第三章 线性系统的能控性和能观性 能控性和能观性是线性系统理论中的两个基本概念，是卡尔曼（R.E.Kalman）60年代首先提出来的。这两个概念的提出，对于控制理论的研究和发展，有着很重要的意义。 能控性和能观性是系统的两个结构特性，揭示了系统内部的状态变量与系统输出之间的关系。简单地说，所谓系统能控性，是指输入对于状态变量的作用能力，能观性则是通过输出来确定状态变量的能力。

在本章中，深入地讨论线连续系统和线性离散系统的能控性和能观测性的定义、判据准则；此外，还讨论对偶系统与对偶原理和系统的结构分解。这些也是线性系统综合设计的基本内容。

§3.1 线性连续时间系统的能控性 §3.2 线性连续时间系统的能观测性 §3.3 线性离散时间系统的能控性和能观测性 §3.4 对偶原理 §3.5 能控性、能观测性与传递函数（矩阵）的关系 §3.6 能控规范型和能观测规范型(单输入-单输出情况)

§3.7 能控规范型和能观测规范型（多输入-多输出情况） §3.8 线性系统的结构分解

3.1 线性连续时间系统的能控性 引例 设单输入连续系统状态方程为 图3.1 不能控系统结构图

图3.2 能控系统结构图

式中，第二个方程只与状态变量 本身有关，且与 无关，是不能控状态变量； 受 控制，是能控状态变量。从系统结构图3 式中，第二个方程只与状态变量 本身有关，且与 无关，是不能控状态变量； 受 控制，是能控状态变量。从系统结构图3.1显见 能影响 而不能影响 ，于是状态 向量 不能在 作用下任意转移，称状态不完全能控，简称系统不能控。 如果在上述引例中，将控制 的作用点移到最左边，系统结构图如3.2所示，相应的状态方程为

由状态方程可以看出， 影响 ，又通过 影响 ，于是状态方向量 能在 作用下任意转移，称完全能控，简称系统能控。 能控性定义 线性时变系统的状态方程 （3.1） 其中， 为 维状态向量， 为输入向量， 为时间定义区间， 和 分别为 和 维矩阵。现对系统能控性定义如下：

定义 3.1 对于式线性时变系统，如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态 ，存在一个时刻 和一个无约束的容许控制 状态由 转移到 时 则称 此在 时刻能控的。 定义 3.2 对于式线性时变系统，取定初始时刻 ，如果状态空间中有一个或一些非零状态，在 时刻是不能控的，则称系统在 时刻不完全能控的。也可称为系统是不能控的。

在上述定义中，只要求系统在 作用下，使 转移到 ，而对于状态转移的轨迹不作任何规定。所以，能控性是表征系统状态运动的一个定性特性。定义中的控制 的每个分量的幅值并未给以限制，可取任意大的要求值。但 必须是容许控制，即 的每个分量 均在时间区间 上平方可积。即

此外，对于线性时变系统，其能控性与初始时刻 的选取有关；而对于线性定常系统，其能控性与初始时刻 无关。 线性定常系统能控性的常用判据 考虑线性定常系统的状态方程 （3.2） 其中， 为 维状态变量， 为 维输入向量， 和 分别为 和 维常数矩阵。下面直接根据线性定常系统 和 给出系统的能控性的常用判据。

格拉姆矩阵判据 线性定常系统为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵 （3.3） 为非奇异。 证 充分性：已知 完全能控，欲证系统为完全能控。 已知 非奇异，故 存在。由此根据能控性定义，对于一非零初始状态 可选取控制 为：

（3.4） 则在 作用下系统在 时刻的解为： 这结果表明，对任一 ，存在有限时刻 和控制 ，使状态由 转移到 时刻 。于是，按定义可知系统为完全能控。充分性得证。

必要性：已知系统为完全能控，欲证 为非奇异。 采用反证法。反设 为奇异，也即假设存在麽个非零向量 ，使 （3.5） 成立，由此可以推导出 （3.6） 其中 为范数，故必其为正值。

这样，欲使式成立，应当有 （3.7） 另一方面，因系统完全能控。根据定义对此非零 应有 得到 （3.8）

再利用式3.7，再由式3.8得到 ，即 。显然，此结果与反设 相矛盾，即 为奇异的反设不成立。因此，当系统为完全能控， 必为非奇异，必要性得证。至此，证毕。 2.秩判据 线性定常系统为完全能控的充分必要条件是 （3.9） 其中， 为矩阵 的维数， 称为系统的能控判别阵。

证 充分性：已知 ，欲证系统完全能控。 采用反证法。反设系统为不完全能控，则根据格拉姆矩阵判据可知 为奇异，这意味着存在某个非零 维常数向量 使 显然，由此可得 （3.10）

将式3.10求导直至 次，再在所得结果中令 ，便得到 （3.11） 然后再将式3.11表示为 （3.12） 由于 ，所以式3.12意味 着为行线性相关，即 。这显然和已知 相矛盾。所以，反设不成立，系统应为完全能控。

必要性：已知系统完全能控，欲证 。 采用反证法。反设 ，这意味着 为行线性相关，因此必存在一个非零 维常数向量 使 成立。考虑到问题的一般性，由上式可导出 （3.13） 根据凯莱—哈密尔顿定义， 均可表示为 的线性组合，由此可将式进一步写为

将式3.13进一步写为 从而，对任意 有 或 利用式3.14，则有 （3.15）

因为已知 ，若式3.15成立，必须有 为奇异，即系统不完全能控。这是和已知条件相矛盾的，所以反设不成立，与是有 ，必要性得证。证毕。 例3.1 判别下列系统的能控性 解 计算能控性判别阵 的秩

显然，由于 ，此系统完全能控。 例 3.2 判别下列系统的能控性 解 计算能控性判别矩阵的秩：

显见阵的第二、三行线性相关， ，故系统不能完全能控。 3.PBH秩判据 线性定常系统（3.2）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵 的所有特征值 ，下式 （3.16） 均成立，或等价地表示为 （3.17） 即 和 是左右互质的。

证 必要性：系统完全能控，欲证式成立。 采用反证法。反设对某个 有 ，则意味着 行线性相关成立。由此，必存在一个非零常数向量 ，使 （3.18） 成立。考虑到问题的一般性，由式3.18可导出 （3.19） 利用式3.19，进而有

于是，进一步得到 （3.20） 因已知 ，所以欲使式3.20成立，必有 这意味着系统不完全能控，显然和已知套件相矛盾。因此，反设不成立，而式成立。考虑到 为多项式矩阵，且对复数域 上除 以外所有 都有， ，所以式3.16等价于3.17。

必要性得证。 充分性：式3.16成立。欲证系统为完全能控。 采用反证法。利用和上述相反思路，即可证明充分性。至此，证毕。 例 3.3 判别下列系统的能控性

解 先求 考虑到 的特征值为 ，所以只需要对他们来检验上述矩阵的秩。为此，通过计算得到：当，有

当 ，有

当 ，有 计算结果表明，充要条件（3.16）成立，故系统完全能控。

4.PBH特征向量判据 线性定常系统(3.2)为完全能控的充分必要条件是， 不能有与 的所有列相正交的非零左特征向量。即对 的任一特征值 ，使同时满足 (3.21) 的特征向量 。 证 必要性：已知系统的完全能控。反设存在一个向量 ，使式(3.21)成立，则有

从而得到 这意味着 ，即系统不完全可控。这与已知条件相矛盾，因而反设不成立。必要性得证。 充分性：也用反正法。利用上述相反的思路来进行，具体证明过程从略。至此证毕。 应当指出，一般的说，PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特别是现性系统的复频率分析中。

5.约当规范性判据 线性定常系统(3.2)为完全能控的充分必要条件分两种情况： 第一种情况：矩阵 的特征值 ，是两两相异的，由线性变换可将式(3.2)变为对角线规范型

则系统(3.2)为完全能控的充分必要条件是，在式(3.22)中， 不包含元素全为零的行。 证　可用秩判据予以证明，推证过程略。 第二种情况：矩阵 的特征值为 且 ，由线性变换将式(3.2)化为约当规范型 (3.23)

其中 (3.24) (3.25)

(3.26) 并有 。由 ，的最后一行所组成的矩阵为 (3.27)

则系统(3.2)为完全能控的充分必要条件是，在式(3.23)中，对于所有 矩阵， ，均为行线性无关。 证 可用PBH秩判据予以证明。证明过程略。

例 3.4 已知线性定常系统的对角线规范型为式(3.28)，试判定系统的能控性。 解 显见，此规范型中 不包含元素全为零的行，因此系统的为完全能控。

例 3.5 给定线性定常系统的约当规范型为式(3.29)，试判定系统的能控性。

解 容易定出： 显然，矩阵 和 都是行线性无关的， 的元素不全为零，所以系统完全能控。

能控性指数 考察完全能控线性定常系统(3.2)，其中和 分别是 和 的常值矩阵。 定义 3.4 设 (3.30) 为 常值矩阵，其中 为正整数。当 时 即为能控性矩阵 ，且 。依次将 由1增加到 ，使 。则称这个使 式成立的 的最小正整数 为系统的能控性指数。

设 ，则估计能控性指数 的一个关系式为 (3.31) 此式很容易推导出。考虑到 为 阵，欲使 的秩为 ，其必要的前提是矩阵 的列数必须大于或等于它的行数，即 。由此得到式(3.31)的左部

若 ，由能控性指数定义可知， 的每一个矩阵至少有一个列向量和 中其左侧所有线性独立的列向量线性无关，因此有 。由此得到式(3.31)的右部 于是，式(3.31)推导完毕。

从式(3.31)出发，可对能控性指数给促以下几点推论。 (1)对于但输入系统。即 ，系统的能控性指数 。 (2) 对于线性定常系统(3.2)，考虑 的上界可导出能控性秩判据为：系统完全能控的充分必要条件是 (3.32) 因为矩阵 的秩易于计算，所以利用式(3.32)来判断能控性可使计算得到简化。

(3) 设 为矩阵 的最小多项式的次数，且必有 ，则能控性指数 的估计不等式(3.31)可进一步表示为 (3.33) 线性时变系统的能控性判据 线性时变系统的状态方程为 (3.34)

其中， 为 维状态向量， 为 维输入向量， 为时间定义区间， 和 分别为 和 的时变矩阵，且满足解的存在唯一性条件。 1. 格拉姆矩阵判据 线性时变系统(3.34)在 时刻为完全能控的充分必要条件是，存在一个有权限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵 (3.35) 为非奇异，其中 为系统(3.34)的转移矩阵的逆阵。

证 此判据的证明方法与定常系统的格拉姆矩阵的证明完全类同，此略。 2. 秩判据 设 和 是 阶连续可微的，则线性时变系统(3.34)在 时刻为完全能控的一个充分条件是，存在一个有限时刻 ，使 (3.36) 成立。

其中 (3.37)

证 分四步来证明。 (1) 考虑到 ，且定义 设 为系统(3.34)的基本解阵，注意到 ， 由 ，得 考虑

则有 一般的有 (3.38)

于是 (3.39) 由于 为非奇异，故由式(3.39)和式(3.36)可导出 (3.40)

(2) 证明对 在 上线性无关。采用反证法。已知(3.40)成立，反设 行线性无关，则存在 的非零常值向量 ，对所有 和 ，有 成立。则

这意味着 对所有 为线性相关。显然，这与(3.40)相矛盾。所以，反设不成立。这就证明 了对所有的 为行线性无关。

(3) 由 行线性无关， ，证明 为非奇异。采用反证法，反设 为奇异，于是存在一个非零常值向量 ，使 成立，即 (3.41) 考虑到式(3.41)中的被积函数为连续函数，且对所有的 是非负的。因此，要式(3.41)成立，必须使 (3.42)

而这是和已知 行线性无关相矛盾的。这表明，反设不成立。因此， 为非奇异。 (4) 由 为非奇异， ，利用格拉姆矩阵判据，就可证明系统(3.34)在 时刻为完全能控。至此证毕。

例 3.5 判别下列时变系统的能控性。 解 通过计算，求出

因为 对 的秩为3，所以系统在时刻 是完全能控的 输出能控性 如果系统需要控制的是输出量，而不是状态，则需研究系统的输出能控性。 定义3.5 在有限时间间隔 内，存在无约束分段连续控制函数 ，能使任意初始输出 转移到任意最终输出 ，则此系统是输出完全能控，简称输出能控。

输出能控性判据 线性定常系统状态方程和输出方程为 (3.42) (3.43) 式中， 为 维输入向量， 为 维输出向量， 为 维状态向量。状态方程(3.42)的解为

则输出为 (3.44) 不失一般性地令 ，于是

令 则

令 (3.45) 式(3.45)为输出能控性矩阵，是 维矩阵。输出能控性的充分必要条件是输出能控性矩阵的秩为输出变量的维数 ，即 (3.46) 应当指出，状态能控性与输出能控性是两个概念，其间没有什么必然的联系。

例 3.6 判断下列系统的状态能控性和输出能控性： 解 状态能控性矩阵为：

因 ，故状态不完全能控 输出能控性矩阵为 显然， ，故输出能控。

3.2 线性连续时间系统的能观测性 在线性系统理论中，能观测性与能控性是对偶的概念。系统能观测性是研究由系统的输出估计状态的可能性。本节主要介绍线性定常系统和线性时变系统的能观测性判别的一些常用判据。为简单起见，在讨论能观测性问题时通常总是假设 ，由于能观测性的论证和上节能控性的讨论相类同，所以本节对能观测性判据的论述尽可能简化。

能观测性定义 设系统的状态方程和输出方程为： （3.46） 其中， 分别为 维的满足状态方程解的存在唯一性条件的时变矩阵。式（3.46）状态方程的解为

（3.47） 其中 为系统的状态转移矩阵。将式（3.47）代入式（3.45）的输出方程，可得输出响应为： （3.48） 在研究能观测性问题中，输出 假定为已知，设输入 ，只有初始状态 看作是未知的。因此，式（3.46）成为

（3.49） 显然，式（3.48）成为 （3.50） 以后研究能观测性问题，都基于式（3.49）和式（3.50） ，这样更为简便。

定义3.6 对于系统（3.49），如果取初始时刻 ，存在一个有限时刻 ，如果在时间区 内，对于所有 ，系统的输出 能唯一确定状态向量的初值 ，则称系统在 内是完全能观测的，简称能观测。如果对一切 ，系统都是能观测的，称系统在 内完全能观测。

定义3.7 对于系统（3.49），如果在时间区 内，对于所有 ，系统的输出 不能唯一确定所有状态的初值 ，（至少有一个状态不能被 确定），则称系统在时间区间 内是不完全能观测的，简称不能观测。

线性定常系统的能观测性判据 设 ，系统的状态方程和输出方程为： （3.51） 其中， 为 维状态向量， 为 维输出向量， 和 分别为 和 的常值矩阵。

1.格拉姆矩阵判据 线性定常系统（3.51）为完全能观测的充分必要条件是，存在有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵 （3.52） 为非奇异。 证 充分性：已知 非奇异，欲证系统为完全能观测。 由式（3.51）可得

（3.53） 在式（3.23）两边左乘 ，然后从0到 积分得 （3.54） 已知 非奇异，即 存在，故由式（3.54）得 这表明，在 非奇异的条件下，总可以根据 上的输出 ，唯一地确定非零初始状态 。因此，系统为完全能观测，充分性得证。

必要性：系统完全能观测，欲证 非奇异。 采用反证法。反设 奇异，假设存在某个非零 ，使 成立，这意味着

显然， 为状态空间中的不能观测状态。这和已知系统完全能观测相矛盾，所以反设不成立，必要性得证。至此证毕。 2.秩判据 线性定常系统为完全能观测的充分必要条件是

或 （3.55） 式中两种形式的矩阵均称为系统能观测性判别阵，简称能观测性阵。 证 证明方法与能控性秩判据完全类同，具体证明过程在此不再重复。这里仅从式（3.53）出发，进一步论述秩判据的充分必要条件。

由式（3.53），利用 的级数展开式，可得 （3.56）

式（3.56）中， 为 阶单位矩阵，已知 的 列线性无关，于是根据测得 的可唯一确定 的充要条件是 这就是式（3.55）。

例3.7 判断下列两个系统的能观测性。 （1） （2） 解 计算能观测性矩阵的秩：

（1） 由计算可知 ，故系统不能观测。 （2） 显然 ，故系统能观测。

3.PBH秩判据 线性定常系统（3.51）为完全能观测的充分必要条件是，对矩阵 的所有特征值 ，均成立 （3.57） 或等价地表示为 （3.58） 也即 和 是右互质的。

4.PBH特征向量判据 线性定常系统（3.51）为完全能观测的充分必要条件是： 没有与 的所有行相交的非零右特征向量。即 对的任一特征值 ，使同时满足 （3.59） 的特征向量 。

5.约当规范型判据 线性定常系统（3.51）为完全能观测的充分必要条件分两种情况。 第一种情况：当矩阵 的特征值 为两两相异时，由式线性变换导出的对角线规范型为： （3.60）

式（3.60）中， 不包含元素全为零的列。 第二种情况：当矩阵 的特征值为 且 时，对式（3.51）进行线性变换导出的约当规范型为 （3.61）

其中 （3.62）

（3.63）

（3.64）

并有 。由 的第一列所组成的矩阵 （3.65） 则系统（3.51）为完全能观测的充分必要条件是，在式（3.61）中，对于所有 矩阵， 均为列线性无关。

例3.8 已知线性定常系统的对角型规范型如下，试判定系统的能观测性。 解 显见，此规范型 不包含元素全为零的列，所以系统为完全能观测。

例3.9 已知系统约当规范型如下，试判断系统的能观测性。

解 按照判据法则，容易定出以下矩阵

显然，它们都是列线性无关， 的元素不全为零，因此系统为完全能观测。 能观测性指数 考虑完全能观的线性定常系统（3.51），其中 和 分别是 和 的常值矩阵。 定义3.8 设 （3.66）

为 常值矩阵，其中 为正整数。当 时， 即为能观测性矩阵 ，且 。依次将 由1增加到 ，使 。则称这个使 成立的的最小正整数为系统的能观测性指数。 设 ，则估计能观测性指数 的一个关系式为 （3.67）

设 为矩阵 的最小多项式的次数，且有 ，则能观测性指数 的估计不等式还可表示为 （3.68） 此外，由式（3.67）可知，当 ，即系统为单输出时，必有 ，若 ，考虑 的上界，则系统为能观测的充分必要条件可简化为： （3.69）

线性时变系统的能观测性判据 线性时变系统的状态方程和输出方程为 （3.70） 其中， 为时间定义区间， 和 分别为 和 时变矩阵。下面直接给出线性时变系统的能观测性判据。

1.格拉姆矩阵判据 线性时变系统在 时刻为完全能观测的充分必要条件是，存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵 （3.71） 为非奇异，其中 为系统（3.70）的状态转移矩阵。

2.秩判据 设 和 是 阶连续可微的，则线性时变系统（3.70）在 时刻为完全能观测的一个充分条件是，存在一个有限时刻 ，使 （3.71） 成立。

其中 （3.72）

3.3 线性离散时间系统的能控性和能观测性 能控性和能达性 线性时变离散系统 （3.73） 其中， 为离散时间定义区间。如果对初始时刻 和状态空间中的所有非零状态 ，都存在时刻 和对应的控制 ，使得 ，则称系统在 时刻为完全能控。

对应地，如果对初始时刻 ，和初始状态 ，存在时刻 ，和相应的控制 ，使 可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻 为完全能达。 对于离散时间系统，不管是时变的还是定常的，其能控性和能达性只是在一定的条件下才是等价的。下面讨论能控性和能达性等价的条件。

1.线性离散时间系统（3.73）的能控性和能达性为等价的充分必要条件，是系统矩阵 对所有 为非奇异。 按能控性定义，存在 在有限的时间内，将非零初始状态 转移到 ，所以下式成立。 （3.74） 由此，可导出 （3.75）

再由能达性定义，存在 在有限的时间内，将零初始状态 ，转移到任意状态 。所以下式成立。 （3.76） 若将式（3.75）和式（3.76）中的控制 取为相同的，则由此可得 （3.77） 注意到状态转移矩阵 （3.78）

再将式（3.78）代入式（3.77），可导出 （3.79） 这表明，当且仅当 对所有 为非奇异时，对任一能控的 必对应于唯一的能达状态 ，而对任一能达的 也必对应于唯一的能控状态 ， 即系统的能控和能达等价。

2.线性定常离散时间系统 （3.80） 其能控性和能达性等价的充分必要条件是系统矩阵 为非奇异的。 3.如果离散时间系统（3.73）和（3.80）是相应连续时间系统的时间离散化模型，则其能控性和能达性必是等价的。

考虑到此种情况下有 和 其中， 为连续时间系统的状态转移矩阵， 为采样周期。已知 和 必为非奇异，从而 和 必为非奇异。于是系统能控性和能达性等价。

能控性判据 离散时间系统的能控性判据与连续时间系统的能控性判据相类同。下面，不作证明，直接给出判据。 1.时变离散系统的格拉姆矩阵判据 线性时变离散系统（3.73）在时刻 ，为完全能控的充分必要条件是，存在有限时间 ，使如下定义的格拉姆矩阵（3.81） 为非奇异。

2.定常离散系统的秩判据 线性定常离散系统（3.80）为完全能控的充分必要条件是 （3.82） 其中 为系统的维数。 对于单输入定常离散系统 （3.83） 其中， 为 维状态向量， 为标量输入，假定 为非奇异。则当系统为完全能控时，可构造如下的控制

（3.84） 能在 步内将 任意状态转移到状态空间的原点。

能观测性及其判据 设时变离散系统为 （3.85） 若对初始时刻 的任一非零初态 ，都存在有限时刻 ，且可由 上的输出 唯一地确定 ，则称系统在时刻 是完全能观测的。

1.时变离散系统的格拉姆矩阵判据 线性时变离散系统（3.85）在时刻 ，为完全能观测的充分必要条件是，存在有限时刻 。使如下定义的格拉姆矩 （3.86） 为非奇异。

2.定常离散系统的秩判据 线性定常离散系统 （3.87） 为完全能观测的充分必要条件是 (3.88）

或 （3.89） 对于单输出定常离散系统 （3.90） 其中， 为 维状态向量， 为标量输出。则当系统为完全能观测时，可只利用n步内的输出值 构造出任意的非零初始状态 。

（3.91） 以上有关能观测性判据的结论，都可利用能控性和能观测性之间的对偶关系导出。对偶原理将在下节讨论。 连续系统时间离散化后保持能控和能观测的条件限于讨论定常的情况，设连续时间系统为 （3.92）

以下为采样周期的时间离散化系统为 （3.93） 其中， 。于是有下列结论： 设 为A的全部特征值，且当 时有 。 则时间离散化系统（3.93）保持能控和能观测的一个充分条件是采样周期T的数值，对一切满足 （3.94）

的特征值，下式应成立。 （3.95）

3.4 对偶原理 线性系统的能控性和能观测性之间，存在着一种对偶关系。这种内在的对偶关系反映了系统的控制问题和估计问题的对偶性。 3.4 对偶原理 线性系统的能控性和能观测性之间，存在着一种对偶关系。这种内在的对偶关系反映了系统的控制问题和估计问题的对偶性。 对偶系统 已知线性时变系统 （3.96） 其中， 为 维状态列向量， 为 维输入列向量， 为 维输出列向量。

现构造如下的线性时变系统 （3.97） 其中， 为 维状态列向量， 为 维输入列向量， 为 维输出列向量。则定义系统（3.97）为系统（3.96）的对偶系统。这两个对偶系统的方块图如图3.3所示。

线性系统（3.96）和其对偶系统（3.97）的状态转移矩阵有下列关系： (1).系统（3.96）的状态转移矩阵为 ，有 （3.98） 对偶系统（3.97）的状态转移矩阵为 ，有 （3.99） 则必有关系式 （3.100）

式（3.100）可以推导如下。因为 （3.101） 对式（3.101）两边求导 （3.102）

由式（3.102）可直接得到 （3.103） 将式（3.103）两边转置，得 （3.104） 将式（3.104）与式（3.99）比较可知，式（3.100）成立。 (2).系统（3.96）的运动是状态点在状态空间中，由至 正时向转移。而对偶系统（3.97）的运动是协状态点在状态空间中，由 至 反时向转移。

对偶性原理 线性系统（3. 96）的完全能控等同于对偶系统（3. 97）的完全能观测；线性系统（3. 96）的完全能观测等同于对偶系统（3 对偶性原理 线性系统（3.96）的完全能控等同于对偶系统（3.97）的完全能观测；线性系统（3.96）的完全能观测等同于对偶系统（3.97）的完全能控。这称为对偶性原理。 设系统（3.96）在时刻 为完全能控，则意味这存在有限时刻 有

（3.105） 式（3.105）表明，对偶系统（3.97）完全能观测。同样有 （3.106）

式（3.106）表明了系统（3.96）的完全能观测等同于其对偶系统（3.97）的完全能控。 同样，对于线性定常系统 （3.107） 其对偶系统为 （3.108） 式（3.107）和式（3.108）中符号的意义及维数分别与式（3.96）和式（3.97）相类同。

显然，系统（3.107）的能控性矩阵为： 与对偶系统（3.108）的可观测性矩阵为： 是完全相同的； 系统（3.107）的能观测性矩阵 与对偶系统（3.108）的可控性矩阵

是完全相同的。 对偶原理对离散系统同样适用。 对偶原理的意义，不仅在于提供了由一种结构特性（如能控性或能观测性）的判据，来导出另一种结构特性（能观测性或能控性）判据的方法。而且还在于建立了系统的控制问题和估计问题之间的对应关系。因此，对偶原理具有重要的理论意义和实际的应用价值。

3.5 能控性、能观测性与传递函数（矩阵）的关系 描述系统内部结构特性的能控性和能观测性，与描述系统外部特性的传递函数（矩阵）之间，是必然存在内在关系的，揭示这种内在关系，可用来判断系统的能控性和能观测性。这是一种在s域内的判据。 前面已述，线性系统总可以通过线性变换化为约当规范型。为了简便起见，下面给出的系统都是约当规范型。

一、单输入-单输出系统 设系统方程为： （3.109） 第一种情况：A阵无重特征值。式（3.109）中的A、b、c表示如下：

A阵中 是两两相异的。则系统的传递函数 ： （3.110） 根据前面的系统能控性和能观测性约当规范型判据可知： 当 时， 必能控而不能观测； 当 时， 必能观测而不能控； 当 时， 既不能控又不能观测。

以上三种情况都使 ，此时传递函数中必存在零极点对消的现象。由状态方程表示出的n阶系统，但其传递函数的分母阶次却小于n。故当由动态方程导出的传递函数存在零极点对消时，该系统或是能控不能观测、或是能观测不能控不能观测，三者必居其一，当由可约的传递函数列写其实现方式时，也可列出以上三种类型的动态方程，视状态变量的选择而定。 当时 ， 既能控又能观测。这时由动态方程导出的传递函数，不存在零极点对消现象。

第二种情况：A阵具有重特征值。式（3.109）中的A、b、c表示如下：

上式表示，A有n个特征值，其中 为 重根，而且 ，。这里假设A有l个约当块，且每个特征值分布在一个约当块内。因此，系统传递函数为： （3.111） 根据系统能控性和能观测性的约当规范型判据可知： 当 时，系统不能控； 当 时，系统不能观测； 当 时，系统既不能控也不能观测。

显然，上述情况造成式（3.111）中， 此时传递函数中必存在零极点对消的现象。 综合上述两种情况的分析，对单输入-单输出系统的能控性和能观测性的判据，结论如下： 单输入-单输出线性定常系统能控和能观测的充分必要条件是：系统传递函数没有零极点对消，或传递函数不可约，或传递函数的极点等于矩阵A的特征值。

例3.10 已知下列动态方程，试用系统传递函数判断系统的能控性和能观测性。

解 三个系统的传递函数均为： 存在零极点的对消现象。 (1) 对为能控规范型，故能控，则不能观测。 (2) 对为能观测规范型，故能观测，则不能控。 (3) 因 阵为对角化矩阵，由输入和输出矩阵可判断系 统不能控、不能观测。

二、多输入-多输出系统 对于多输入-多输出系统，利用其传递函数矩阵的特征来判断系统的能控性和观测性，要比单输入-单输出系统复杂得多。因为多输入-多输出系统传递矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不能控或不能观测的。下面，从两个角度来研究利用传递函数矩阵来判断系统的能控性和能观测性，即利用传递矩阵中的行或列向量的线性相关性来作判据，和利用传递矩阵零极点对消来作判据。

设线性定常系统的动态方程为 (3.112) 其中， 分别为 的常值矩阵。系统(3.112)的传递函数矩阵为 (3.113) 的各元素一般是S的多项式。

首先讨论利用传递函数矩阵中的行或列向量的相关性，对系统的能控性或能观测性进行判断，有如下判据： (1).多输入系统能控的充分必要条件是： 的 行线性无关 证 必要性：已知系统完全能控。欲证 的 行线性无关。系统输入向量与状态向量间的传递函数矩阵为

由于， 故 ，于是有： (3.114) 展开式(3.114)的左边 (3.115)

式中 为 单位矩阵， 为 矩阵，其行与列均线性无关。已知系统完全能控，其能控性矩阵 必 行线性无关，则 行线性无关。必要性得证。 充分性：采用反证法。已知 的 行线性无关，反设系统不完全能控，则能控性矩阵 的秩小于 ，即

由式可知，这就使 线性无关的行数小于 ，这与已知条件相反。所以，反设不成立，充分性得证。证毕。 (2) 多输出系统能观测的充分必要条件是： 的 列线性无关。 证 必要性：已知系统完全能观测，欲证 的 列线性无关。由系统的动态方程可得： (3.116)

式(3.116)表明， 是初始状态向量与输出向量的传递函数矩阵。于是有： (3.117) 展开式(3.117)的右端 (3.118)

式中 为 单位矩阵， 为 矩阵，其行与列均线性无关。已知系统完全能观测，其能观测性矩阵 必 列线性无关，则的列线性无关。必要性得证。 充分性：采用反证法。已知 的 列线性无关，反设系统不完全能观测，则能观测性矩阵的秩小于 即

由式(3.118)可知，这就使 线性无关的列数小于 显然，这与已知条件相反。所以反设不成立，充分性得证。证毕。 例3.11 判断下列系统的能控性和能观测性。

解 这是双输入-双输出系统。先计算 ， 故 (3.119)

为判断三行线性相关性，解下列方程： (3.120) 将上式分为两个方程： 解得：

利用两式同次项系数对应相等的条件，解到 故只有 时，才能满足式(3.120)。因此，式(3.119)三行线性无关，故系统完全能控。 (3.121) 为判断三列线性相关性，解下列方程：

(3.122) 即得： 解得： 故式中三列线性无关，系统完全可观测。 此例并未涉及到传递函数矩阵是否存在零极点对消现象。

下面讨论利用系统传递函数矩阵是否存在零极点对消现象来判断系统的能控性和能观测性的问题。 1. 多输入多输出线性定常系统(3.112)能控且能观测的充分条件是：系统传递函数矩阵 的分母 与分子 之间，没有零极点对消。 证 充分性：采用反证法已知 与 无零极点对消，反设系统不能控或不能观测，则能控性或能观测性矩阵的秩为 。即

或 必存在一个 维的等价系统 是能控且能观测的，根据等价系统必有相同的传递函数矩阵的原理，即 (3.123)

但这里 是 次多项式，式(3.123)若要成立，必然有 与 发生零极点相消，这与已知条件相反，所以反设不成立。充分性得证。 例3.12 设线性定常系统为 试问：能否直接从系统传递函数矩阵来判断能控性和能观测性？

解 先计算系统的传递函数矩阵 从计算过程可知： 有零极点相消。 再求能控性和能观测性矩阵的秩：

由秩判断可知，该系统是完全能控、完全能观测的。但 有零极点相消。这说明，系统 有零极点对消并不能判断系统的能控性和能观测性。 2. 若将式(3.112)的分母用A的最小多项式 表示，设 为 的首1最大公因式，则 的分子分母分别用下式表示

于是 (3.124) 由式(3.124)得到以下结论： 多输入多输出线性定常系统(3.112)能控且能观测的必要条件是：系统传递函数矩阵的分子 与 分母之间无非常数公因式，即无零极点相消。

例3.13 设线性定常系统为 A的最小多项式为 ，而

虽然 与 无公因式，但用能控性矩阵秩判据可以验证系统是不能控的。 由此例可见， 的分母为最小多项式 ，并与分子 之间无公因式，不是判断能控性和能观测性的充分条件。

定义3.9 正则有理矩阵 的所有不恒为零的子式，当化成不可约简形式后的首1最小公分母定义为 的极点多项式 。极点多项式的次数定义为 的次数，记为 。 的根称为 的极点。 设 的秩为r，当 的所有不恒为零r阶子式的分母取为极点多项式时，其诸分子的首1最大公因子称为 的零点多项式 ， 的根称为 的零点。

例3.14 考虑有理函数矩阵：

(1) 的一阶子式为 二阶子 式恒为0。因此， 的极点多项式是 。不存在零点。 (2) 的一阶子式为 一个二阶子式为 。因此， 的极点多项式是 , 。二阶子式分母已化为极点多项式，但分子不含非常数公因子，故不存在零点。

(3) 的一阶子式是其各元素，二阶子式有三个： 因此， 的极点多项式为 ，且 。当二阶子式分母化为极点多项式后，其分子不存在非常数公因子，故不存在零点。

必须注意，在计算有理矩阵的极点多项式时，必须将每个子式简化成不可简约形式，计算零点多项式时必须将所有r阶子式的分母化为极点多项式，否则将会得到错误的结果。利用有理矩阵的极点多项式 及其次数 和零点多项式 的概念，就能将单输入单输出传递函数的相应结果推广到多输入-多输出系统传递函数矩阵。

例3.15 系统动态方程(3.112)中的 如下： 试判断此系统的能控性和能观测性。

解 列出传递函数矩阵 A的特征多项式 。 各阶子式的最小公分母为 ，即极点多项式 ， 。显然 ，所以系统能控且能观测。

3.6 能控规范型和能观测规范型 单输入-单输出情况 3.6 能控规范型和能观测规范型 单输入-单输出情况 对于完全能控或完全能观测的线性定常系统，如果从能控或能观测这个基本属性出发来构造一个非奇异的变换阵，可把系统的状态空间描述在这一线性变换下化成只有能控系统或能观测系统才具有的标准形式。通常，分别称标准形式的状态空间描述为能控规范型和能观测规范型。规范型可为系统综合提供有效形式。

本节先对单输入-单输出情况，讨论能控规范型和能观测规范型。 能控规范型 考虑完全能控的单输入-单输出线性定常系统 (3.125) 其中，A为 常数阵，b和c分别为 和 常数阵。由于系统为完全能控，所以 (3.126)

设A的特征多项式为 (3.127) 于是，在此基础上，可导出能控规范型定理。 能控规范型定理 设系统(3.1250能控，则可通过等价线性变换将其变换为能控规范型：

(3.128) 证： 因系统(3.125)能控，故向量组 线性无关，因此按下式定义的向量组

(3.129) 也线性无关，并可取为状态空间的基底。设等价变换阵 ，则 ，即

(3.130) (3.131) 由式(3.131)可知，当取 作为基底时， 可表为 的线性组合。 由式（3.129）得到

由式（3.132）进一步得到

或 (3.133) 利用凯莱-哈密尔顿定理 ，进一步得到 由式（3.133）和（3.134）可写出下列形式

或

将式（3.135）与式（3.130）比较得到 （3.136） 这时 或 ，即 而 故得

因 ，考虑式（3.129） 得

式（3.138）中 如下式所示 至此，完成了能控规范型定理的证明。

例3.16 将下列能控系统变换为能控规范型 解： （1）计算能控性矩阵

（2）计算A的特征多项式 （3）计算变换矩阵

（4）计算

（5）写出能控规范型如下：

能观测规范型 设系统（3.125）能观测，则 （3.140） 同能控规范型的分析相似，可导出能观测规范型定理。 能观测规范型定理 设（3.125）能观测，则可通过等价线形变换将其变换为能观测规范型：

（3.141） 证：将式（3.125）等价变换为式（3.141），需取变换阵为：

（3.142） 推证过程和能控规范型的推导过程相类似，故略。

例3.17 将下列能观测系统变换为能观测规范型 解：（1）计算能观测性矩阵

（2）计算A的特征多项式 （3）计算变化矩阵P。按照式（3.142）得

（4）计算 （5）写出能观测规范型：

讨论：对于上面所导出的能控规范型和能观测规范型，可进一步作如下的两点讨论： 规范型能以明显的形式反映特征多项式的系数 ，无论对综合系统的反馈和状态观测器还是对系统进行仿真研究，都是很方便的。 从规范型容易写出系统的传递函数。因为等价变换不改变系统的传递函数，故由规范型得到的传递函数就是原系统的传递函数。

如式（3.128）所示能控规范型的传递函数为 （3.143） 容易计算 （3.144）

故有 由此可见，只要得到系统（3.125）的规范型，便可直接写出系统的传递函数。

3.7 能控规范型和能观测规范型 多输入-多输出情况 3.7 能控规范型和能观测规范型 多输入-多输出情况 对于线性定常多变量系统的状态方程和输出方程 （3.146） 其中， 为 常阵， 和 分别为 和 常阵。其能控判别阵 和 能观判别阵为：

（3.147） 和 （3.148） 显然，当系统为能控时，必有 （3.149） （3.150）

也即 的 阵中，有仅有 个线性无关的列，在 的 阵中，有且仅有个线性无关的行。因此为了确定能控规范型和能观测规范型，首先要找出 和 的 个线性无关的列和行，然后从此来构成相应的变换阵。并且，随着选取的变换阵的不同，多输入-多输出情状下的能控规范型和能观测规范型可有多种形式，本节将只介绍应用最广的龙伯格（Luenberger）规范型。

搜索线性无关列（行）的两种方案 为了找出 或 的 个线性无关的列（行），通常可使用格栅图来进行，并有两种搜索方案。 方案1 [列搜索]: 对给定的 ，按图3.4所示构成格栅图，为简化表示，其中假定 和 。然后，先选定 ，并在表征乘积 的格内用“╳”表示之。此后，按列的方向进行搜索。如果 和 为线性无关，就在表征乘积 的格内记上“╳”；

如此对第一列继续搜索下去，直到发现一向量的 和先前此列中各向量 线性相关时为止，并在表征 如此对第一列继续搜索下去，直到发现一向量的 和先前此列中各向量 线性相关时为止，并在表征 的格中记以“○”。如果如上找到的线性无关的向量数 ，则继续对第二列搜索，类似地若 与 为线性无关，就取定且在相应格内记上“╳”；随后，在此列向下搜索，直到 和先前取定的所有向量为线性相关，并在其格内记以“○”。如此步骤重复进行下去，一直到第 列，并有 时搜索结束。

这样，此方案搜索得到的 中的 个线性无关的列向量，即为格栅图中用“╳”；表征的所对应的那个 向量 图3.4 列搜索方案的格栅图 （图中 ，）

图3.5 行搜索方案的格栅图 （图中 ，）

方案Ⅱ[行搜索]：同样对给定的 ，按图3.5所示构成格栅图，其中假定 和 。如果 ，那么 中有 个列是线性无关的。所以首先在第一行中从取起依次找到 个线性无关的向量，并在其对应格内记上“╳”。不失一般性，不妨设其为 的前 个列，即 然后，搜索转入第二行，按行由左向右进行判断，直到 ；其中，和先前取定的所有向量为线性无关的向量格内记上“╳”，反之则记上“○”。再按此步骤，去搜索以下的行，直到找到 个线性无关的向量为止。

应当指出，若某个格内已经记上“○”，那么在其所在列中以下的所有向量也必须和已选定的所有向量是线性相关的，所以不必再去判断这些向量，并将他们的格保留为空白。在搜索完成后，格栅图中以“╳”表之的格所对应的 个向量就是要找的 中的 个线性无关的列。而且，这时相对于格栅图中的列而言，用 表示第 列 中“╳”格的长度，那么就可以得到一个指数 ，显然它即为系统的能控性指数集。

以上的讨论是针对能控性矩阵 进行的。对于能观测矩阵 ，搜索其 个线性无关的行的方案和步骤与上述相类似，故在这里不再重复。 龙伯格能控规范型：假设系统（3.146）完全能控，所以它的能控性矩阵 满秩，写出 的各列有 （3.151）

为了把式（3. 146）化为规范型，需要重新选取状态空间的基底，而这组基可以从矩阵 的列向量中选取。前面所述的搜索法，就是从式（3 为了把式（3.146）化为规范型，需要重新选取状态空间的基底，而这组基可以从矩阵 的列向量中选取。前面所述的搜索法，就是从式（3.151）中选取 个线性无关的列向量，按此方法选定的 个线性无关的列向量，再重新排列如下： （3.152） 其中是 非负整数，且 。

它被称为系统的克罗尼柯（Kronecker）不变量，在坐标变化下，它总是不变的，令 （3.153） 如果以 表示式（3.153）所定义 的阵的第 行，然后构成变换矩阵 如下：

（3.154）

不难证明 阵是非奇异矩阵，通过引入线性非奇异变换 ，即可导出系统的龙伯格能控规范型为： （3.155） 其中 （3.156）

（3.157） （3.158）

（3.159） （无特殊形式） （3.160） 上述关系式中，用“ ”表示的元为可能非零元。

例3.18 已知系统（3.146），其中 求该系统的龙伯格能控规范型。

解 系统的能控性矩阵为 如果我们从 各列中由左向右选取线性无关的向量，它们是第1，2，3，5列，把它们的次序重新排列为 ，即 。令

于是 ，使得

经过计算可得规范性矩阵如下：

龙伯格能观测规范性 假设系统（3.146）完全能观测，其能观测性矩阵 满秩。设 ，则该系统的龙伯格能观测规范型在形式上对偶于龙伯格能控规范型，即有 (3.161) 其中 (3.162)

(3.163) (3.164)

(3.165) (3.166) 式（3.166）中， 是非奇异变换阵， 无特殊形式。上述关系中用“*”表示的元为可能的非零元。

3.8 线性系统的结构分解 对于不完全能控和不完全能观测的系统，可以通过结构分解，将系统划分为四部分：能控能观测、能控不能观测、不能控能观测及不能控不能观测。研究系统的结构分解，有助于深入了解系统的结构特性，也有助于深入揭示状态空间描述和输入—输出描述间的本质区别。下面主要研究线性定常系统的结构分解。

系统在线性非奇异变换下的能控性和能观测性 系统在线性非奇异变换下的能控性和能观测性 对系统进行结构分解是通过引入恰当的线性非奇异变换来实现的。因此，有必要首先研究系统在线性非奇异变换下的能控性和能观性是否会发生变化，结论如下： (1) 设 为对 进行线性非奇异变换所导出的结果，二者之间的关系为 (3.167)

其中，P为非奇异常值矩阵。则必成立 (3.168) (3.169) 其中， 和 为二者的能控性矩阵， 和 为两者的能观测性矩阵。 证 利用式（3.167），有 (3.170)

考虑到 和 ，故由此导出 (3.171) 又因 为非奇异，由式（3.170）可得 (3.172) 而由式（3.172）又可导出 (3.173) 于是，由式（3.171）和式（3.172）就可证得式（3.168）。同理，也可证得式（3.169）。

(2) 对线性时变系统 （时间定义区间）(3.174) (3.175) 作可微非奇异变换 (3.176) 其中 的元素是对 的绝对连续函数。且 对一切 均不降秩， 。则系统的格拉姆矩阵在变换后的秩不变，即

(3.177) 和 (3.178) 证 线性系统在变换后的动力学方程为 (3.179) (3.180)

其中 (3.181) 系统（3.132）的解为 (3.182) 利用式（3.176），即 。将式（3.182）代入式（3.176）可得

从而，由此得到 (3.183) 利用上述关系，进一步有

(3.184) 由 和 ，故可导出 (3.185) 又由式（3.184）得

便可导出 (3.186) 于是，由式（3.185）和式（3.186）即可证得式（3.177）。 同理，也可证得式（3.188）。证毕。 以上结论说明，对线性系统作线性非奇异变换，不改变系统的能控性和能观测性，也不改变其不完全能控和不完全能观测的程度。而正是这一点，线性系统完全可以通过线性非奇异变换，来实现系统的结构分解。

线性定常系统按能控性的结构分解 设不完全能控的多输入—多输出线性定常系统 (3.187) 其中，x为n维状态向量， 。在能控性辨别矩阵 (3.188) 中，任意的选k取个线性无关的列 。此外，又在n维实数空间中任意的选择 个列向量，记为 ，使它们和 为线性无关。

这样可组成变换矩阵 (3.189) 并且，此矩阵一定是非奇异的。在此基础上对系统结构按能控性进行分解，有以下结论： 对式（3.187）的不完全能控系统，进行线性非奇异变换 ，是系统结构按能控性分解的规范表达式为

即 (3.190) 其中， 为 维能控分状态向量， 为 维不能控分状态向量。而且 (3.191)

(3.192) 证 下面分三步来证明。 第一步证明式（3.190）成立。由于 ，则从的 列向量中选出 个线性独立的列向量 ， 中 的每个列向量可由 线性表示。令 为 张成的线性子空间，则 的列向量都属于 ， 。由于 的独立性，它们是 的一组基底，

就可以补充 个向量 ，使 是 的一组基底，令 如果把 表示成 ，则有

即 。这个 就是所需要的坐标变换。因为 而每个 ，说明存在 矩阵 ，使 ，那么

其中 再由于 的列向量也都属于 ，就存在 矩阵 ，使得 于是 又

设 则 以上证明了当 时，状态方程（3.190）成立。 第二步证明式（3.191）成立。由于 及

所以 第三步证明式（3.192）成立。由分块矩阵求逆公式可得

所以 则式（3.192）得证。

系统（3.190）是系统（3.187）的能控规范分解。在上述证明中已给出了线性变换阵P的具体构造方法。下面再对能控规范分解作几点讨论： （1）对于 维系统 由式（3.191）和式（3.192）可知。它是能控的，并且和 具有相同的传递函数矩阵。因此，如果是从传递特性的角度分析 时，可以等价地用分析来代替，而后者的维数降低了。

把 分成两部分，即 其中

可得到 (3.193) 当不能控状态的初值 时，有 (3.194)

系统 是能控子系统。当 时，由式（3.193）可得到的状态方程式是 (3.195) 显然，它和系统 的输入 无关，当然是不能控的，式（3.195）解得 ，然后在式（3.194）中增加一项相当于一个确定的输入项 。

这样对系统 的分析等价于两个低维系统的分析。系统的结构图如图3.6所示。 图3.6 能控性规范分解的方块图

（2）系统 称为系统 的能控规范分解。由于选取 及 非唯一性， 其规范形式不变，但诸系数阵不相同，故能控规范分解不是唯一的。设另一个能控规范分解系统为 ，这里 (3.196) 则 与 的阶数均为 。因为

（3）由 可知， 的稳定性完全由 的特征值 决定， 的稳定性完全由 的特征值 决定，

而 正是A的特征值。称 为系统 的能控因子或能控振型， 为不能控因子或不能控振型。但对于不同的分解，如 和 ，能控因子和不能控因子是相同的，这是由于线性变换不改变特征值的缘故。 （4）能控规范分解表达式（3.190）也为系统(3.187)能控性判别提供了一个准则：线性定常系统是完全能控的充分必要条件是，系统经过线性非奇异变换，不能化成式(3.148)的形状，

其中 的阶数 。按照上面所述的线性非奇异变换阵的选取方法，通过计算机进行线性变换的计算比较容易确定系统的能控性。对于维数较大的系统 的能控性判别，这是一种较好的方法。 例3.19 给定线性系统 其中

试按能控性分解为规范形式。 解：已知 ,故只需判断 是否为行满秩。现知

这表明系统不完全能控。在能控性矩阵 是取线性无关的列向量, 再任取 使构成的矩阵 为非奇异。通过求逆，可得

于是，即可算得

这样，就导出了系统能控性规范分解形式:

线性定常系统按能观测性的结构分解 系统按能观测性的结构分解的所有结论，都对偶于系统按能控性的结构分解的结果。给定不完全能控的线性定常系统 (3.197) 其中，x为n维状态向量，y为q维输出向量，系统的能观测性判别阵为

。在 中任意选取 个线性无关的行 此外再任取 个与之线性无关的行向量 就构成线性非奇异变换阵 (3.198)

对式(3.197)的不完全能观测系统，进行线性非奇异变换 可得系统结构按能观测性分解的规范表达式为 (3.199) 其中 (3.200)

式(3.200)中， 为 维能观测分状态向量， 为 维能观测分状态向量。并且， (3.201) (3.202)

同样，与能控规范分解相类似，称系统 为系统 的能观测规范分解，系统 为能观测子系统。能观测规范分解也有能观测规范分解相类同的分析和结论。 能观测规范分解的线性变换阵的求法，除了按式（3.198）选取以外，还可选取使下式成立

这里 是 矩阵，则可把 取为线性变换阵。 如果把 分成两部分，即 ，则有 (3.203) 系统（3.203）的结构方块图如图3.7所示。

图3.7 能观测性规范分解的方块图

由 (3.204) (3.205) 式（3.204）和式（3.205）中的*表示没有必要列写出来的部分。对初始状态

系统的输出为 表明系统输出就是能观测子 系统在相同的输入 和初始状态 条件下的输出。

这说明，只要输入能观测初始状态相同，，和就具有相同的输出，与不能观测状态初值是否为零无关。这个性质比具有相同的传递特性更进一步。两个传递特性相同的系统，只有当初始状态都是零时，在相同的输入下才有相同的输出，而初始状态不为零时输出就可能不同。但是，能观测子系统具有的这个性质，能控子系统却并不成立，它与不能控状态初值是否为零有关，这从式（3.193）可以很容易看出。

例3.20 给定线性定常系统 其中 试求能观测规范分解表达式。

解 计算能观测性判别阵的秩得 知系统不完全能观测。将阵通过线性转换，得到

显然， 。取 的前两行，再加上与这两行线性无关的任意两行，构造成线性变换矩阵 ，并进而得到 。

这表明 所构造的阵可作为线性变换阵，则

也可以用选取 的线性独立行向量的方法来取得线性变换阵，比如，取它的第一、二两行，再配上两行 ，如此得到的可逆方 阵就是线性变换阵

相应的分解为 显然， 的能观测子系统是不能控的。此外，能观测因子是1，-1；不能观测因子是-1，2。

从这个例子看到，能观测子系统有可能不能控。当然，能控子系统也有可能不能观测。 线性定常系统结构的规范分解 对于不完全能控和不完全能观测的线性定常系统 (3.206) 通过线性非奇异变换可实现系统结构的规范分解，其规范分解的表达式为：

(3.207)

其中， 为能控且能观测分状态， 为能控且不能观测分状态， 为不能控且能观测分状态， 为不能控且不能观测分状态。 对不完全能控又不完全能观测的线性定常系统（3.206），其输入-输出描述即传递函数矩阵只能反映系统中能控且能观测的那一部分，即

这表明，一般输入-输出描述即传递函数矩阵只是对系统结构的一种不完全描述，只有对完全能控且完全能观测的系统（不可简约系统），输入-输出描述才足以表征系统的结构，即描述是完全的。 线性时变系统的结构分解 对于不完全能控和不完全能观测的线性时变系统，通过引入适当的可微的非奇异线性变换，同样可将系统的结构按能控性、或能观测性、或同时按两者进行分解，而导出结构分解的规范表达式。

各表达式在形式上类同于对线性定常系统分解所得到的表达式（3. 190）、（3. 199）、（3 各表达式在形式上类同于对线性定常系统分解所得到的表达式（3.190）、（3.199）、（3.208），其差别仅在于表达式中的分块系统阵为时变矩阵。此外，对变换矩阵的构造和变换中的计算过程，也远比定常情况更为复杂。 例3.21 设有如下的不能控且不能观测的定常系统

将系统按能控性或能观测性分解为规范型。然后，再按能控性、能观测性对系统进行结构分解。 解 （1）系统按能控性分解 首先确定系统能控状态的维数 系统不能控，其能控维数为2。

确定系统变换为能控规范型的变换阵 其中， 是任取的且与 线性无关的列向量。则

由变换阵 确定的能控规范型为 故有

显见，能控子系统 确为能控规范型。

（2）系统按能观测性分解 确定系统的维数 系统不能观测，其观测状态的维数为2. 确定系统变换为能观测规范型的变换阵

其中， 为任取的且与 线性无关的行向量。求得

由变换阵 确定的能观测规范型为 故有

可见，能观测子系统 确为能观测规范型。

（3）系统按能控性、能观测性分解 在上述系统按能控性分解的规范型中，能控子系统的能观测性矩阵为 所以能控子系统是不完全能观测的，按能观测性分解，其变换阵应为

而一维不能控子系统。显然是能观测的，可令其变换阵 , 和 构成分块对角阵

故得按能控性、能观测性分解的结果为 式中 ，其中 为能控且能观测的状态； 为能控但不能观测的状态； 为能观测但不能控的状态。