§2 无穷积分的性质与收敛判别
一、无穷积分的性质 (无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分 定理11.1 收敛的充要条件是: 证 极限的柯西准则,此等价于
即 根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2. 性质1 为任意常数,则
注 收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散， 发散+发散=不一定. 性质2
性质3 若 f 在任何有限区间 [a, u]上可积,且 证 由柯西准则的必要性, 对 因 因此 再由柯西准则的充分性,
又对任意 若无穷积分
所有条件收敛的例子都是反例. 二、比较判别法 由 关于上限u递增,则
定理11.2 (比较判别法) 设定义在 上的两个 函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且满足 注：大收敛则小收敛；小发散则大发散. 证
因此 第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立. 例1 讨论 的收敛性. 解 由于 由比较原则
设 f (x), g(x) 是 上的连续函数. 证明： 例2 证 由于
例3 , f (x), g (x), 若 h(x) 在任意 [a, u]上可积, 且 证 因为 由 收敛，则
收敛，于是 收敛，因此 思考 若 都发散，则 发散吗？ 推论1 设 f 和非负函数 g 在任何 [a,u] 上可积, 且
证 即
推论2 设 f 定义于 , 且在任何有限区间
推论3设 f 是定义于 且在任何有限区间 [a, u] 上可积. 说明: 推论3是推论2的极限形式，读者应不难写 出它的证明.
例4：讨论下列无穷限反常积分的收敛性： 而极限为0只能判收敛，取 收敛 取P让分子分母最高项次数相同，则 因此发散。
三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 定理11.3(狄利克雷判别法） 证 故
使得
因此, 由柯西准则， 定理11.4(阿贝尔判别法) 证 [证法1] 由 g 的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的 使得
由柯西准则, [证法2]
由狄利克雷判别法 收敛,所以 例6 的收敛性. 解 收敛.
由狄利克雷判别法推知 另一方面， 狄利克雷判别 法条件, 是收敛的；
类似可证:
例7：讨论下列无穷积分都是条件收敛： 由例6知都是条件收敛：
由例7可知，当 时被积函数即使 不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍可 能是收敛的。