大地工程原理 第三章 重量―體積關係

重量－體積關係 3.1 概述 3.2 重量－體積關係 3.3 單位重、孔隙比、含水量和比重間的相互關係 3.4 單位重、孔隙率和含水量間的相互關係 3.5 各種與單位重相關的關係式 3.6 相對密度 3.7 emax與emin之評論 3.8 emax、emin、emaxemin間之關係與平均粒徑（D50） 3.9 總結 第三章 重量－體積關係 第65頁

3.1 概述 本章我們將討論以下之議題： 定義並推導，例如，孔隙比、孔隙率與飽和度這些無因次體積參數間之關係式。 3.1 概述 本章我們將討論以下之議題： 定義並推導，例如，孔隙比、孔隙率與飽和度這些無因次體積參數間之關係式。 定義並推導，例如，含水量和單位重（乾、飽和、濕性）這些重量與重量或重量與體積間之關係式。 第三章 重量－體積關係 第66頁

3.2 重量－體積關係 總重量 = W 總體積=V 空氣 水 固體 圖3.1 (a) 自然狀態下之土壤單元；(b) 土壤單元之三相 3.2 重量－體積關係 總重量 = W 總體積=V 空氣 水 固體 圖3.1 (a) 自然狀態下之土壤單元；(b) 土壤單元之三相 第三章 重量－體積關係 第67頁 圖3.1

3.2 重量－體積關係 土壤三相問題中常用之體積關係（volume relationships）包括孔隙比（void ratio）、孔隙率（porosity）和飽和度（degree of saturation）。孔隙比（e）之定 義是空隙體積與固體體積之比值，所以 (3.3) 第三章 重量－體積關係 第67頁

3.2 重量－體積關係 孔隙率（porosity）（n）之定義是空隙體積與總體積之比值，也就是 3.2 重量－體積關係 孔隙率（porosity）（n）之定義是空隙體積與總體積之比值，也就是 飽和度（degree of saturation）（S）之定義是水之體積與空隙體積之比值，也就是 飽和度通常以百分比來表示。 (3.4) (3.5) 第三章 重量－體積關係 第67頁

3.2 重量－體積關係 孔隙比與孔隙率間的關係如下： 同時，根據公式(3.6)， (3.6) (3.7) 3.2 重量－體積關係 孔隙比與孔隙率間的關係如下： 同時，根據公式(3.6)， (3.6) (3.7) 第三章 重量－體積關係 第67-68頁

3.2 重量－體積關係 常用的重量關係（weight relationships）包括含水量（moisture content）和單位重（unit weight）。含水量（moisture content）（ w ）在英文中也稱之為water content，其定義為土壤中水重量與土重量之比值： (3.8) 第三章 重量－體積關係 第68頁

3.2 重量－體積關係 單位重（unit weight）（ γ ）是每一土壤單位體積內之土重。所以， 3.2 重量－體積關係 單位重（unit weight）（ γ ）是每一土壤單位體積內之土重。所以， 土壤工程師有時將公式(3.9) 所示之單位重稱為濕單位重（moist unit weight）。 (3.9) 第三章 重量－體積關係 第68頁

3.2 重量－體積關係 計算土體問題時，我們必須知道在乾的狀況下，單位體積內土壤的重量。此重量稱之為乾單位重（dry unit weight）（ γd ）。 (3.11) 第三章 重量－體積關係 第68頁

3.3單位重、孔隙比、含水量和比重間的相互關係 重量 體積 空氣 水 固體 圖3.2　 土壤固體體積為1 之土壤單元三相圖 第三章 重量－體積關係 第70頁 圖3.2

3.3單位重、孔隙比、含水量和比重間的相互關係 現在，利用單位重與乾單位重之定義（根據公式(3.9) 和(3.11)），我們可以寫出 和 或 (3.16) (3.17) (3.18) 第三章 重量－體積關係 第70-71頁

3.3單位重、孔隙比、含水量和比重間的相互關係 因為此土壤單元內水的重量為wGsγw，所以水所占的體積為 第三章 重量－體積關係 第71頁

3.3 單位重、孔隙比、含水量和比重間的相互關係 3.3 單位重、孔隙比、含水量和比重間的相互關係 根據飽和度的定義（公式(3.5)）， 或 這個公式在解三相問題時很有用。 (3.19) 第三章 重量－體積關係 第71頁

3.3單位重、孔隙比、含水量和比重間的相互關係 如果土壤試體是飽和的（saturated）── 也就是說，空隙的空間被水全部占滿（圖3.3）── 飽和單位重（ γsat ）也可用相似的方法導出： 同時，根據公式(3.19)，當S = 1 時， (3.20) (3.21) 第三章 重量－體積關係 第71-72頁

3.3單位重、孔隙比、含水量和比重間的相互關係 重量 體積 水 固體 圖3.3 土壤固體體積為1 之飽和土壤單元 第三章 重量－體積關係 第71頁 圖3.3

3.3單位重、孔隙比、含水量和比重間的相互關係 空氣 水 固體 圖3.4 顯示質量－體積關係之土壤三相圖 第三章 重量－體積關係 第72頁 圖3.4

3.4 單位重、孔隙率和含水量間的相互關係 重量 體積 空氣 水 固體 圖3.5 總體積為1 之土壤單元 3.4 單位重、孔隙率和含水量間的相互關係 重量 體積 空氣 水 固體 圖3.5 總體積為1 之土壤單元 第三章 重量－體積關係 第74頁 圖3.5

3.4 單位重、孔隙率和含水量間的相互關係 重量 體積 水 固體 圖3.6 總體積為1 之飽和土壤單元 3.4 單位重、孔隙率和含水量間的相互關係 重量 體積 水 固體 圖3.6 總體積為1 之飽和土壤單元 第三章 重量－體積關係 第74頁 圖3.6

3.5 各種與單位重相關的關係式 第三章 重量－體積關係 第75頁 表3.1

3.5 各種與單位重相關的關係式 第三章 重量－體積關係 第76頁 表3.2

例題 3.1 對一飽和土壤，證明 第三章 重量－體積關係 第75頁

例題 3.1－解 從公式(3.15)， 同時從公式(3.3)， (a) (b) (c) 第三章 重量－體積關係 第76頁

例題 3.1－解 將公式(b) 與(c) 代入公式(a)， 從公式(3.21)， (d) 將公式(e) 代入公式(d) 得到， (e) 第三章 重量－體積關係 第76頁

例題 3.2 一土壤在現地之飽和單位重與含水量分別是18.55 kN/m3 與33%。決定此土壤固體之比重以及其現地之孔隙比。 第三章 重量－體積關係 第77頁

例題 3.2－解 因為飽和單位重與含水量都是比值，可以做以下之簡化。假設總體積V = 1 m3。 已知：sat = 18.55 kN/m3，而wsat = 33% 從公式(3.9)， 或 第三章 重量－體積關係 第77頁

例題 3.2－解 同時， 所以， 並且 第三章 重量－體積關係 第77頁

例題 3.2－解 因為 w = 9.81 kN/m3， 因為土壤是完全飽和，Vv = Vw = 0.469 m3。 所以， Vs = V = Vv = 1  0.469 = 0.531 m3。 第三章 重量－體積關係 第77頁

例題 3.2－解 從公式(3.3)， 從公式(3.15)， 第三章 重量－體積關係 第77-78頁

例題 3.3 一準備做試驗室試驗之圓柱形土壤試體，其直徑71 mm，高度142 mm，而重量是10.675 × 103 kN。如果其飽和度是93%，而土壤的固體比重是2.71，決定： 孔隙比 含水量 完全飽和情況下之含水量 第三章 重量－體積關係 第78頁

例題 3.3－解(a) 已知：W = 10.675 × 103 kN；S = 93%；Gs = 2.71 試體體積， (a) 第三章 重量－體積關係 第78頁

例題 3.3－解(a) 已知 所以，公式(a) 變成 或 (b) 第三章 重量－體積關係 第78頁

例題 3.3－解(a) 因為 將Vs代入公式(b)，我們得到 (c) (d) 第三章 重量－體積關係 第79頁

例題 3.3－解(a) 將已知數值代入公式(d)， 所以， 第三章 重量－體積關係 第79頁

例題 3.3－解(b) 使用公式(c)， 所以Vs = 0.318 × 103 m3 第三章 重量－體積關係 第79頁

例題 3.3－解(b) 同時 已知含水量是 第三章 重量－體積關係 第79頁

例題 3.3－解(c) 在飽和情況下，Vw = Vv = 0.244 × 103 m3 。 所以， 第三章 重量－體積關係 第79-80頁

例題 3.4 一濕性土壤，在其天然狀態之總體積是9.34 × 103 m3 ，而重量是177.6 × 103 kN。土壤在烘箱乾燥後之土壤重是153.6 × 103 kN。如果比重Gs = 2.67，計算： 含水量（%）。 濕單位重（kN/m3 ）。 乾單位重（kN/m3 ）。 孔隙比。 孔隙率。 飽和度（%）。 第三章 重量－體積關係 第80頁

例題 3.4－解(a) 從公式(3.8)， 第三章 重量－體積關係 第80頁

例題 3.4－解(b) 從公式(3.9)， 第三章 重量－體積關係 第80頁

例題 3.4－解(c) 從公式(3.11)， 第三章 重量－體積關係 第80頁

例題 3.4－解(d) 固體體積是（公式(3.15)） 所以， 第三章 重量－體積關係 第81頁

例題 3.4－解(d) 水的體積是 現在，參考圖3.7。從公式(3.3)， 第三章 重量－體積關係 第81頁

例題 3.4－解(e) 從公式(3.4)， 第三章 重量－體積關係 第81-82頁

例題 3.4－解(e) 重量（kN） 體積（m3 ） 水 空氣 水 固體 圖3.7 例題3.4 圖表 圖3.7 例題3.4 圖表 第三章 重量－體積關係 第81頁 圖3.7

例題 3.4－解(f) 從公式(3.5)， 第三章 重量－體積關係 第82頁

3.6 相對密度 相對密度（relative density）這個名詞，常被用來指稱顆粒性土壤在現地（in situ）之緊密或鬆散的程度。它的定義是 其中Dr = 相對密度，通常以百分比表示 e = 土壤現地之孔隙比 emax = 土壤在最鬆狀況下之孔隙比 emin = 土壤在最緊密狀況下之孔隙比 (3.31) 第三章 重量－體積關係 第82頁

3.6 相對密度 第三章 重量－體積關係 第82頁

3.6 相對密度 相對密度也可以用孔隙率來定義，或者 (3.32) 其中nmax與nmin分別表示土壤在最鬆與最緊密狀況下之孔隙率。 3.6 相對密度 相對密度也可以用孔隙率來定義，或者 其中nmax與nmin分別表示土壤在最鬆與最緊密狀況下之孔隙率。 (3.32) (3.33) (3.34) 第三章 重量－體積關係 第83頁

3.6 相對密度 將公式(3.32)、(3.33) 和(3.34) 代入(3.31)，我們得到 (3.35) 3.6 相對密度 將公式(3.32)、(3.33) 和(3.34) 代入(3.31)，我們得到 (3.35) 第三章 重量－體積關係 第83頁

3.6 相對密度 使用公式(3.17) 對乾單位重之定義，我們也可以用土壤可能之最大與最小乾單位重來表示相對密度。 3.6 相對密度 使用公式(3.17) 對乾單位重之定義，我們也可以用土壤可能之最大與最小乾單位重來表示相對密度。 第三章 重量－體積關係 第83頁

3.6 相對密度 所以， 其中γd(min) = 土壤在最鬆狀況下（在emax時）之 (3.36) 乾單位重 3.6 相對密度 所以， 其中γd(min) = 土壤在最鬆狀況下（在emax時）之 乾單位重 γd = 土壤現地（在e 時）之乾單位重 γd (max) = 土壤在最緊狀況下之（在emin時）之 (3.36) 第三章 重量－體積關係 第83頁

例題 3.5 一從現地取來濕土壤試體之質量是465 g，其烘箱乾燥後之質量是405.76 g。此土壤固體之比重是2.68。如果土壤天然狀態下之孔隙比是0.83，找出以下： 土壤在現地之濕密度（kg/m3）。 土壤在現地之乾密度（kg/m3）。 在現地將此土壤飽和，每一立方米土壤，以kg 為單位，所需加入水之質量。 第三章 重量－體積關係 第84頁

例題 3.5－解(a) 從公式(3.22)， 第三章 重量－體積關係 第84頁

例題 3.5－解(b) 從公式(3.23)， 第三章 重量－體積關係 第84-85頁

例題 3.5－解(c) 需加入之水質量 = sat   從公式(3.24)， 所以每單位立方米所需加入水之質量 = 1,918  1,678.3 = 239.7 kg/m3。 第三章 重量－體積關係 第85頁

3.7 emax與emin之評論 混合體內小球所占體積（%） 圖3.8 McGeary（1961）試驗結果── 最小孔隙比隨混合體內小球所占體積百分比之變化 第三章 重量－體積關係 第86頁 圖3.8

3.7　emax與emin之評論 第三章 重量－體積關係 第86頁 表3.4

3.7 emax與emin之評論 圖3.9 McGeary（1961）試驗結果── emin(min) 隨VF 與D/d 之變化 第三章 重量－體積關係 第86頁 圖3.9

3.7　emax與emin之評論 第三章 重量－體積關係 第87頁 表3.5

3.7 emax與emin之評論 Nevada 50/80 砂土與粉土 Nevada 80/200 砂土與粉土 細料含量（體積含量） 圖3.10 emax 與emin 隨非塑性細料體積比例之變化（根據Lade et al., 1998 試驗結果）。注意：50/80 砂土與粉土，其D50-砂土/D50-粉土= 4.22，而80/200 砂土與粉土的D50-砂土/D50-粉土= 2.4 第三章 重量－體積關係 第87頁 圖3.10

3.8 emax、emin、emax  emin間之關係與平均粒徑（D50 ） 天然試體 均勻試體 級配試體 圖3.11 Miura 等人（1997）試驗結果── 乾淨砂土emax 對emin 之關係圖 第三章 重量－體積關係 第88頁 圖3.11

3.8 emax、emin、emax  emin間之關係與平均粒徑（D50 ） Cubrinovski 與 Ishihara（2002） Patra 等人（2010） 公式（3.39） 圖3.12 乾淨砂土emax 對emin之關係圖〔整理Cubrinovski 和Ishihara（2002），以及Patra、Sivakugan 和Das（2010）所做研究〕 第三章 重量－體積關係 第89頁 圖3.12

3.8 emax、emin、emax  emin間之關係與平均粒徑（D50 ） 乾淨砂土（Fc =0  5%） 含細料砂土（5 < Fc  15%） 含黏土砂土（15 < Fc  30%， Pc = 5  20%） 粉土（30 < Fc  70%， Pc = 5  20%） 礫石性砂土（ Fc < 6%，Pc =17  36%） 礫石 孔 隙 比 範 圍 ， emax  emin 平均粒徑，D50（mm ） 圖3.13 emax  emin與平均粒徑之關係（Cubrinovski and Ishihara, 2002） 第三章 重量－體積關係 第90頁 圖3.13

3.8 emax、emin、emax  emin間之關係與平均粒徑（D50 ） 圖3.13 展列數種土壤emax emin與平均粒徑（ D50 ）間之關係（Cubrinovski and Ishihara, 1999 and 2002）。圖中礫石與砂土之關係曲線可用以下公式表示： (3.44) 第三章 重量－體積關係 第90頁