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一、 一阶线性微分方程及其解法 二、 一阶线性微分方程的简单应用 三、 小结及作业 §6.2 一阶线性微分方程
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判下列微分方程是否为一阶线性微分方程： 一、一阶线性微分方程及其解法 例1例1 在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次 的，则称其为一阶线性微分方程。 1. 一阶线性微分方程的定义
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（ 1 ）、（ 4 ）是一阶线性的，其余的是非线性的. 解 2. 一阶线性微分方程的一般式 3. 一阶线性微分方程的分类 当 时，方程（ 1 ）称为一阶线性齐次微 分方程。 当 时，方程（ 1 ）称为一阶线性非齐次 微分方程。
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（ 1 ）一阶线性齐次微分方程 分离变量法 4. 一阶线性微分方程的解法 1 ）一般式 2 ）解法 3 ）通解公式
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解 例2例2 则通解
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（ 2 ）一阶线性非齐次微分方程 常数变易法 1 ）一般式 2 ）解法 3 ）通解公式 齐次的 通解 非齐次 的特解
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为非齐次线性方程的解，则 4 ）常数变易法 通解
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解 例3例3 则通解为
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解 例4例4 原方程变形为 其中
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因此方程满足初始条件的特解为 二、一阶线性微分方程的应用 1. 分析问题, 设出所求未知函数, 确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型, 求其通解. 4. 代入初始条件求特解. 应用微分方程解决实际问题的步骤 :
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例5例5 解 设所求曲线方程为 从而 即其中 则通解为
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因此所求曲线方程为
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设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落 的速度成正比 ( 比例系数 ，起跳时的速度为 0 ， 求下落的速度与时间 的函数关系。 例6例6 设速度与时间的函数关系为：解 由牛顿第二定律知： 即其中 则通解为
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因此所求速度与时间的函数关系为
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三、小结 1. 一阶线性齐次微分方程 2. 一阶线性非齐次微分方程 （ 1 ）一般式 （ 2 ）通解公式 （ 1 ）一般式 （ 2 ）通解公式
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