直流迴路

前言 在上一章，我們學會了基本串並聯電路的特性及其基本運算；然而，真正的實用電路往往是更為複雜多變的網路架構，在面對這些複雜多變的網路時，如果想要快速地求得某一元件的電路特性(電流或電壓等)時，就必須使用更好的解電路技巧才能做得到。 本章將介紹電路學中是很重要的定理和方法，包括節點電壓法、迴路電流法、重疊定律、戴維寧定理、諾頓定理及最大功率轉換定理等。本章著重在電路的分析、電路方程式的建立、電流或電壓的運算及驗證；除了使用正確的方法、還要有細心的運算技巧，方能正確快速的解題。

4-1.1 相關名詞 節點電壓法主要是利用克希荷夫電流定律(KCL)及歐姆定律，寫出節點的電流方程式，再解方程式求得節點電壓。 相關名詞： 4-1.1 相關名詞 節點電壓法主要是利用克希荷夫電流定律(KCL)及歐姆定律，寫出節點的電流方程式，再解方程式求得節點電壓。 相關名詞： 1.節點：是指兩個或兩個以上支路的連接點。(參考圖4-1) 2.參考節點：當作零電位或接地點的節點；通常為最下方的節點。 3.節點電壓：各節點對參考節點之間的電位差，如圖中的V1、V2及V3。 4.支路電流：節點電壓除以該節點間的電阻，如圖中的I1、I2及I3。 圖4-1 使用節點電壓法的電路標示

4-1.2 解題步驟 節點電壓法的解題步驟： 1.選定接地參考節點，其電壓值為零。 2.標示「獨立」的節點電壓如圖4-1中的V2。 4-1.2 解題步驟 節點電壓法的解題步驟： 1.選定接地參考節點，其電壓值為零。 2.標示「獨立」的節點電壓如圖4-1中的V2。 所謂「獨立」是指其電壓值未知者，已知電壓者可以不需標示如圖4-1中的V1及V3（此處V1=E1，V3=-E2）。 3.假設流入或流出「獨立節點」的電流方向，並以I1、I2、I3及等標示之。 遇有已知電流（如電流源），則以其方向為該支路之電流方向，如例題4-4。

4-1.2 解題步驟 4.以歐姆定律寫出各支路電流的算式。 4-1.2 解題步驟 4.以歐姆定律寫出各支路電流的算式。 有N個節點的電路通常需列出N-1個算式，該支路如有電流源者，直接以電流源電流為支路電流。 5.針對每一獨立節點寫出KCL電流方程式。 。 6.解聯立方程式，求出各節點電壓； 再依題目需求帶回步驟4.求得各支路電流。如果求得的電流值為負的時候，表示：該電流的方向與步驟3.假設方向相反。接著以一些例驗證節點電壓法的使用方法。

如下圖(a)所示，試求流過各電阻之電流大小及方向？ 例4-1圖 (b)

如下圖(a)所示，試求流過各電阻之電流大小及方向？ (1)以下方公共點為接地參考節點，如圖(b)。 (2)選定獨立節點，並設定其節點電壓為V1。 (3)假設各支路電流方向，並標示如I1、I2、I3等。 (4)以歐姆定律寫出各支路電流的算式。 (5) 以KCL寫出電流方程式： I1+I2+I3=0 (a) 例4-1圖 (b)

(6)解方程式，求出節點電壓： 選通分再去分母得2V1－12＋3V1＋36＋V1＝0，故，V1＝－4 V 。 (7) 代入步驟(4)求得各支路電流： (8) 驗證 (V1節點) ： I1+I2+I3= ，符合KCL定律。 (負號表示方向假設錯誤，應為向右) (方向向右) (負號表示方向假設錯誤，應為向上)

1.將本題中6V極性上下顛倒，重算各電阻之電流。

1.將本題中6V極性上下顛倒，重算各電阻之電流。 (1)以下方公共點為接地參考節點，如圖(b)。 (2)選定獨立節點，並設定其節點電壓為V1。 (3)假設流入或流出「獨立節點」的各支路電流方向，並標示如I1、I2、I3等。 (4)以歐姆定律寫出各支路電流的算式。 (5) 以KCL寫出電流方程式： I1+I2+I3=0

1.將本題中6V極性上下顛倒，重算各電阻之電流。 (6)解方程式，求出節點電壓： 通分再去分母得2V1+12＋3V1＋36＋V1＝0，故，V1＝－8 V 。 (7)代入步驟(4)求得各支路電流： (8) 驗證 (V1節點) ： I1+I2+I3= ，符合KCL定律。 (負號表示方向假設錯誤，應為向右) (方向向右) (負號表示方向假設錯誤，應為向上)

如下圖(a)所示，試求流過各電阻之電流大小及方向？ (b) 例4-2圖(1)

(1)以下方公共點為接地參考節點，如圖(b)。 (2)設節點電壓：V1、 V2 、 V3 ，並從圖中得知：V1=12V，V3=6V 。 (3)對V2點，假設各支路電流方向，並標示I1、I2、I3。 (4)以KCL寫出電流方程式： I1+I2=I3 ，通分母後得24-2V2+6-V2=3V2

(5)解方程式，求出節點電壓V2 =5V 。 (6)再代入步驟(4)，求得各支路電流。 (向右) (向左) (向下) (7)驗證(對V2點而言)：I1+I2= ，符合KCL定律。

例4-2圖(2) 2.如右圖(2)所示，求流經12Ω及12V的電流。

(2)設節點電壓：V1、 V2 、 V3 ，並從圖中得知：V1=12V，V3=20V 。 例4-2圖(2) (1)以下方公共點為接地參考節點。 (2)設節點電壓：V1、 V2 、 V3 ，並從圖中得知：V1=12V，V3=20V 。 (3)對V2點，假設各支路電流方向，並標示I1、I2、I3。 (4)以KCL寫出電流方程式： I1+I2=I3 ，通分母後得24-2V2-60-3V2=V2 2.如右圖(2)所示，求流經12Ω及12V的電流。

2.如右圖(2)所示，求流經12Ω及12V的電流。 (5)解方程式，求出節點電壓V2 =6V 。 (6)再代入步驟(4)，求得各支路電流。 例4-2圖(2) (5)解方程式，求出節點電壓V2 =6V 。 (6)再代入步驟(4)，求得各支路電流。 (向右) 流經12之電流= (向上) 流經12V之電流= I4+ I1=4+3=7A(向下) 。

如下圖(a)所示，試求流過各電阻之電流大小及方向？ (b) 例4-3圖

(1)選定中心節點，並設節點電壓為V0，如圖(b)。 (2)假設各支路電流方向均朝外，並標示 I1、I2、I3 、 I4 。 (3)以KCL寫出電流方程式： I1+I2+I3+I4=0 (4)解方程式，求出節點電壓V0 =3V。

(5)再代入步驟(4)求得各支路電流。 (方向向上) (方向假設錯誤，正確應為向左) (方向向下) (方向假設錯誤，正確應為向右) (6)驗證：I1+I2+I3+I4=1.5－2.25+2－1.25=0，符合KCL定律。

如下圖(a)所示，試求V1及V2電壓各為何？ 4 - 4 節點電壓法用於兩個電流源電路 如下圖(a)所示，試求V1及V2電壓各為何？ (a) (b) 例4-4圖

4 - 4 節點電壓法用於兩個電流源電路 (1)以下方公共點為接地參考節點，如圖(b)。 (2)設節點電壓：V1、 V2 。 (3)假設各支路電流方向，並標示 I1、I2 、 I3、I4 、 I5。 (4)針對V1點，以KCL寫出電流方程式：I1=I2+I3 ………… (5)針對V2點，以KCL寫出電流方程式：I3=I4+I5 ………… (5)解方程式 、  ，求出節點電壓。 V1 =9V，=－1.5V

迴路電流分析法是利用克希荷夫電壓定律(KVL)及歐姆定律，列出各迴路的電壓方程式，再解聯立方程式求得迴路電流。 迴路電流法的解題步驟： 1.決定最小的迴路數，也就是網目數，如圖4-2(a)的最小迴路數為2。 2.設定各迴路電流方向，可為順時針或逆時針，並標示迴路電流之名稱例如I1、I2及I3等。 當迴路中有電流源存在時，即可以該電流源的電流值為該迴路之電流，不須再計算，如圖4-2(b)之I2電流大小及方向應與電流源I相同，若預設相反之電流方向，其大小為-I。

(a) (b) 圖4-2 迴路電流法解題說明圖

3.以KVL寫出各迴路的電壓方程式。其參考格式如下： 「迴路內各電阻之和」×「迴路電流」± 「相鄰迴路間各電阻之和」×「相鄰迴路電流」＝「電動勢代數和」 相鄰迴路間的電阻稱為「共用電阻」，如圖4-2中的R2。 ±值的決定：當流過共用電阻的相鄰迴路電流方向相同時，取正值。 　　　　　 當流過共用電阻的相鄰迴路電流方向相反時，取負值。 　　左迴路：(R1+R2) × I1+ R2I2)=E 　　右迴路：R2I2 +(R2+R3)×I2+=0 4.解聯立方程式，求出各迴路電流。 　如果求得的電流值為負的時候，表示該電流的方向與步驟2.假設方向 相反。接著以一些實例驗證迴路電流法的使用方法。

試以迴路電流法求圖(a)中各電阻上之電流。 (b) 例4-5圖(1)

試以迴路電流法求圖(a)中各電阻上之電流。 (1)設定各迴路的電流方向如圖(b)。 (2)標示各迴路電流為Ia、 Ib 。 (3)以KVL寫出各迴路的電壓方程式。 左迴路：(2+3+1) -1Ib=13-2 → 6Ia-1Ib=11 右迴路：-1Ia+(1+2+1) Ib=2 → -1Ia+4Ib=2 (4)解方程式，求出各迴路電流  × 6＋1 得23Ib=23， ∴Ib=1A 代入 　 得 Ia=1A (5)求各元件的電流 　　I1= Ia=2A　，　I2= Ib=1A　，　I3= Ia - Ib=2-1=1A ………… ………… ………… (a) (b) 例4-5圖(1)

(a) (b) 例4-5圖(1) 3.將本例改以節點電壓法解之。

(2)選定獨立節點，並設定其節點電壓為V1。 (3)假設流入或流出「獨立節點」的各支路電流方向，並標示如I1、I2、I3等。 (a) (b) 例4-5圖(1) 3.將本例改以節點電壓法解之。 (1)以下方公共點為接地參考節點。 (2)選定獨立節點，並設定其節點電壓為V1。 (3)假設流入或流出「獨立節點」的各支路電流方向，並標示如I1、I2、I3等。 (4)以歐姆定律寫出各支路電流的算式。

(5)以KCL寫出電流方程式：I1＋I2＋I3＝0。 (a) (b) 例4-5圖(1) 3.將本例改以節點電壓法解之。 (5)以KCL寫出電流方程式：I1＋I2＋I3＝0。 (6)解方程式，求出節點電壓： 　通分再去分母得39－3V1=5 V1＋15V1－30，故，V1＝3 V (7)代入步驟(4)求得各支路電流： (向右) (向下)

4.如圖(2)所示之電路，電壓VA與VB分別為何？ 例4-5圖(2)

4.如圖(2)所示之電路，電壓VA與VB分別為何？ 例4-5圖(2) 左右兩側迴路均設定為順時針， 根據KVL，電壓升等於電壓降 右迴路 VA+4=3+6+1，得：VA =6 V 左迴路 20+1=5+6+ VB，得：VB =10 V

試以迴路電流法求圖(a)中各電阻上之電流I1、I2、I3。 (b) 例4-5圖(1)

(1)設定各迴路的電流方向如圖 (b)。 (2)標示各迴路電流為Ia、Ib。 (3)以KVL寫出各迴路的電壓方程式。 迴路a：(3+5+2)Ia+2Ib=22+12 整理得：10Ia+2Ib=34 迴路b：有一電流源，故Ib=2A (4)解方程式，求出各迴路電流 代入 得Ib=3A (5)求各元件的電流 I1= Ia=3A I2= Ia+Ib =3+2=5A I3= Ib=2A ………… …………

有關重疊定律(superposition theorem)的定義、用途及解題步驟逐一說明如下： 1.定義：在多電源線性電路中，任一支路元件的電壓或電流，等於個 別電源單獨作用時所產生的電壓或電流之代數和；也就是各 別計算，再合併彙整的電路運算技巧。 |2.用途：用於求解多電源的電路，可避免解繁雜的聯立方程式。

(1)保留一個電源，移除其他電源，移除後的處理原則如下： 移除的是電壓源時，將其兩端短路。 移除的是電流源時，將其兩端開路。 3.解題步驟： (1)保留一個電源，移除其他電源，移除後的處理原則如下： 移除的是電壓源時，將其兩端短路。 移除的是電流源時，將其兩端開路。 (2)以前述各種電路解法，求出待求元件的電壓或電流，並標示電壓 極性或電流方向。 (3)更換為另一電源，重覆步驟(1)、(2)。 (4)加總各電源單獨作用的值；依下列原則求其代數和： 電壓極性相同則相加，不同則相減。 電流方向相同則相加，不同則相減。 4.使用限制：重疊定理只能適用於線性關係的電壓及電流計算，並不適用於非線性關係的功率計算。

如右圖所示，試求流過6歐姆電阻的電流為何？ 例4-7圖(1)

如右圖所示，試求流過6歐姆電阻的電流為何？ (3)保留5A電流源，將15V電壓源短路如下圖 (4)此時流過6電阻的電流 (向下) (5)求總和：由於此處電流方向均為向下，其代數和直接相加即可。 例4-7圖(1)

5.本例中，試求流過9歐姆電阻的電流為何？

5.本例中，試求流過9歐姆電阻的電流為何？ 保留15V電壓源時 保留5A電流源時 （向右） （向左） 故I=Iv+Ia=1A（向左）

6.如右圖(2)所示之電路，則流經5Ω 電阻之電流與其所消耗之功率為 瓦特。 6.如右圖(2)所示之電路，則流經5Ω 電阻之電流與其所消耗之功率為 瓦特。 例4-7圖(2)

6.如右圖(2)所示之電路，則流經5Ω 電阻之電流與其所消耗之功率為 瓦特。 6.如右圖(2)所示之電路，則流經5Ω 電阻之電流與其所消耗之功率為 瓦特。 例4-7圖(2) 重疊定律：20V作用，10A開路，IV=4 A；10A作用，20V短路，IA=0 A 合併後，I= IV + IA =4 A，P= I2 × R= 42 × 5=80 W

如右圖所示，試求Ix及Vx之值為何？ 例4-8圖

如右圖所示，試求Ix及Vx之值為何？ (1)保留3A電流源 例4-8圖 此時Ix、Vx （向右） 註： 表示上面。－，下面為正。

例4-8圖 (2)保留中間2A電流源 此時Ix、Vx （向右） (3)保留右邊2A電流源 如右圖所示，試求Ix及Vx之值為何？

如右圖所示，試求Ix及Vx之值為何？ (4)求總和： （向右） 例4-8圖

如右圖所示，試求流過6Ω電阻的電流為何？ 例4-9圖

如右圖所示，試求流過6Ω電阻的電流為何？ (1)保留5A電流源，電壓源短路 例4-9圖 （向右下）

如右圖所示，試求流過6Ω電阻的電流為何？ (2)保留10V電壓源 例4-9圖 （向右下） (3)求總和： （向右下）

7.本例中，試求流過1Ω的電阻的電流為多少？

7.本例中，試求流過1Ω的電阻的電流為多少？ 保留5A電流源時 IA=5A　 保留10V電壓源時 Iv=0　 故I1Ω =IA+IV=5+0=5A