第二章 电磁场基本方程 §2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 §2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律 §2.3 麦克斯韦方程组 第二章 电磁场基本方程 §2.1  静态电磁场的基本定律和基本场矢量  §2.2  法拉弟电磁感应定律和全电流定律  §2.3  麦克斯韦方程组  §2.4  电磁场的边界条件   §2.5  坡印廷定理和坡印廷矢量   §2.6  唯一性定理

§2 .1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 2 .1 .1 库仑定律和电场强度 2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度 §2 .1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 2 .1 .1 库仑定律和电场强度 2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度 2 .1 .3 比奥-萨伐定律, 磁通量密度 2 .1 .4 安培环路定律, 磁场强度 2 .1 .5 两个补充的基本方程

§2 .1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 2 .1 .1 库仑定律和电场强度 图 2-1 两点电荷间的作用力

式中, K是比例常数, r是两点电荷间的距离, 是从q1指向q2的单位矢量。若q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。 比例常数K的数值与力 , 电荷及距离所用的单位有关。 本书全部采用1960年国际计量大会通过的国际单位制(SI制), 基本单位是米(m) , 千克(kg) , 秒(s)和安培(A)。 电磁学中其他单位都可由之导出, 今已列在附录C中, 以供查用。在SI制中, 库仑定律表达为

式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), ε0是真空的介电常数: 设某点试验电荷q所受到的电场作用力为F, 则该点的电场强度为 由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为 (2-4)

2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度 除电场强度E外, 描述电场的另一个基本量是电通量密度D, 又称为电位移矢量。 在简单媒质中, 电通量密度由下式定义: ε是媒质的介电常数, 在真空中ε=ε0。 这样, 对真空中的点电荷q, 由式(2-4)知,

电通量为 此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。 根据立体角概念不难证明, 当所取封闭面非球面时, 穿过它的电通量将与穿过一个球面的相同,仍为q。如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量 这就是高斯定理的积分形式(1839年由德国K .F .Gauss导出), 即穿过任一封闭面的电通量, 等于此面所包围的自由电荷总电量。 对于简单的电荷分布, 可方便地利用此关系来求出D。

若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度ρv分布的, 则所包围的总电量为

2 .1 .3 比奥-萨伐定律, 磁通量密度 图 2-2 两个载流回路间的作用力

式中, r是电流元I′dl′至Idl的距离, 是由dl′指向dl的单位矢量, μ0是真空的磁导率:

矢量B可看作是电流回路l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的磁场力, 它是表征电流回路l′在其周围建立的磁场特性的一个物理量, 称为磁通量密度或磁感应强度。它的单位是 毕奥-萨伐(J .B .Biot-F .Savart, 法)定律, 于1820年独立地基于磁针实验提出。 磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为

或用运动速度为v的电荷Q表示, Idl=JAdl=ρvAdlv=Qv, 其中A为细导线截面积, 得 通常将上式作为B的定义公式。点电荷q在静电场中所受的电场力为qE, 因此, 当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所受的总力为

例 2 .1 参看图2-3, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点的磁通量密度。 图 2-3 载流直导线

［解］ 采用柱坐标, 电流Idz′到P点的距离矢量是 对无限长直导线, l→∞, 有

2 .1 .4 安培环路定律, 磁场强度 对于无限长的载流直导线, 若以ρ为半径绕其一周积分B, 可得 在简单媒质中, H由下式定义:

H称为磁场强度, μ是媒质的磁导率。在真空中μ=μ0, 于是有 这一关系式最先由安培基于实验在1823年提出, 故称之为安培环路定律。它表明, 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流I。这里的I应理解为传导电流的代数和。利用此定律可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。 因为S面是任意取的, 所以必有

2 .1 .5 两个补充的基本方程 在物理学中我们已知, 在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零: 2 .1 .5 两个补充的基本方程 在物理学中我们已知, 在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零: 利用斯托克斯定理可将左端化为▽×E的面积分, 从而得 这是静电场的另一基本方程, 说明静电场是无旋场即保守场。静电场的保守性质符合能量守恒定律。这样, 它和重力场性质相似。 物体在重力场中有一定的位能, 同样地, 电荷在静电场中也具有一定的电位能。 从而可引入电位函数φ:

静电场既然是无旋场, 则必然是有散场, 它的通量源就是电荷。电力线起止于正负电荷。静磁场的特性则正好相反。因为在自然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力线总是闭合的。这样, 闭合的磁力线穿进封闭面多少条, 也必然要穿出同样多的条数, 结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零, 即 将左端化为▽·B的体积分知

§2 .2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 2 .2 .1 法拉第电磁感应定律 2 .2 .2 位移电流和全电流定律 §2 .2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 2 .2 .1 法拉第电磁感应定律 2 .2 .2 位移电流和全电流定律 2 .2 .3 全电流连续性原理

§2 .2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 2 .2 .1 法拉第电磁感应定律 §2 .2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 2 .2 .1 法拉第电磁感应定律 静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷(恒定电流)。 它们是相互独立的, 二者的基本方程之间并无联系。 但是随时间变化的电场和磁场是相互关联的。这首先由英国科学家法拉第在实验中观察到。 他发现, 导线回路所交链的磁通量随时间改变时, 回路中将感应一电动势, 而且感应电动势正比于磁通的时间变化率。 楞次(H .E .Lenz, 俄)定律指出了感应电动势的极性, 即它在回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻碍磁通的变化。这两个结果的结合就是法拉第电磁感应定律, 其数学表达式为

(2-26) 式(2-26)可写成 右边第一项是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势; 第二项是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势.

应用斯托克斯定理, 上式左端的线积分可化为面积分。同时, 如果回路是静止的, 则穿过回路的磁通量的改变只有由于B随时间变化所引起的项。 因而得 因为S是任意的, 从而有 这是法拉第电磁感应定律的微分形式。其意义是, 随时间变化的磁场将激发电场。这导致极重要的应用。我们称该电场为感应电场, 以区别于由电荷产生的库仑电场。库仑电场是无旋场即保守场; 而感应电场是旋涡场。其旋涡源就是磁通的变化。

2 .2 .2 位移电流和全电流定律 微分形式基本方程如下:

在任何时刻电荷守恒定律都应成立。法拉第已在1843年用实验证实了这一定律。 其数学表达式就是电流连续性方程: (2-30) J是电流密度即电流的体密度, 它的方向就是它所在点上正电荷流动的方向, 其大小就是在垂直于该方向的单位面积上, 每单位时间内通过的电荷量, 单位为A/m2。因此, 若体积中各处都有电荷流动, 则通过某封闭面S的总电流为 。 它是每单位时间流出S面的电荷量, 应等于S面内每单位时间所减少的电荷量-dQ/dt。

把式(2-30)两端用体积分表示, 对静止体积V有 这是微分形式的电流连续性方程。

的量纲是(库仑/米2)/秒=安/米2, 即具有电流密度的量纲, 故称之为位移电流密度(displacement current density)Jd, 即

对左端应用斯托克斯定理, 便得到其积分形式: 它说明: 磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。

2 .2 .3 全电流连续性原理 对任意封闭面S有 即

穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性原理。将它应用于只有传导电流的回路中, 得知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号, 流入取负号)。这就是基尔霍夫(G .R .Kirchhoff, 德)电流定律: ΣI=0。

例 2 .2 设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容器的电流I与U的关系。 图 2-4 平板电容器

［解］ 设平板尺寸远大于其间距, 则板间电场可视为均匀, 即E=U/d, 从而得 式中C=εA/d为平板电容器的电容。

§2 .3 麦克斯韦方程组 2 .3 .1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式 2 .3 .2 本构关系和波动方程 §2 .3 麦克斯韦方程组 2 .3 .1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式 2 .3 .2 本构关系和波动方程 2 .3 .3 电磁场的位函数

§2 .3 麦克斯韦方程组 2 .3 .1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式 图 2-5 麦克斯韦

表2-1 麦克斯韦方程组及电流连续性方程

这四个方程的物理意义可简述如下: ; (a) 时变磁场将激发电场; ; (b) 电流和时变电场都会激发磁场; ; (c) 穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由电荷电量; ; (d) 穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。

麦氏方程组中的四个方程并不都是独立的。 表2-1中两个散度方程(c) , (d)可由两个旋度方程(a) , (b)导出。例如, 对式(b)取散度, 得 将连续性方程(e)代入上式, 有 则

2 .3 .2 本构关系和波动方程 对于简单媒质, 本构关系是(接表 2-1 的序号) 2 .3 .2 本构关系和波动方程 对于简单媒质, 本构关系是(接表 2-1 的序号) 对于真空(或空气), ε=ε0, μ=μ0, σ=0。 σ=0的媒质称为理想介质, σ=∞的导体称为理想导体, σ介于二者之间的媒质统称为导电媒质。

若媒质参数与位置无关, 称为均匀(homogeneous)媒质; ; 若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关, 称为各向同性(isotropic)媒质; ; 若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色散(dispersive) 媒质。

利用式(f) , (g) , (h)关系后, 表2-1中的式(a)~(d)化为

即

为研究简单媒质中的有源区域时, J≠0, ρv≠0, 由类似的推导得 该二式称为E和H的非齐次矢量波动方程。 其中场强与场源的关系相当复杂, 因此通常都不直接求解这两个方程, 而是引入下述位函数间接地求解E和H。

2 .3 .3 电磁场的位函数 由表2-1中的麦氏方程组式(d)知, ▽·B=0 。由于▽ ·(▽ ×A)=0, 因而可引入下述矢量位函数A(简称矢位或磁矢位): 即 而由表2-1中的麦氏方程组式(a)知,

由于▽× ▽ φ=0, 因而可引入标量位函数φ(简称标位或电标位)如下: 这里▽ φ前加负号是为了使 时化为静电场的E=- ▽φ。 因▽ × ▽ ×A= ▽(▽ ·A)- ▽2A, 上式可改写为 (2-47)

为使方程(2-47)具有最简单的形式, 我们令 此式称为洛仑兹规范(Lorentz gauge)。

例2 .3 试用麦克斯韦方程组导出图2-6所示的RLC串联电路的电压方程(电路全长远小于波长)。

[解］ 沿导线回路l作电场E的闭合路径积分, 根据表2-1中的麦氏方程式(a′)有 上式左端就是沿回路的电压降, 而ψ是回路所包围的磁通。将回路电压分段表示, 得 设电阻段导体长为l1, 截面积为A, 电导率为σ, 其中电场为J/σ, 故

电感L定义为ψm/I, ψm是通过电感线圈的全磁通, 得 通过电容C的电流已由例2 .2得出: 设外加电场为Ee, 则有

因为回路中的杂散磁通可略, dψ/dt≈0, 从而得 这就是大家所熟知的基尔霍夫电压定律。对于场源随时间作简谐变化的情形, 设角频率为ω, 上式可化为

例 2 .4 证明导电媒质内部ρv=0。 ; ［解］ 利用电流连续性方程(2-31), 并考虑到J=σE, 有 在简单媒质中, ▽·E=ρv/ε, 故上式化为 其解为

可见, ρv随时间按指数减小。衰减至ρv0的1/e即36. 8%的时间 (称为驰豫时间)为τ=ε/σ(s)。对于铜, σ=5 可见, ρv随时间按指数减小。衰减至ρv0的1/e即36.8%的时间 (称为驰豫时间)为τ=ε/σ(s)。对于铜, σ=5.8×107S/m, ε=ε0, 得τ=1 .5×10-19s。因此, 导体内的电荷极快地衰减, 使得其中的ρv可看作零。

§2 .4 电磁场的边界条件 2 .4 .1 一般情况 2 .4 .2 两种特殊情况

§2 .4 电磁场的边界条件 2 .4 .1 一般情况 图 2-7 电磁场边界条件

对此回路应用表2-1中的麦氏旋度方程式(a′) , (b′),可得 得到E和H的切向分量边界条件为

计算穿出小体积元ΔS×Δh表面的D , B通量时, 考虑到ΔS很小, 其上D , B可视为常数, 而Δh为高阶微量, 因此穿出侧壁的通量可忽略, 从而得 式中ρs是分界面上自由电荷的面密度(C/m2)。对于理想导体, σ→∞, 其内部不存在电场(否则它将产生无限大的电流密度J=σE), 其电荷只存在于理想导体表面, 从而形成面电荷ρs。 于是有

表2-2 电磁场的边界条件

上述边界条件的含义可归纳如下: ①任何分界面上E的切向分量是连续的; ②在分界面上若存在面电流(仅在理想导体表面上存在), H的切向分量不连续, 其差等于面电流密度; 否则, H的切向分量是连续的; ③在分界面上有面电荷(在理想导体表面上)时, D的法向分量不连续, 其差等于面电荷密度; 否则, D的法向分量是连续的; ④任何分界面上B的法向分量是连续的。

2 .4 .2 两种特殊情况 理想介质是指 ，即无欧姆损耗的简单媒质。在两种理想介质的分界面上不存在面电流和自由电荷，即Js=0, 。 2 .4 .2 两种特殊情况 理想介质是指 ，即无欧姆损耗的简单媒质。在两种理想介质的分界面上不存在面电流和自由电荷，即Js=0, 。 表2-3 两种理想介质间的边界条件

表2-4 理想介质①和理想导体②间的边界条件

图 2-8 理想导体表面的电磁场

例2.5 同轴线横截面如图2-9（a）所示。设通过直流I,内外导体上电流大小西等，方向相反。求各区中的H和▽×H,并验证各分界处的边界条件。 图 2-9 (a) 同轴线; (b)平板电容器

［解］ 在直流情形下内外导体中电流密度是均匀的,分别为 。 由于H只有Hφ分量，由附录A中的式（A-31）知，

（2） （3）

（4） 以上▽×H结果证明表2-1中的麦氏方程组式(b)处处成立。下面再验证边界条件:

例 2 .6 设平板电容器二极板间的电场强度为3 V/m, 板间媒质是云母, εr=7 .4, 求二导体极板上的面电荷密度。 ［解］ 参看图2-9(b), 把极板看作理想导体, 在A , B板表面分别有

§2 .5 坡印廷定理和坡印廷矢量 2 .5 .1 坡印廷定理的推导和意义 2 .5 .2 坡印廷矢量

§2 .5 坡印廷定理和坡印廷矢量 2 .5 .1 坡印廷定理的推导和意义

将上式两端对封闭面S所包围的体积V进行积分, 并利用散度定理后得

式中右端各项被积函数的含义是: —电场能量密度, 单位: (F/m) (V2/m2)=J/m3; —磁场能量密度, 单位: (H/m) (A2/m2)=J/m3; pσ=E·J=σE2——传导电流引起的热损耗功率密度, 单位: (S/m) (V2/m2)=W/m3。

2 .5 .2 坡印廷矢量 代表单位时间内流出封闭面S的能量, 即流出S面的功率。 因此, 2 .5 .2 坡印廷矢量 代表单位时间内流出封闭面S的能量, 即流出S面的功率。 因此, 代表流出S面的功率流密度, 单位是W/m2, 其方向就是功率流的方向, 它与矢量E和H相垂直, 三者成右手螺旋关系, 如图2-10所示。 S称为坡印廷矢量。

图 2-10 坡印廷矢量

图2-11 同轴线的功率传输

例 2 .7 一段长直导线l, 半径为a, 电导率为σ。设沿线通过直流I, 试求其表面处的坡印廷矢量, 并证明坡印廷定理。 图 2-12 直流导线段

［解］ 故表面处坡印廷矢量为 它的方向垂直于导体表面, 指向导体里面。 为证明坡印廷定理, 需将S沿圆柱表面积分:

导体内的热损耗功率为 电路理论中的焦耳定理. 其微分形式为 此式代表场点处各单位体积的热损耗功率。

§2 .6 唯 一 性 定 理 设两组解E1 , H1和E2 , H2都是体积V中满足麦氏方程和边界条件的解。设媒质是线性的, 则麦氏方程也是线性的, 因而差场ΔE=E1-E2, ΔH=H1-H2必定也是麦氏方程的解。对这组差场应用坡印廷定理, 有

因S面上E或H的切向分量已给定, 这就是说 故必有 因而面积分等于零, 则