2017/4/10 电工技术
第6章 一阶动态电路分析 学习要点 掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法 理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义 第6章 一阶动态电路分析 学习要点 掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法 理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义 了解用经典法分析一阶动态电路的方法 了解一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念 了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件
第6章 一阶动态电路分析 6.1 换路定理 6.2 一阶动态电路分析方法 6.3 零输入响应和零状态响应 6.4 微分电路和积分电路
6.1 换路定理 6.1.1 电路产生过渡过程的原因 含有动态元件电容C和电感L的电路称为动态电路。动态电路的伏安关系是用微分或积分方程表示的。通常用微分形式。 一阶电路:用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路中只含有一个 动态元件。本章着重于无源和直流一阶电路。 过渡过程:电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态,电压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。 产生过渡过程的条件:电路结构或参数的突然改变。 产生过渡过程的原因:能量不能跃变,电感及电容能量的存储和释放需要时间,从而引起过渡过程。
6.1.2 换路定理 换路:电路工作条件发生变化,如电源的接通或切断,电路连接方法或参数值的突然变化等称为换路。 6.1.2 换路定理 换路:电路工作条件发生变化,如电源的接通或切断,电路连接方法或参数值的突然变化等称为换路。 换路定理:电容上的电压uC及电感中的电流iL在换路前后瞬间的值是相等的,即: 必须注意:只有uC 、 iL受换路定理的约束而保持不变,电路中其他电压、电流都可能发生跃变。
例:图示电路原处于稳态,t=0时开关S闭合,US=10V,R1=10Ω, R2=5Ω,求初始值uC(0+) 、i1(0+) 、i2(0+)、iC(0+)。 解:由于在直流稳态电路中,电容C相当于开路,因此t=0-时电容两端电压分别为: 在开关S闭合后瞬间,根据换路定理有: 由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路,如图所示。由图得:
例:图示电路原处于稳态,t=0时开关S闭合,求初始值uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。 解:由于在直流稳态电路中,电感L相当于短路、电容C相当于开路,因此t=0-时电感支路电流和电容两端电压分别为: 在开关S闭合后瞬间,根据换路定理有:
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路,如图所示。由图得: u(0+)可用节点电压法由t=0+时的电路求出,为:
6.2 一阶动态电路的分析方法 任何一个复杂的一阶电路,总可以用戴微南定理或诺顿定理将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。 6.2 一阶动态电路的分析方法 任何一个复杂的一阶电路,总可以用戴微南定理或诺顿定理将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。 因此,对一阶电路的分析,实际上可归结为对简单的RC电路和RL电路的求解。一阶动态电路的分析方法有经典法和三要素法两种。
6.2.1 经典分析法 1.RC电路分析 图示电路,t=0时开关S闭合。根据KVL,得回路电压方程为: 而: 从而得微分方程:
解微分方程,得: 其中uC'=US为t→∞时uC的值,称为稳态分量。 只存在于暂态过程中, t→∞时uC''→0,称为暂态分量。 τ=RC称为时间常数,决定过渡过程的快慢。 波形图:
电路中的电流为: 电阻上的电压为: iC与uR的波形
2.RL电路分析 图示电路,t=0时开关S闭合。根据KVL,得回路电压方程为: 因为: 从而得微分方程: 解之得: 式中τ=L/R为时间常数 稳态分量 暂态分量
经典法求解一阶电路的步骤: (1)利用基尔霍夫定律和元件的伏安关系,根据换路后的电路列出微分方程; (2)求微分方程的特解,即稳态分量; (3)求微分方程的补函数,即暂态分量; (4)将稳态分量与暂态分量相加,即得微分方程的全解; (5)按照换路定理求出暂态过程的初始值,从而定出积分常数。
例:图(a)所示电路原处于稳态,t=0时开关S闭合,求开关闭合后的电容电压uC和通过3Ω电阻的电流i。 解:用戴微南定理将图(a)所示开关闭合后的电路等效为图(b),图中: 对图(b)列微分方程: 解微分方程:
由图(a)求uC的初始值为: 积分常数为: 所以,电容电压为: 通过3Ω电阻的电流为:
6.2.2 三要素分析法 求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为: 6.2.2 三要素分析法 求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为: 式中,f(0+)为待求电流或电压的初始值,f(∞)为待求电流或电压的稳态值,τ为电路的时间常数。 对于RC电路,时间常数为: 对于RL电路,时间常数为:
例:图示电路,IS=10mA,R1=20kΩ,R2=5kΩ,C=100μF。开关S闭合之前电路已处于稳态,在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的uC。 解:(1)求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态,故在瞬间电容C可看作开路,因此: (2)求稳态值。当t=∞时,电容C同样可看作开路,因此:
(3)求时间常数τ。将电容支路断开,恒流源开路,得: 时间常数为: (4)求uC。利用三要素公式,得:
例:图示电路,US1=9V,US2=6V ,R1=6Ω,R2=3Ω,L=1H。开关S闭合之前电路已处于稳态,在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的iL和u2。 解:(1)求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态,故在瞬间电感L可看作短路,因此: (2)求稳态值。当t=∞时,电感L同样可看作短路,因此:
(3)求时间常数τ。将电感支路断开,恒压源短路,得: 时间常数为: (4)求iL和u2。利用三要素公式,得:
6.3 零输入响应和零状态响应 6.3.1 一阶电路响应的分解 根据电路的工作状态,全响应可分解为稳态分量和暂态分量,即: 6.3 零输入响应和零状态响应 6.3.1 一阶电路响应的分解 根据电路的工作状态,全响应可分解为稳态分量和暂态分量,即: 全响应=稳态分量+暂态分量 根据激励与响应的因果关系,全响应可分解为零输入响应和零状态响应,即: 全响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应是输入为零时,由初始状态产生的响应,仅与初始状态有关,而与激励无关。零状态响应是初始状态为零时,由激励产生的响应,仅与激励有关,而与初始状态无关。
将一阶RC电路中电容电压uC随时间变化的规律改写为: 零输入响应 零状态响应 将一阶RL电路中电感电流iL随时间变化的规律改写为: 零输入响应 零状态响应
例:图示电路有两个开关S1和S2,t<0时S1闭合,S2打开,电路处于稳态。t=0时S1打开,S2闭合。已知IS=2 例:图示电路有两个开关S1和S2,t<0时S1闭合,S2打开,电路处于稳态。t=0时S1打开,S2闭合。已知IS=2.5A,US=12V,R1=2Ω,R2=3Ω,R3=6Ω,C=1F。 求换路后的电容电压uC,并指出其稳态分量、暂态分量、零输入响应、零状态响应,画出波形图。 解:(1)全响应=稳态分量+暂态分量 稳态分量 初始值
时间常数 暂态分量 全响应 (2)全响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应 零状态响应 全响应
6.3.2 一阶电路的零输入响应 1.RC电路的零输入响应 6.3.2 一阶电路的零输入响应 1.RC电路的零输入响应 图示电路,换路前开关S置于位置1,电容上已充有电压。t=0时开关S从位置1拨到位置2,使RC电路脱离电源。根据换路定理,电容电压不能突变。于是,电容电压由初始值开始,通过电阻R放电,在电路中产生放电电流iC。随着时间增长,电容电压uC和放电电流iC将逐渐减小,最后趋近于零。这样,电容存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电容的初始状态所引起,故为零输入响应。 由初始值uC(0+)=U0,稳态值uC(∞)=0,时间常数τ=RC,运用三要素法得电容电压:
放电电流 放电过程的快慢是由时间常数τ决定。 τ越大,在电容电压的初始值U0一定的情况下,C越大,电容存储的电荷越多,放电所需的时间越长;而R越大,则放电电流就越小,放电所需的时间也就越长。相反,τ越小,电容放电越快,放电过程所需的时间就越短。 从理论上讲,需要经历无限长的时间,电容电压uC才衰减到零,电路到达稳态。但实际上,uC开始时衰减得较快,随着时间的增加,衰减得越来越慢。经过t=(3~5)τ的时间,uC已经衰减到可以忽略不计的程度。这时,可以认为暂态过程已经基本结束,电路到达稳定状态。
2.RL电路的零输入响应 图示电路,换路前开关S置于位置1,电路已处于稳态,电感中已有电流。在t=0时,开关S从位置1拨到位置2,使RL电路脱离电源。根据换路定理,电感电流不能突变。于是,电感由初始储能开始,通过电阻R释放能量。随着时间的增长,电感电流iL将逐渐减小,最后趋近于零。这样,电感存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电感的初始状态所引起,故为零输入响应。 由初始值iL(0+)=I0,稳态值iL(∞)=0,时间常数τ=L/R,运用三要素法得电感电流:
电感两端的电压 RL电路暂态过程的快慢也是由时间常数τ来决定的。τ越大,暂态过程所需的时间越长。相反,τ越小,暂态过程所需的时间就越短。且经过t=(3~5)τ的时间,iL已经衰减到可以忽略不计的程度。这时,可以认为暂态过程已经基本结束,电路到达稳定状态。
6.3.3 一阶电路的零状态响应 1.RC电路的零状态响应 6.3.3 一阶电路的零状态响应 1.RC电路的零状态响应 图示电路,换路前开关S置于位置1,电路已处于稳态,电容没有初始储能。t=0时开关S从位置1拨到位置2,RC电路接通电压源US。根据换路定理,电容电压不能突变。于是US通过R对C充电,产生充电电流iC。随着时间增长,电容电压uC逐渐升高,充电电流iC逐渐减小。最后电路到达稳态时,电容电压等于US,充电电流等于零。可见电路换路后的初始储能为零,响应仅由外加电源所引起,故为零状态响应。 由初始值uC(0+)=0,稳态值uC(∞)= US,时间常数τ=RC,运用三要素法得电容电压:
充电电流 RC电路充电过程的快慢也是由时间常数τ来决定的,τ越大,电容充电越慢,过渡过程所需的时间越长;相反,τ越小,电容充电越快,过渡过程所需的时间越短。同样,可以根据实际需要来调整电路中的元件参数或电路结构,以改变时间常数的大小。
2.RL电路的零状态响应 图示电路,换路前开关S置于位置1,电路已处于稳态,电感没有初始储能。t=0时开关S从位置1拨到位置2,RL电路接通电压源US。根据换路定理,电感电流不能突变。于是US通过R对L供电,产生电流iL。随着时间增长,电感电流iL逐渐增大,最后电路到达稳态时,电感电流等于US/R。可见电路换路后的初始储能为零,响应仅由外加电源所引起,故为零状态响应。 由初始值iL(0+)=0,稳态值iL(∞)= US/R,时间常数τ=L/R,运用三要素法得电感电流:
电感两端的电压 RL电路暂态过程的快慢也是由时间常数τ来决定的。τ越大,暂态过程所需的时间越长。相反,τ越小,暂态过程所需的时间就越短。且经过t=(3~5)τ的时间,iL已经衰减到可以忽略不计的程度。这时,可以认为暂态过程已经基本结束,电路到达稳定状态。
6.4 微分电路与积分电路 6.4.1 微分电路 条件: (1)时间常数τ<<tw; (2)输出电压从电阻两端取出。
6.4.2 积分电路 条件: (1)时间常数τ>>tw; (2)输出电压从电容两端取出。