基本概念 適合度檢定 獨立性檢定 齊一性檢定 多項比例值之假設檢定 結論

11.1 基本概念(1/3) 卡方檢定主要是用於屬性資料之資料分析。其基本概 念便是比較各類別資料抽樣所得到之「觀察次數」 (observed frequency) 與在虛無假設 成立之條件 下之「期望次數」(expected frequency) 之差異， 然後計算檢定之統計量 其檢定方式有適合度檢定、獨立性檢定及齊一性檢定。 參見例11.1

11.1 基本概念(2/3) 例題 11.1 某公司想瞭解該公司A、B、C 三種不同包裝產品之消費者購買 比率是否相同，於是調查了900位此產品之購買者，得到購買 A、B、C 三種不同包裝產品之數量分別為230、220、450，則 蒐集到的資料可表示成以下次數分配表：

11.1 基本概念(3/3) 承上頁 令虛無假設 （即消費者購買A、B、C三種不同 包裝產品之比率相同)，則在 條件成立下，此900位消費者購 買A、B、C 三種不同包裝產品之期望次數均為300次。 其檢定值

11.2 適合度檢定(1/5) (一)適合度之概念 檢定某一資料之次數分配或相對次數分配是否合乎一 特定之機率分配。 　 檢定某一資料之次數分配或相對次數分配是否合乎一 特定之機率分配。 定理11-1 若 、 分別表適合度檢定之觀察次數與期望次數 且k 表資料之類別個數、m 表需估計母體之參數個 數，則當n→∞時，在 成立條件下， 　 ，其中　　　　 。

11.2 適合度檢定(2/5) 當決定顯著水準　為時，則其拒絕域為 如圖11.1所示，卡方檢定為右尾檢定。

11.2 適合度檢定(3/5) (二)決策法則 　 當　 ，以　　　　　 為檢定統計量，則其檢定 之拒絕域為　　　　　　 ，P值 　　　　　　　 參見例11.3

11.2 適合度檢定(4/5) 例題 11.3 某公司想瞭解消費者對其所生產三種不同口味的產品之 喜好程度是否一致，於是隨機訪問此產品消費者120人， 得其結果如下： 請以 檢定該產品消費者對三種產品之喜好程度 是否有顯著地差異？ 產品類別 1 2 3 喜好人數 35 42 43

11.2 適合度檢定(5/5) 承上頁 【解】 令 表第 種產品受喜好的比例 假設 其拒絕域 在 成立條件下， 令 表第 種產品受喜好的比例 假設 　　 其拒絕域 在 成立條件下， 接受　，即三種不同口味之產品受消費者喜好程度無顯 著地差異。

11.3 獨立性檢定(1/7) 檢定兩個屬性間是否相互獨立之檢定方法。 在檢定 的過程中，可將觀察到的資料表示成列聯表： (一)獨立性檢定之概念 　　檢定兩個屬性間是否相互獨立之檢定方法。 在檢定 的過程中，可將觀察到的資料表示成列聯表：

11.3 獨立性檢定(2/7) (二)期望次數之計算 在「虛無假設 ：屬性一與屬性二相互獨立」 的條件下，計算資料中具有屬性一第 個等級 　　在「虛無假設　：屬性一與屬性二相互獨立」 的條件下，計算資料中具有屬性一第　個等級 與屬性二第　個等級之期望次數　，對所有 　　　　　 、 　　 。而期望次數之計算方式如下： 參見例11.6

11.3 獨立性檢定(3/7) 例題 11.6 假設某研究者想檢定小學生的性別與戴眼鏡是否有顯著地相關， 於是隨機抽樣得到500位學生之性別與戴眼鏡之情形如表11.7。 請在 小學生之性別與戴眼鏡無關之假設成立條件下，計算 每個項目之期望次數。

11.3 獨立性檢定(4/7) 承上頁 【解】以M、F、G、N分別表男學生、女學生、戴眼鏡、未 戴眼鏡兩兩事件均為獨立，即 期望個數分別為

11.3 獨立性檢定(5/7) 定理11-2 在屬性一與屬性二之獨立性檢定中，令 、 分 定理11-2 在屬性一與屬性二之獨立性檢定中，令 、 分 別表屬性一第 i 等級、屬性二第 j 等級之觀察次數 與期望次數，則當樣本數 時，在 ：兩屬 性相互獨立成立之條件下， 其中，r、c 分別表屬性一及屬性二之等級數。

11.3 獨立性檢定(6/7) (三)決策法則 當 ：兩屬性獨立& ：兩屬性相關，則以 為檢定值，其中 ，n 為總樣本數，其檢定之拒絕 當 ：兩屬性獨立& ：兩屬性相關，則以 為檢定值，其中 ，n 為總樣本數，其檢定之拒絕 域為 ， P值 。 參見例11.7

承例11.6，請以 檢定此樣本資料是否顯示小學生之 11.3 獨立性檢定(7/7) 例題 11.7 承例11.6，請以 檢定此樣本資料是否顯示小學生之 性別與戴眼鏡與否無關。 【解】 拒絕域 檢定值 拒絕 ，即小學生之性別與戴眼鏡與否有顯著地相關。

11.4 齊一性檢定(1/5) (一)齊一性檢定之概念 檢定兩個或兩個以上母體是否具有相同的機率分配或 相同的比例。 11.4 齊一性檢定(1/5) (一)齊一性檢定之概念 檢定兩個或兩個以上母體是否具有相同的機率分配或 相同的比例。 定理11-3 在 r 個不同母體，c 個等級之齊一性檢定中，令 、 分別表第 i 個母體第 j 個等級之觀察次 數與期望次數，則當樣本數n → 時，在 ： 不同母體具有相同機率分配或相同比例成立條件 下，

11.4 齊一性檢定(2/5) (二)決策法則 當 ：不同母體具有相同機率分配或相同比例 & ： 不成立，則以 11.4 齊一性檢定(2/5) (二)決策法則 當 ：不同母體具有相同機率分配或相同比例 & ： 不成立，則以 為檢定統計量，其中 ，n 為總樣本 數，其檢定之拒絕域為 ， P值 。 參見例11.10

11.4 齊一性檢定(3/5) 例題 11.10 一項從A、B、C 三家不同的銀行顧客所得的問卷調查資料中 11.4 齊一性檢定(3/5) 例題 11.10 一項從A、B、C 三家不同的銀行顧客所得的問卷調查資料中 發現A、B、C 三家銀行之顧客對其服務品質之滿度程度如下， 請以顯著水準 檢定三家銀行之顧客對其服務品質之 滿意程度是否有顯著地差異?

11.4 齊一性檢定(4/5) 承上頁 【解】 假設 A、B、C 三家銀行具有相同的顧客滿意程度＆ 不成立，拒絕域

11.4 齊一性檢定(5/5) 承上頁 因此其檢定值 接受 ，三家不同的銀行之顧客對其服務品質的滿意程 度無顯著地差異

11.5 多項比例值之假設檢定 (1/3) 利用齊一性檢定來進行兩個或兩個以上比例值是 否相等之假設檢定，在此假設中，可以列來表示 不同母體，而行的種類則僅有「成功」與「失 敗」兩種等級，因此此時之齊一性檢定，行的個 數c =2，也因此其卡方分配之自由度為 ，其中 為母體之個數。 參見例11.11

11.5 多項比例值之假設檢定 (2/3) 例題 11.11 民意調查發現在A、B、C三地區的民眾之意見如下：A 地 水準 檢定此三地區民眾贊成此特定之公共工程之 比例是否有顯著地差異。 【解】 令 、 、 分別表A、B、C 地區贊成興建此公共工程之 比例，建立假設 拒絕域為

11.5 多項比例值之假設檢定 (3/3) 承上頁 檢定值 接受 即A、B、C三地區民眾對此公共工程之贊成比例無顯著差異

(1)三者均利用卡方分配檢定屬性資料(類別資料)的次 11.6 結論(1/3) (一)三種檢定之共通特性 　 (1)三者均利用卡方分配檢定屬性資料(類別資料)的次 數是否合乎某一特性。 (2)若有任何一組之期望次數 時，則應將它與其 他組合併直到每一組的期望次數均大於或等於5為止。

(1)適合度檢定用於檢定樣本資料是否來自於一特定之機率 11.6 結論 (2/3) (二)三種檢定之其他特性 　 (1)適合度檢定用於檢定樣本資料是否來自於一特定之機率 分配，其卡方分配之自由度為　　　 ，其中 k 為資料 之類別數，m 為所欲估計之參數個數。 　 (2)獨立性檢定用於檢定兩個屬性是否相互獨立，其卡方分配 之自由度為　　　　 ，其中r、c 分別表兩屬性之等級數。 (3)齊一性檢定用於檢定兩個或兩個以上不同的母體是否具有 相同的分配或相同的比例。其卡方分配之自由度為 ，其中r 表不同的母體數， c 表資料之類別數。 (4)齊一性檢定與獨立性檢定之檢定方式相似，所不同的是收 集資料的方式，其中齊一性檢定是依不同的母體各自蒐集 所需之樣本數，而獨立性檢定則是由蒐集到的資料來進行 分類。

11.6 結論 (3/3) (5)在適合度檢定中，若欲檢定母體是否具有常態分配時，在樣本不夠大( )時，需作修正，修正後之檢定值如下： (5)在適合度檢定中，若欲檢定母體是否具有常態分配時，在樣本不夠大( )時，需作修正，修正後之檢定值如下： (6)齊一性檢定與獨立性檢定在 時，在樣本不夠大 ( )時，需作修正，修正後之檢定值如下： (7)在(5)、(6)特性中，當樣本數夠大時，其結果影響不大，可不作修正。