第三章 数据的集中趋势及其描述 主要内容 第一节 众数与中数 第二节 算术平均数 第三节 其他集中量数 理解与练习

第一节 众数与中数 一、众数 （一）众数的计算方法 （二）众数的意义与应用 二、中数 （一）中数的求法 （二）中数的优缺点及其应用

一、众数 众数又称范数、密集数、通常数等，常用符号M0表示。众数是指一组数据中出现次数最多的那个数值。 （一）众数的计算方法 1、直接观察求众数 直接观察求众数的方法很简单，就是只凭观察找出出现次数最多的那个数就是众数。 2、用公式求众数 金氏插补法 ：

二、中数 （二）众数的意义与应用 在统计实践中，当一组数据出现不同质的情况，或分布中出现极端数据时，一般可用众数作为集中量数的粗略估计 。 中数又称中位数、中点数、中值，符号为Md或Mdn。中数是指位于一组数据序列中间位置的那个数值。它可能是序列中的某一个原始数据，也可能不是原始数据而要通过计算得到的一个数值。如果将一组数据按照大小顺序排列，那么中数一定是将数据个数平均分为大小相等两部分的那个数。

（一）中数的求法 1、未分组数据中数的求法 根据中位数的概念，首先将数据按照大小顺序排序，然后找出位于中间的那个数，即中数。数在数据序列中的位置： nMdn= 2、分组数据中数的求法 对已经分组的等距数据，可用如下公式中的任意一个计算中数：

（二）中数的优缺点及其应用 优点：计算简单、不受极端数据影响 。 缺点：计算时不是每个数据都加入计算，因而有较大的抽样误差，不如平均数稳定 ；由于中数难以做进一步的代数运算，故在多数情况下，中数不如其他集中量数据尤其是平均数应用广泛。 应用：当一组观察数据中出现极端数据时，或一组数据的两端有模糊数据出现时，用中数来描述这组数据的集中趋势就会显得更为科学、合理。另外，当需要快速估计一组数据的典型水平时，也常用到中数。

第二节 算术平均数 一、总体平均数与样本平均数 二、加权平均数 三、算术平均数的性质及其优缺点 四、众数、中数和算术平均数间的关系 第二节 算术平均数 一、总体平均数与样本平均数 二、加权平均数 三、算术平均数的性质及其优缺点 （一）算术平均数的基本性质 （二）算术平均数的优缺点 四、众数、中数和算术平均数间的关系

一、总体平均数与样本平均数 如果一个总体X包含N个元素， 是这个总体的第i个元素，则称 为第i个观测值，那么对总体而言，总体的算术平均数被定义为： 样本的算术平均数被定义为：

二、加权平均数 如果已知各组平均数和各组频数，要求总的平均数时，便要使用加权平均数的方法，其计算公式为：

三、算术平均数的性质及其优缺点 （一）算术平均数的基本性质 （1）每个观测值都加上一个相同的常数d后，计算得到的平均数等于原平均数加上这个常数d。 （2）每个观测值都乘以一个相同的常数c后，计算得到的平均数等于原平均数乘以这个常数 c（c为不等于0的常数）。 （3）每个观测值都乘以一个相同常数c，再加上一个常数d后，计算得到的平均数等于原平均数乘以该常数c再加上常数d。 （4）观测值与平均数离差（即离均差）的总和为零 。 （5）观测值与任意常数c的离差平方和，不小于观测值与平均数的离差平方和。

（二）算术平均数的优缺点 优点：反应灵敏、确定严密、简明易解、计算 简便并能做进一步的代数运算等优点，是统计分析中应用最普遍的一种集中量数。 优点：反应灵敏、确定严密、简明易解、计算 简便并能做进一步的代数运算等优点，是统计分析中应用最普遍的一种集中量数。 缺点：算术平均数比较容易受极端数据的影响，当出现模糊数据和存在不同质数据时就无法计算算术平均数，而此时则应该选择其他集中量数，譬如中数或众数等来描述其集中趋势。

四、众数、中数和算术平均数间的关系 下面这个公式既是前面三种集中量数之间的一个关系，也是求众数的皮尔逊经验方法：

第三节 其他集中量数 一、几何平均数 二、调和平均数 （一）几何平均数的基本公式 （二）几何平均数在教育心理研究中的应用 （一）计算公式 第三节 其他集中量数 一、几何平均数 （一）几何平均数的基本公式 （二）几何平均数在教育心理研究中的应用 二、调和平均数 （一）计算公式 （二）调和平均数的应用

一、几何平均数 在教育与心理统计实践中，当需要处理的数据有以下两种情况之一时，一般都用几何平均数来表示数据的集中趋势。 一种情况是，一组数据中任何两个相邻数据之比接近于一个常数，即数据按一定的比例关系变化。在教育与心理研究中，当求平均增长率或对心理物理学中的等距与等比量表实验的数据进行处理时，均应使用几何平均数。 另一种情况是，当一组数据中存在极端数据，分布呈现出偏正态时，此时算术平均数不能很好地反映该组数据的典型情况，应使用几何平均数或其他集中量数，譬如，中数、众数等来反映该组数据的典型情况。

（一）几何平均数的基本公式 计算几何平均数的基本公式如下： 在n很大时，要开n次方，计算比较困难，为此，可使用对数形式来计算。因而，几何平均数有时又称对数平均数，对数计算公式如下：

（二）几何平均数在教育与心理研究中的应用 1、心理物理学中等距与等比量表实验的数据处理 2、教育与心理研究中平均增长率的计算

二、调和平均数 在涉及“平均速率” 问题时，需要运用调和平均数。调和平均数，用符号 表示。因在计算中先将各个数据取倒数平均，然后再取倒数，故又称倒数平均数。 （一）计算公式 （二）调和平均数的应用 调和平均数在教育与心理研究中的应用，主要是用来描述学习速度方面的问题。

理解与练习 1、某年级四个班的学生人数分别为50人，52人，48人，51人，期末数学考试各班的平均成绩分别为90分，85分，88分，92分，试求该年级的平均数学成绩。

2、某校新生入学人数三年逐渐增加情况如下表所示，试问平均每年入学人数的增长率是多少？ 年 份 新生入学人数 第一年 40 第二年 360 第三年 1440

3、某班50人外语期末考试成绩的次数分布表如下，试求全班学生成绩的平均数和中位数。 组别 组中值 次数 90～94 92 3 85～89 87 10 80～84 82 15 75～79 77 8 70～74 72 5 65～69 67 60～64 62 4 55～59 57 2 ∑ 50