数依赖，但丢失信息，是有损连接。 S-L(Sno， Sloc) D-L (Sdept， Sloc) 2. 没有保持函数依赖，没有丢失信息，是无损连接，但有数据冗余。 S-D(Sno， Sdept) S-L (Sno， Sloc) 3. S-D(Sno， Sdept) D-L (Sdept， Sloc) 4. 既保持函数依赖，又能无损连接。

模式分解的定义 定义5.16 关系模式R<U,F>的一个分解： ρ={ R1<U1,F1>，R2<U2,F2>，…，Rn<Un,Fn>} U=U1∪U2∪…∪Un，且不存在 Ui  Uj，Fi 为 F在 Ui 上的投影。 定义5.17 函数依赖集合{X→Y | X→Y  F+∧XY Ui} 的一个覆盖 Fi 叫作 F 在属性 Ui 上的投影。

具有无损连接性和保持函数依赖的模式分解定义 定义5.18 平共 设 ρ={R1<U1,F1>, R2<U2,F2>,...Rk<Uk,Fk>}是R<U,F>的一个分解，若对R<U,F>的任何一个关系r均有 r = mρ(r)成立，则称分解ρ具有无损联接性。 其中：mρ(r) 是r在ρ中各关系模式上的投影的连接。 定义519 设 ρ={R1<U1,F1>, R2<U2,F2>,...Rn<Un,Fn>}是R<U,F>的一个分解，若F+ =( F1∪F2∪…∪Fn ) +,则称关系模式R的这个分解ρ是保持函数依赖的。

如果一个模式分解具有无损连接性，则它能够保证不丢失信息。那么这个模式分解一定能够达到4NF。 如果一个模式分解保持了函数依赖，则它可以减轻或解决各种异常情况。那么这个模式分解一定能够达到3NF，但不一定能够达到BCNF。 分解具有无损连接性和分解保持函数依赖是两个互相独立的标准。具有无损连接性的分解不一定能够保持函数依赖。同样，保持函数依赖的分解也不一定具有无损连接性。 如果一个分解既具有无损连接性又保持了函数依赖，则既能够保证不丢失信息，还可以减轻或解决各种异常情况，是比较好的分解。那么这个模式分解一定能够达到3NF，但不一定能够达到BCNF。

分解算法 算法5.2 判别一个分解的无损连接性 算法5.3 （合成法）转换为3NF的保持函数依赖的分解。 算法5.2 判别一个分解的无损连接性 算法5.3 （合成法）转换为3NF的保持函数依赖的分解。 算法5.4 转换为3NF既有无损连接性又保持函数依赖的分解 算法5.5 转换为BCNF的无损连接分解（分解法） 算法5.6 达到4NF的具有无损连接性的分解