§8.2.3 区间估计 区间估计的具体做法是，构造两个统计量 及 且 ，用区间 来估计未知参数 的可能取值范围，要求 落在区间 的概率尽可能的大。通常，我们事先给定一个很小的数 按概率 估计总体参数 可能落入区间 的概率。 称为置信度或置信水平, 称为检验水平(估计不成功的概率),区间 称为置信度为 的置信区间。

一、正态总体数学期望的区间估计 1．标准差 已知时，均值 的区间估计 对于正态分布总体（对其他分布的总体，当容量 1．标准差 已知时，均值 的区间估计 对于正态分布总体（对其他分布的总体，当容量 30时，可近似看成正态分布）如果已知总体标准差为 ，样本均值为 ，则在置信度 下总体均值 的置信区间为 （8.16） 其中： 为样本容量， 为标准正态分布的双侧 分位点，即

在置信区间中， 为点估计值。置信区间实际上是以 为中心，以 为半径的区间。我们将 称为边际误差。

案例8. 3 CJW公司是一家专营体育设备和器材的邮购公司. 为了跟踪服务质量,CJW每个月选取100位顾客的邮购订单组成简单随机样本 案例8.3 CJW公司是一家专营体育设备和器材的邮购公司.为了跟踪服务质量,CJW每个月选取100位顾客的邮购订单组成简单随机样本.每位顾客对公司的服务水平在0(最差等级)到100(最好等级)间打分,然后计算样本平均值. 根据以往的资料显示,每个月顾客满意得分的平均值都在变动,但满意得分的样本标准差趋于稳定的数值20附近.所以我们假定总体标准差为20.又最近一次顾客对CJW满意程度的平均值为82.试求置信度为95%的总体均值的置信区间。

解： 样本容量大于30，近似按正态分布处理。总体方差 ，样本均值 。置信度为 ，则 。通过查正态分布表得 ，代入公式（10.1）得置信度为95%时，顾客满意度的边际误差为 ，所以置信区间为 即 。即有95%的把握认为顾客的满意分数落在区间 内。

案例8.4 在一批包装商品中，抽取100个小包装袋，已知样本的质量平均数是21克，总体标准差为6克，在置信度为95%的要求下，计算置信区间。 解： 计算平均误差： 置信区间的上限是： 置信区间的下限是： 即这批小包装的质量平均在22.18至19.82之间，可信度为95 %。

2．标准差 未知时，均值 的区间估计 对于正态分布总体（对其它分布的总体，当样本容量 30时，可近似看成正态分布）如果已知样 本均值为 ，但总体标准差 为未知，则总体均值 在置信度 下的置信区间为 （8.17） 其中， 为自由度为 的 分布的双 侧 分位点， 为样本容量， 为样本标准差即 。

（8.17）式说明，总体标准差 为未知时，总体均值的置信区间为以 为中心，以 为边际误差的区间。

案例8. 5 斯切尔公司对培训企业维修工的计算机辅助程序感兴趣 案例8.5 斯切尔公司对培训企业维修工的计算机辅助程序感兴趣.为了了解这种计算机辅助程序能缩短多少培训时间,需要评估这种程序在95%置信水平下培训时间平均值的置信区间。已知培训时间总体是正态分布，管理者对15名维修工进行了测试，所得培训时间如表8-2所示，试估计95%置信水平下总体均值的置信区间。 返回案例8.10 表8-2 15名维修工的培训天数 维修工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 培训天数 52 44 55 45 59 50 54 62 46 58 60 63

已知总体是正态分布，但总体方差 未知，应用（8.17）式进行计算，首先计算样本均值和样本方差. 解： 已知总体是正态分布，但总体方差 未知，应用（8.17）式进行计算，首先计算样本均值和样本方差. 置信水平为95%，则 ,自由度为 , 查表得 所以边际误差 ：

因而由（8.17）式在应用辅助程序后该公司培训维修工时间在95%置信度下的置信区间为 即：

案例8.6 表8-3列出了选取36名投保人组成的简单随机样本的年龄数据。在90%置信水平下，求总体年龄均值的置信区间。 表8-3 投保人样本的年龄

解： 总体分布未知，但样本量为 ，大于30。近似看成正态分布处理。由于总体的方差未知，所以应用(8.17)式来求总体的置信区间 从表8-3中通过计算可得，样本均值为39.5岁，这是总体均值的点估计。 另可算得样本标准差 : 在置信度为90%时:

所以在90%的置信度下，总体年龄均值的置信区间为， 即：

案例8.7 《纽约时报1988年年鉴》公布了各行业每人每周的平均工作收入。在服务行业，假如由36名服务业人士组成的样本的个人周收入均值为369美元，样本标准差为50美元。计算服务业人士周收入总体均值的95%置信区间。 解： 总体分布未知，样本容量 ，可近似为正态分布抽样。由于总体方差未知，应用（8.17）式处理。 置信度为95%， ， 自由度

所以服务业人士总体均值的95%置信区间为 即（352.0825，385.9175）.

二、正态总体方差的区间估计 对于未知方差的正态分布总体，因统计量 所以对给定的置信度 ，由 分布有 成立，即有 成立。

故 的 置信区间为 而均方差 的 置信区间为

案例8.8 计算案例8.7中服务业人士总体标准差的95%置信区间。 解： 由案例8.7已知样本容量 ，样本标准差 ，置信度 ，查表得 将以上数据代入(8.19)式得总体标准差的95%置信区间为(44.5542,65.2225).

三、总体比率的区间估计（大样本） 引例8.3在案例8.5中，我们对斯切尔公司职工培训时间的均值进行了区间估计。为了从多角度评估该项目，需进一步对培训质量进行评估，对45人的样本进行了测试， 结果有36人通过了考核。本次测试的通过率为80%。但再进行测试时，通过率可能就不一定正好是80%，可能是其它的数据。那么总体通过测试的比率该在什么范围内呢？ 我们可以通过样本比率 在一定置信度下确定总体比率 的置信区间。

可以证明，样本比率 是总体比率 的无偏估计，并且在大样本（样本容量>=30）的情形下 的分布近似服从正态分布。在置信水平 下，用样本比率 估计总体比率 产生的边际误差为: 所以总体比率的置信区间为 其中 为标准正态分布的双侧 分位点。

案例8.9 接着讨论引例8.3中斯切尔公司的培训质量，已知45培训维修工中有36人通过了考试。在95%的置信水平下求总体培训合格比率的置信区间。 解： 由于样本容量 ，近似将抽样分布看成正态分布，样本比率 . 置信水平为0.95，所以 ， 由（8.20）式，总体培训合格率的置信区间为 ，即（0.68,0.92）

四、正态总体在对均值的区间估计中所需的样本容量 在对方差已知的正态分布总体均值进行区间估计时，边际误差为 两个未知变量 和样本容量 共同确定了边际误差。一旦确定了置信水平 ，也就确定了 。此时影响边际误差的唯一因素就是样本容量 。如果对边际误差水平（用 表示）有约定，则需要的样本容量 也就唯一确定了。 和样本容量 共同确定了边际误差。一旦确定了置信水平 ，也就确定了 。此时影响边际误差的唯一因素就是样本容量 。如果对边际误差水平（用 表示）有约定，则需要的样本容量 也就唯一确定了。

样本容量 的公式推导如下： 令 代表希望的边际误差 解出样本容量 的表达式 在给定的置信水平下，该样本容量满足所希望的边际误差。

案例8.10在案例8.5所述斯切尔公司的培训安排中，计划总体标准差为 。如果希望的边际误差为2天，置信度为95%，样本容量应该为多大？ 解： 由题意知 ： 则 。查表得 ， 代入（8.21）式有： 所以，应该抽取至少45个样本。

注意：公式(8.21)要求总体标准差 是已知的。当 未知时。通常用样本标准差 代替总体标准差。 案例8.11在《华尔街日报》的纽约股票交易所(New York Stock Exchange)版面上，给出了每支股票52周以来每股最高价、最低价、分红率、价格/ 收益(P/E)比率、日成交量、日最高价、日最低价、收盘价等信息。每支股票的P/E比率由公司最近四个季度公布的每股收益除价格得到。在一次大样本的抽查中，样本方差（the Wall Street Joural, 1998.3.19）。假定我们要求对纽约股票交易列示的所有股票P/E比率的总体均值进行估计，要求95%置信度下的边际误差，则样本容量应包含多少支股票？

解： 由于是大样本抽样，可将总体视为正态分布。总体标准差未知，用样本标准差代替，即 。置信度 则 ，通过查表得 ，代入（8.21）式有： 所以按要求，样本容量应包含26支股票。

五、正态总体在对总体比率的区间估计中所需的样本容量 现在考虑在给定边际误差时，应选用的多大的样本容量来估计总体比率。前面已知用样本比率 估计总体比率估计的边际误差 解得 （8.22） 其中， 是事先给定的边际误差。 为标准正态分布的双侧 分位点。

案例8.12 仍回到斯切尔公司的案例8.5中去，我们要对培训项目测验的总体比率进行估计。在测试中的45名维修工中有36名通过了测试,如果斯切尔公司的生产主管在95%置信水平和边际误差为0.10的条件下对总体比率进行区间估计。那么你建议抽取多少样本？

对总体比率评估的样本量的确定应用(8.22)式, 已知样本比率为 ,希望的边际误差为 ,置信度为95%,查表得 解： 由(8.22)式,样本容量： 样本量为整数,所以应取62个样本.

随堂练习 在95％置信度下未知总体方差时总体均值的置信区间为： 解： 1、某厂生产一种零件所需工时服从正态分布，现加工一批零件16个，平均用时为2.5小时，它们的标准差为0．12小时．计算在95％置信度下，总体均值的置信区间为多少；总体标准差的置信区间为多少？ 在95％置信度下未知总体方差时总体均值的置信区间为： 解：

总体标准差 的置信区间为：

2、设某地居民每户每月粮食平均需要量又服从正态分布，随机抽取10户，需要量(单位：公斤)为： 45，38，50．47，44，33，42，40，39，40， 已知该地有1500户居民．为保证至少有95％的把握能满足居民的需求，粮店每月最少应进多少粮食? 解： 设 则： 总体均值 的置信度0.95的置信区间为：

为保证至少有95％的把握能满足居民的需求，粮店每月最少应进45．3 1500＝67950公斤．

3、某厂生产一批金届材料，其抗弯强度服从正态分布．今从这 批金属材料中随机抽取11个试件，测得它们的抗弯强度为(单位：公斤)： 42．5， 42．7， 43．0， 42．3， 43．4， 44．5，44．0， 43．8， 44．1， 43．9， 43．7、 求：(1)平均抗弯强度 的置信度0.95的置信区间； (2)抗弯强度标准差 的置信度0.90的置信区间 解： （1）经计算 查表得： 平均抗弯强度 的置信度0.95的置信区间为：

（2） 正态分布总体的标准差的置信度 的置信区间为：