第三章 远期与期货定价

2017/4/12 目录 预备知识 远期合约的定价 远期与期货价格的一般结论 远期（期货）价格与标的资产现货价格的关系

目录 预备知识 远期合约的定价 远期与期货价格的一般结论 远期（期货）价格与标的资产现货价格的关系

投资性资产与消费性资产 投资性资产（Investment Assets） 消费性资产（Consumption Assets） 此类资产的主要持有者以投资为目的 可能部分持有者以消费为目的 消费性资产（Consumption Assets） 主要持有者以消费为目的

卖空（ Short Selling ） 出售不拥有的资产 向其他投资者借入该资产并卖出 未来需买回归还 此期间需支付原持有者应获得的股利等收入

远期价值、远期价格与期货价格 交割价格（ Delivery Price ） 远期价值：远期合约本身的价值 远期价格（ Forward Price ）： 使得远期价值为零的合理交割价格 期货价格（ Futures Price ）

远期价格与期货价格的关系 当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时， 其他条件相同的远期价格和期货价格相等。 当利率变化无法预测时，两者略有不同 当标的资产价格与利率呈很强的正相关关系时，期 货价格高于远期价格 当标的资产价格与利率呈很强的负相关关系时，远 期价格高于期货价格

基本假设 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套 利机会消失，我们得到的理论价格就是没有套利机会下的均 衡价格 没有违约风险 没有交易费用和税收 期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任 何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头头寸 市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 允许卖空

主要符号 T： 远期和期货合约的到期时刻，单位为年。 t： 当前时刻，单位为年。T - t 代表远期和期货 合约中以年为单位的距离到期的剩余时间。 S： 远期（期货）标的资产在时间t 时的价格。 ST： 远期（期货）标的资产在时间T 时的价格 （在t 时刻此为未知变量）。

K： 远期合约中的交割价格。 f： 远期合约多头在t 时刻的价值，即t 时刻的 远期价值。 F： t 时刻的理论远期价格和理论期货价格. r： T 时刻到期的以连续复利计算的t 时刻的无 风险利率（年利率）。

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思考题 假设黄金现货价格为1000美元，市场普遍认为 1年后黄金现货价格会涨到2000美元，请问：1 年期黄金期货目前的价格应为1000美元左右还 是2000美元左右？

人民币在岸即期汇率与离岸远期汇率的关系

沪深300股指期货行情 2015.9.2 价格 贴水 沪深300指数 3365.83 IF1509 2965.8 12.65% IF1510 2818.4 17.75% IF1512 2675.4 22.96% IF1603 2638.8 24.34% 2016.9.14 价格 贴水 沪深300指数 3238.73 IF1609 3235.0 0.12% IF1610 3187.8 1.59% IF1612 3134.4 3.27% IF1703 3081.6 4.97%

上证50股指期货行情 2015.9.2 价格 贴水 上证50指数 2243.63 IH1509 2007.8 11.11% IH1510 1928.6 15.13% IH1512 1827.0 20.54% IH1603 1804.0 21.81% 2016.9.14 价格 贴水 上证50指数 2176.52 IH1603 2175.0 0.07% IH1604 2154.0 1.04% IH1606 2128.0 2.25% IH1609 2120.4 2.61%

中证500股指期货行情 2015.9.2 价格 贴水 中证500指数 6122.55 IC1509 5377.0 12.98% IC1510 5009.0 20.07% IC1512 4724.8 25.92% IC1603 4617.0 28.22% 2016.9.14 价格 贴水 中证500指数 6278.16 IC1609 6270.0 0.13% IC1610 6157.4 1.94% IC1612 5976.2 4.93% IC1703 5782.0 8.23%

投机vs套利 谁更强大？ 结果： 投机力量主导时：基差主要受情绪主导 套利力量主导时：基差主要受持仓成本主导 套保者希望什么状态？

无套利定价法

无收益资产的远期价值 无收益资产是指在远期到期前不产生现金流的 资产，如贴现债券。 构建组合： 组合A ： 一份远期合约多头加上一笔数额为 𝐾 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 的现金（无风险投资） 组合B ： 一单位标的资产

远期合约到期时，两种组合都等于一单位标的 资产，因此现值必须相等。

两种理解： 无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货 价格与交割价格现值的差额。 一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资 产多头和𝐾 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 无风险负债组成。

现货-远期平价定理 远期价格： 无收益资产的现货-远期平价定理：对于无收 益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价 格的无风险终值。 F 就是使合约价值f 为零的交割价格K 。 无收益资产的现货-远期平价定理：对于无收 益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价 格的无风险终值。

反证法 运用无套利原理对无收益资产的现货-远期平 价定理的反证

案例3.1 假设6 个月期的无风险年利率为4.17% （连续 复利）。市场上正在交易一份标的证券为一年 期零息债、剩余期限为6 个月的远期合约多头 ，其交割价格为97元，该债券的现价为96 元 。请问对于该远期合约的多头和空头来说，远 期价值分别是多少？

根据题意，有 𝑆 = 960; 𝐾 = 970; 𝑟 = 4.17%; 𝑇 − 𝑡 = 0:5 根据式（ 3.1 ），该远期合约多头的远期价值f 为 该远期合约空头的远期价值为 − 𝑓 = −10.02 元

远期价格的期限结构 远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价 格之间的关系。 案例3.3

已知现金收益的资产 已知现金收益的资产 例子 令已知现金收益的现值为I ，对黄金、白银来 说， I 为负值。 在到期前会产生完全可预测的现金流的资产 例子 正现金收益的资产：附息债和支付已知现金红利的 股票 负现金收益的资产：黄金、白银（支付存储成本） 令已知现金收益的现值为I ，对黄金、白银来 说， I 为负值。

支付已知现金收益资产的远期价值I 组合A ： 一份远期合约多头加上一笔数额为𝐾 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 的 现金 构建组合 组合B ： 一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限 为从现在到现金收益派发日、本金为I 的负债 远期合约到期时，两组合都等于一单位标的资产

支付已知现金收益资产的远期价值II 两种理解： 由于使用的是I 的现值，所以支付一次和多次现 金收益的处理方法相同。 支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的 证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格 现值之差。 一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一 单位标的资产和 𝐼+𝐾 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 单位无风险负债构成。 由于使用的是I 的现值，所以支付一次和多次现 金收益的处理方法相同。

支付已知现金收益资产的现货－远期平价公式 根据F 的定义，可从上式求得： 理解：支付已知现金收益资产的远期价格等于 标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的 无风险终值。

反证法

案例3.5 假设黄金现货价为每盎司733 美元，其存储成本 为每年每盎司2 美元，一年后（期货到期前）支 付，美元一年期无风险连续复利利率为4% 。 那么一年期黄金期货的理论价格为 其中，𝐼=−2 𝑒 −4%×1 =－1.92 ，故

支付已知收益率的资产 支付已知收益率的资产 支付已知收益率资产的远期合约 在远期到期前将产生与该资产现货价格成一定比率 的收益的资产 外汇远期和期货：外汇发行国的无风险利率 股指期货：市场平均红利率或零，取决于股指计算 方式 远期利率协议：本国的无风险利率

组合A ： 一份远期合约多头加上一笔数额𝐾 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 的现金； 建立组合： 组合A ： 一份远期合约多头加上一笔数额𝐾 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 的现金； 组合B ： 𝑒 −𝑞 𝑇−𝑡 单位证券并且所有收入都再投资 于 该证券，其中q 为该资产按连续复利计算的 已知收益率。 两种组合现值相等

两种理解： 支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于 𝑒 −𝑞 𝑇−𝑡 单位证券的现值与交割价现值之差。 𝑒 −𝑞 𝑇−𝑡 单位证券的现值与交割价现值之差。 一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可由 𝑒 −𝑞 𝑇−𝑡 单位标的资产和𝐾 𝑒 −𝑟 𝑇−𝑡 单位无风险负债 构成。

因此支付已知收益率资产的远期价格为

案例3.6 假设3 个月期无风险年利率为4% （连续复利 ），沪深300指数预期红利收益率为1.5% 。当 沪深300 指数为2200 点时，3个月后到期的沪 深300股指期货的理论价格应为多少？ 运用定价公式

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持有成本 持有成本（Cost of Carry） = 保存成本+ 利息成本 − 标的资产在合约期限内的收益

例子 不支付红利的股票，没有保存成本和收益，所以持 有成本就是利息成本𝑟 股票指数的持有成本是𝑟−𝑞 外币的持有成本是𝑟− 𝑟 𝑓

远期和期货定价中的持有成本（ c ）概念：

非完美市场上的定价：存在交易成本 存在交易成本： 假定每一笔交易的费率为𝑌 ，那么不存在套利机会 的远期价格就不再是确定的值，而是一个区间

非完美市场上的定价：借贷存在利差 借贷存在利差： 如果用 𝑟 𝑏 表示借入利率，用 𝑟 𝑙 表示借出利率，对非 银行的机构和个人，一般是 𝑟 𝑏 > 𝑟 𝑙 。这时远期和期 货的价格区间为：

非完美市场上的定价：存在卖空限制 现货持有者不一定套利，同时存在卖空限制： 因为卖空会给经纪人带来很大风险，所以几乎所有 的经纪人都扣留卖空客户的部分所得作为保证金。 假设由于卖空限制增加的成本比例为𝑋 ，那么均衡 的远期和期货价格区间应该是：

非完美市场上的定价：综合考量 如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格 区间为： 完美市场可以看成是𝑋 = 0, 𝑌 = 0, 𝑟 𝑏 = 𝑟 𝑙 = 𝑟的特殊情况。

消费性资产的远期合约定价 消费性资产是指那些投资者主要出于消费目的 而持有的资产，如石油、铜、农产品等。 对于消费性资产来说，远期定价公式为

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同一时刻远期（期货）价格与标的资产现货价格的关系 同一时刻的两者价格高低取决于持有成本 标的资产的现货价格对同一时刻的远期（期货） 价格起着重要的制约关系（案例3.7 ） 远期（期货）与现货的相对价格只与持有成本有 关，与预期未来现货的涨跌无关。 价格的领先滞后关系（价格发现功能）。

当前远期（期货）价格与标的资产预期的未来现货价格的关系I

当前远期（期货）价格与标的资产预期的未来现货价格的关系II 在一个无套利的有效市场中，标的资产和其冗余 证券期货之间具有一体化性质，期货的预期收益 率总是正好等于标的资产的风险溢酬。 转移风险和管理风险是期货市场的最本质功能。