電 路 學 2. 電 路 分 析 方 法 2-1 電阻串聯電路與分壓定理 2-4 網目電流分析法 2-2 電阻並聯電路與分流定理 本章練習 2-3 節點電壓分析法

2-1 電阻串聯電路與分壓定理 (Circuits of Series Resistance and Voltage Division) 由 KVL 知 v = v1 + v2 + ...... + vN + - v i R1 R2 RN vN v2 v1 其中 v1 = R1i v2 = R2i … vN = RNi 則 v = R1i + R2i + ......+ RNi v 解 i 得 i = R1+R2+......RN 因此，等效電阻為 RN n=1 N = å Rs= R1+R2+......+RN 即　N 個串聯電阻的等效電阻 = 個別電阻的總和。 2-2

2-1 電阻串聯電路與分壓定理 (Circuits of Series Resistance and Voltage Division) 分壓定理： N 個串聯電阻的分壓定理，我們發現： 各個電阻上的電壓正比於其電阻值 v RS RN vN = R1 v1 = R2 v2 = … v1：v2：…：vN = R1：R2：…：RN （電阻串聯表示電流相同） 2-2

2-1 電阻串聯電路與分壓定理 (Circuits of Series Resistance and Voltage Division) 分壓定理範例 2-3：求下列電路中之 i、v1、v2 及 v3 值為何 ? (a) + - W 16 6 8 2 12 4 v 1 3 i 30 e V t ¢ a b c (b) + - W 2 16 4 12 v 1 i 30 e V t a b ¢ (c) + - W 2 8 v 1 30 e V t i a ¢ 解： 圖(a) 之電路可分別化簡為 (b)、(c) 之電路；於圖 (c) 應用 KLC 可得 -30e-2t + 2i + 8i = 0 即 i = 3e-2t (A) 依分壓定理跨於 a-a1 之電壓 v1 為 v1 = ( 　 ) 30e-2t = 24e-2t (V) 8 2+8 由圖(b)可得跨於 b-b1 之電壓 v2 為 v2 = ( 　 ) v1 = 6e-2t (V) 4 12+4 由圖(c)可得跨於 c-c1 之電壓 v3 為 v3 = ( 　 ) v2 = 4e-2t (V) 8 8+4 2-7

2-2 電阻並聯電路與分流定理 (Circuits of Parallel Resistance and Current Division) 由 N 個電導並聯電路中可得到 i = i1 + i2 + ...... + iN 其中 i1 = G1v i2 = G2v . iN = GNv + - v i G 1 2 N 所以 i = G1 v + G2 v + ...... + GN v v = i G1 + G2 + ... + GN 1 RP R1 R2 RN Rn n=1 N = + + ... + å 故其電阻表示式為 因此，等效電阻倒數等於各個電阻的倒數和。 Req = R1 || R2 = ――― R1 × R2 R1 + R2 若考慮 R1 及 R2 並聯時，其等效電阻為 2-5

2-2 電阻並聯電路與分流定理 (Circuits of Parallel Resistance and Current Division) 分流定理：各電阻中之電流反比於電阻。 iN = i = i GN GP M RP RN i2 = i = i G2 R2 i1 = i = i G1 R1 i1：i2：…：iN = G1：G2：…：GN = ： ：…： R1 1 R2 RN （電阻並聯表示電壓相同） 2-5

2-2 電阻並聯電路與分流定理 (Circuits of Parallel Resistance and Current Division) 分流定理範例 2-4：求下列電路中 i1、i2 之值為何 ? W 6 3 4 a b ¢ (a) (A) 12 i 1 2 W 3 6 A 12 a b ¢ (b) i 1 a A 12 ¢ (c) W 6 2 i 1 圖(a)可簡化成圖(b)及圖(c)，由圖(c)可得 i1 ＝ ―─ × 12 = 3(A) 2 2 + 6 æ è ö ø 解： 由圖(a)可得 i2 = (―――) i1 = ― × 3 = ― (A) 4 4+6+6 1 3 2-8

2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 根據 KCL，且設流出節點之方向取正號，可得 在節點 a i1 + i2 – is1 = 0 或 G1 (va – vb) + G2va – is1 = 0 在節點 b -i1 + i3 + i4 = 0 或 -G1 (va – vb) + G3vb + G4 (vb – vc) = 0 在節點 c -i4 + i5 + is2 = 0 或 -G4 (vb – vc) + G5vc + is2 = 0 整理上述三個式子可得 (G1 + G2)va – G1vb + 0 = is1 -G1va (G1 + G3 + G4) vb – G4vc = 0 0 – G4vb + (G4 + G5) vc = -is2 G 1 4 2 3 5 i s a b d 由上列三個聯立方程式，可解 va , vb , vc ，而 va , vb , vc解出後 　各電流亦可解得。上述聯立方程式可由如下矩陣式表現之： ú û ù ê ë é = – is2 is1 va vb vc G1 + G2 – G1 – 0 – G1 G1 + G3 + G4 – G4 – 0 – G4 G4 + G5 上述矩陣可用高斯消去法來求解 va , vb , vc。 2-9

2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 可直接觀察列出節點方程式，說明如下： 係數為負數 G v i N NN 11 12 1 21 22 2 - é ë ê ù û ú = ...... . . . 其中包括 G 元素之矩陣稱為電導矩陣，且 v1 . . . vN 為 N 個節點對參考節點(接地)之電壓 Gjj 為與節點 j 相連之所有分支電導之和，亦稱節點 j 之電導。 Gjk = Gkj , j ≠ k ，為連接節點 j 與 k 間所有分支電導之和， 若無直接連接則其值為零，亦稱節點 j 與 k 間之互電導。 ij 為流入節點 j 之所有電流源之代數和。 2-10

2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 在應用節點分析時，我們須注意下列重要觀念： 對一具有 M 個節點之電路而言，將有 M-1 個節點電壓， 除非部份節點電壓已知，否則此路應有 M-1 個節點方程式， 或有(M-1) 階的電導矩陣。 電導矩陣中，非對角線上的元素對稱於對角線。 須注意電導矩陣的對稱性只存在具獨立電源之電路。 若電路中含非獨立電源時，則此對稱性將會不存在。 若電路中包含獨立電壓源時，通常可以減少未知之節點電壓， 但在較複雜情況時，須利用超節點 (Supernode) 觀念求解， 此時應循KCL建立方程式，而避免直接使用矩陣式。 2-11

2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 例 2-5：求右圖電路中之 v1 , v2 , v3 , i1 , i2 , i3 , i4 值。 解： (1)此電路之矩陣可列出如下 1 A 2 3 W 4 v i G11 = 3 G22 = 5 G33 = 5 G12 = G21 = 1 G13 = G31 = 2 G23 = G32 = 2 Ω 因此 3 1 2 5 - é ë ê ù û ú = v1 v2 v3 \ = - v 1 65 50 3 D . 2 17 34 56 12 i 64 ( ) A + 36 4 依克來莫法則 D = - = 3 1 2 5 50 65 17 56 D2 = D3 = D4 = 2-11

2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 解法說明：假設流出為“＋” (1) For node 1： 2+1× (v1-v2)+2×(v1-v3) = 0 Þ(1+2) × v1-1×v2-2 × v3 = -2 ÞG11v1+G12v2+G13 = Is1 1 A 2 3 W 4 v i (2) For node 2： 1× (v1-v2) + 4 × (v2-0) - 3= 0 Þ-1× v1+(1+4)v2+ 0 × v3 = 3 ÞG21v1+G22v2+G23v3 = Is2 (3) For node 3： 2× (v3-v1) + 3 × (v3-0) + 3= 0 Þ-2× v1+ 0 × v2 +(2+3)v3 = -3 ÞG31v1+G32v2+G33v3 = Is3 = 3 × 5 × 5 + (-1) × 0 × (-2) + (-1) × 0 × (-2) -(-2) × 5 × (-2) - 0 × 0 × 3 - (-1) × (-1) × 5 = 75 + 0 + 0 - 20 - 0 - 5 = 50 5 2 1 3 - = D (4) 3 1 2 5 - é ë ê ù û ú = v 2-12

2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 超節點說明： 下圖之電路中原有 v1、v2、v3、v4、v5 等5個節點電壓待解， 但由於 v1 = vs1 , v5 – v4 = vs2，故共須解出 v2、v3、v4 即可， 　　　　　且可將兩端視為超節點處理。 　　　　　故此電路只須三個 KCL 方程式，其方程式如下： + - 1 2 3 4 5 v s G 6 1. 節點 2： (G1 + G2 + G4)v2 – G1v1 – G2v3 – G4v5 = 0 2. 節點 3： (G2 + G3 + G5)v3 – G2v2 – G5v4 = 0 3. 最後，進入超節點的電流等於離開超節點的電流， 因而可得： G4 (v5 – v2) + G5 (v4 – v3) + G6v5 = 0 故電路分析可同時解上面三式而完成。 節點分析的改進： 有電壓源的節點分析法，可依下列步驟求解： 1. 對每個電壓源取 KVL ，以便得到以非參考節點電壓為變數的方程式。 2. 由電壓源找出超節點，並對不屬於超節點的每個非參考節點取 KCL 。 3. 對每個不含參考點的超節點取 KCL 。 無作用的超節點範例： 在節點1、2、3 應用 KCL 定律 (假設流出為正) 求得方程式為 + - 1 2 3 v s 4 G b ( ) 5 ) ( 1 3 2 = - + v G s 4 b 5 4 = v s 2-13

2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 無作用的超節點範例： 在節點1、2、3 應用 KCL 定律 (假設流出為正) 求得方程式為 4 G 1 1 G 2 2 G 3 + - 3 G 4 4 = v s ) ( 1 3 2 = - + v G s 4 b 5

2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 例 2-8：求右圖電路之 v2 , v3 , v4 值已知 v1 = 100V。 4 W i 3 4 W v 4 1 v 1 W 2 v 1 v 3 2 4 i 3 i i + 2 5 1 - 100 V 2 v 2 W 2 4 W 解題方向： - + 取兩個電壓源及參考節點 3 為超節點，可得 超節點 (a) 在節點 2 ) ( 100 2 i - = Þ + i i 1 - v ) 2 v + 4 v v 1 2 3 2 4 v 3 2 = - (b) 在節點 3 (c) 在節點 4 i + i + i = Þ 4 ( v - v ) + 4 ( v - ( v ) + 4 - v ) = 3 4 5 2 4 3 4 4 由上面三式可列出電導矩陣式為 ú û ù ê ë é = - 100 3 1 2 4 7 v 解之可得 v 2 3 4 12 24 = - (V) 2-16

2-4 網目電流分析法 (Mesh Current Analysis) 網目分析法是由列出網目方程式而開始，此方程式可利用 KVL 環繞此 網目而獲得。方程式中的未知數是電流，而電阻器兩端的電壓為 IR， 不論網目中電流方向如何預設，只要 KVL 及歐姆定律正確使用即可。 考慮右圖電路之網目，此電路有 2 個網目，故須列出 2 個網目方式， 待解之未知數為網目 Ia 及 Ib。 　 依 KVL 在 + - 1 R v g 2 I 3 b a c d e f 網目 1. (a-b-e-f-a)  -vg1+I1R1+I3R3  0 網目 2 (b-c-d-e-b)  -I3R3+I2R2+vg2  0 整理之，可得網目方程式 I1R1+ I3R3 = vg1 I2R2+ I3R3 = vg2 在節點 b，  I3=I1-I2 又觀察電路得知 I a 1 = b 2 所以 I3=Ia-Ib 電流： 將上列式子所求得的電流代入網目方程式整理得知 ( ) R I v a b g 1 3 + - = 2 é ë ê ù û ú 2-19

2-4 網目電流分析法 (Mesh Current Analysis) 直接觀察法 可輕易列出下列矩陣，其表示式如下： + - 1 R v g 2 I 3 b a c d e f R i v M MM 11 12 1 21 22 2 ± é ë ê ù û ú = ...... ..... 其中 M ：電路中網目之數目。 v1：第 j 個網目沿網目電流方向之電源電壓升之和。 i1：第 j 個網目之電流。 Rjj：個網目所有分支電阻之和，此稱為網目 j 之自電阻 Rjk=Rk j：第 j 個網目與第 k 個網目公共元件電組之總和， 此稱為網目 j 與網目k之互電阻，ij , ik 同向則 Rjk(及 Rk j) 取“＋”號， ij , ik 反向則 Rjk(及 Rk j) 取“－”號。 一般進行網目分析時網目電流均取順時針方向，例如上圖之電路， 因 Ia , Ib 方向在公共元件 R3 中方向相反，故電阻矩陣中 R3 取負號， 若在 R3 中 Ia 及 Ib 同向，則 I3=Ia+Ib， 其矩陣式將為 R I v a b g 1 3 2 + é ë ê ù û ú = 2-20 其中R3已為正號，且因vg2在此情況為電壓升故取正值。

2-4 網目電流分析法 (Mesh Current Analysis) 進行平面電路之網目分析時，應注意下列幾點重要觀念： 1. 網目分析法之網目方程式的數目等於電路中網目之數目， 或電阻矩陣之階數，但若部份網目電流已知， 則其階數將隨已知之網目電流減少。 2. 假設所有網目電流方向均為順時針方向較容易建立方程式， 避免錯誤。 3. 僅包含獨立電源之電路，其電阻矩陣中，非對角線上的元素 對稱於對角線。若電路包含非獨立電源時， 則此對稱性將不會存在，此點稍後會有說明。 4. 若電路中包含獨立電流源時，通常可以減少未知之網目電流， 但在較複雜之情況時，須利用超網目觀念求解， 此時應循 KVL 建立方程式，而避免直接使用矩陣式， 此點亦將在後面加以說明。 2-23

2-4 網目電流分析法 (Mesh Current Analysis) 例 2-14：求下圖電路之 i1 , i2 , i3 值。 超網目 + - V 2 W 1 3 A v 5 6 i 解:(A) 第一個網目依 KVL 得 2 3 1 i + - = ( ) 第二及第三個網目可構成一超網目 i 3 2 - = A 3 1 2 ( ) i - = × + 依 KVL 得 二個方程式之矩陣式(?) (B)上述三個方程式以矩陣式表示可得 - 5 3 4 1 2 é ë ê ù û ú = i ANS: i 1 2 3 11 9 7 = - (A) (A ; ) 2-24

2-4 網目電流分析法 (Mesh Current Analysis) W 4 1 + - A 2 3 v 5 i 超網目 例 2-16：求右圖電路中之 i1 , i2 , i3 值。 解： (a) 網目1 無法依 KVL 建立網目方程式，但可觀察出 i1 – i3 = 1 (b) 網目2 無法依 KVL 建立網目方程式，但可觀察出 i1 – i2 = 2v3 = 2(3i2) (c) 網目3 無法依 KVL 建立網目方程式，但可選擇 2Ω、3Ω、4Ω 三個元件所組成之超網目建立 KVL 方程式，即 2i1 + 3i2 + 4i3 = 0 由上述三個方程式列出如下矩陣式 1 7 2 3 4 - é ë ê ù û ú = i 解之可得 i1 i2 i3 28 45 4 17 = - (A) ; 2-24

本章練習 2-20 請以節點分析法求右圖電路 之節點電壓 v1 , v2 , v3 值。 答：20 V , V , 18 V 2-20 請以節點分析法求右圖電路 之節點電壓 v1 , v2 , v3 值。 + - W 1 V 20 2 A 5 3 15 6 v 答：20 V , V , 18 V -2 3 v1 v2 2-22 請以網目分析法求電壓增益 + - W 150 k 5 1 2 15 v i b 750 ki 答：-51.94 2-32