第六章 齿轮传动

平面连杆机构：低副连接，实现从动件的摆动或移动，承载能力高。 凸轮机构：高副接触，承载能力低，实现从动件的任意运动规律。 带传动：传递两个平行轴之间的运动和动力，而且两个轴的转动方向相同。 齿轮传动：高副接触，但可以实现多个齿同时接触，承载能力高，传递空间任意两个轴之间的运动和动力。

齿轮传动的特点和类型 用于传递空间任意两个轴之间的运动和动力，靠齿和齿之间的连续接触实现运动的传递。

齿轮传动的特点 优点： 传动比准确、传动效率高、传递功率大、使用寿命长、适用的速度和功率范围广、工作可靠、可实现平行轴、相交轴及交错轴之间的传动。应用非常广泛，是我们工业的标志。 缺点： 要求较高的制造和安装精度，成本较高，不宜于远距离两轴之间的传动。

齿轮传动分类 1、按两齿轮轴线相对位置分： 平行轴齿轮传动、相交轴齿轮传动、交错轴齿轮传动。 2、按齿轮工作条件分： 闭式齿轮传动、开式齿轮传动。 3、按齿面硬度分： 软齿面齿轮传动（齿面硬度≤350HBS） 、 硬齿面齿轮传动（齿面硬度＞350HBS） 。

平行轴齿轮传动（1） 外啮合直齿圆柱齿轮传动 内啮合直齿圆柱齿轮传动

平行轴齿轮传动（2） 外啮合斜齿圆柱齿轮传动 斜齿圆柱齿轮传动

平行轴齿轮传动（3） 齿轮齿条传动

相交轴齿轮传动 直齿圆锥齿轮传动 曲齿锥齿传动

交错轴齿轮传动 蜗杆传动 螺旋齿轮传动

闭式齿轮传动

齿廓实现定角速比的条件 传动比：齿轮传动的角速度之比。

齿廓实现定角速比的条件证明

齿廓啮合基本定律 （齿廓实现定角速比的条件） 齿廓啮合基本定律：两齿轮的齿廓不论在哪点位置接触，过接触点所作齿廓的公法线必须通过连心线上一个固定点。 节点： 两齿轮接触点公法线与齿轮连心线的交点。 节圆： 以齿轮中心至节点间距离为半径所作的圆。

凡能满足啮合基本定律的一对齿廓称为共轭齿廓。 共轭齿廓曲线很多，常用的有渐开线齿廓、摆线齿廓等。

渐开线的生成

6.3 渐开线齿廓 6.3.1 渐开线的形成及性质 1、渐开线的形成： 当一直线在一圆周上作纯滚动时，此直线上任一点的轨迹称为该圆的渐开线。 该圆称为基圆，该动直线称为发生线。

渐开线的性质 1、发生线沿基圆滚过的线段长度等于基圆上被滚过的相应圆弧长度： 2、发生线即是渐开线任意点的法线，又是基圆的切线。 3、渐开线齿廓接触点的法线与该点速度方向线所夹的锐角 称为该点压力角。 4、基圆内无渐开线。 5、切点B是K点的曲率中心， 线段BK是K点的曲率半径。

渐开线的性质 6、渐开线的形状取决于基圆的大小。

6.3.2 渐开线齿廓满足定角速比要求 欲使齿轮传动保持瞬时传动比恒定不变，要求两齿廓在任何位置接触时，在接触点处齿廓公法线与连心线必须交于一固定点。

6.3.3 渐开线齿廓传动的特点 1 渐开线齿轮具有可分性 因△O1C N1∽△O2C N2 一对相互啮合的渐开线齿轮，即使两轮的中心距由于制造和安装误差或者轴承的磨损等原因，而导致中心距发生微小的改变，但因其基圆大小不变，所以传动比仍保持不变。这一特性称为渐开线齿轮传动的可分性。

2 啮合线和啮合角 啮合线：N1N2 啮合角：啮合线N1N2 与两轮节圆公切线 t－t之间所夹锐角α`。 渐开线齿轮传动的啮 合角为常数，恒等于 节圆上的压力角。

3 齿廓间正压力 渐开线齿轮在传动过程中，齿廓间正压力方向始终不变。若齿轮传递的力矩恒定，则轮齿间的压力大小和方向均不变，这是齿轮传动具有良好平稳性的主要原因之一。

6.4 齿轮各部分名称及渐开线标准齿轮的基本尺寸

6.4.1 直齿圆柱齿轮各部分的名称和基本参数 hf

hf df

分度圆：齿槽宽等于齿厚的圆（具有标准模数和压力角的圆）； 第一系列 … 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50 第二系列 … 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5(3.75) 4.5 5.5 (6.5) 7 9 (11) 14 18 22 28 36 45

基本参数： 齿数z、模数m、压力角 、齿顶高系数 顶隙系数 。 顶隙系数 。 齿顶高系数和齿根高系数均已标准化：对正常齿制，其数值为: ， ；对短齿制，其数值为 ， 。

hf=（h*a＋c*）m h=ha＋hf=（2h*a＋c*）m da=d＋2ha=（z＋2h*a）m ha=h*am hf=（h*a＋c*）m h=ha＋hf=（2h*a＋c*）m da=d＋2ha=（z＋2h*a）m df=d－2hf=（z-2h*a－2c*）m

基圆、基圆齿距和法向齿距 基圆计算式： db=dcos=zmcos 基圆齿距： 基圆上相邻两齿同侧 齿廓之间的弧长。 pb=πdb/z=πmcos 法向齿距： 齿轮相邻两齿同侧齿廓间 沿公法线方向所量得的距离。 法向齿距与基圆齿距相等。 图6.7

法向齿距与基圆齿距相等

6.5 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动 6.5.1 渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件 相邻两齿同侧齿廓间的法向距离必须相等。

正确啮合条件 若： 渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件：两轮分度圆上的模数和分度圆上的压力角分别相等。

6.5.2 渐开线直齿圆柱齿轮连续传动条件 开始啮合点，终止啮合点， 实际啮合线段，理论啮合线段 啮合弧PG与齿距 p 的比值称 6.5.2 渐开线直齿圆柱齿轮连续传动条件 开始啮合点，终止啮合点， 实际啮合线段，理论啮合线段 啮合弧PG与齿距 p 的比值称 为重合度，用 表示：

齿轮连续传动的条件是： 重合度越大，表示同时啮合的齿对数越多。

6.6 渐开线齿轮的切齿原理及根切与变位 6.6.1 齿轮加工的基本原理 常用方法： 成形法（仿形法）和范成法（展成法）。 6.6 渐开线齿轮的切齿原理及根切与变位 6.6.1 齿轮加工的基本原理 常用方法： 成形法（仿形法）和范成法（展成法）。 一、成形法（仿形法） 加工原理：成形法是用渐开线齿形的成形铣刀直接切出齿形。

常用刀具

齿轮成型刀具实物

2、范成法（展成法） 加工原理： 利用一对齿轮相互啮合时其共轭齿廓互为包络线的原理来切齿的。 常用刀具： 齿轮插刀、齿条插刀、齿轮滚刀。

1 齿轮插刀 四个运动的复合运动：１、轮坯的转动；２、轮坯的让刀运动；３、插刀的切削（上下运动）；４、插刀的径向进给运动；

2 齿条插刀 四个运动的复合运动：１、轮坯的旋转运动；２、轮坯的让刀运动；３、齿条的上下运动；４、齿条的往复直线运动（回刀）；

插刀实物模型

插刀加工演示 齿条插刀加工 齿轮插刀加工

内齿轮插齿加工及磨齿加工

3 齿轮滚刀

齿轮滚刀

滚切加工

拉齿和冲齿加工

6.6.2 轮齿的根切现象

二 、根切产生的原因

根切结果 １、强度变低； ２、渐开线被切掉，不能正确啮合。

三、不根切的最少齿数 标准齿轮 不根切最少齿数：

四 避免根切的方法 1、 2 、采用变位齿轮；

6.6.3 变位齿轮的概念 标准齿轮存在下列主要缺点： 1 标准齿轮的齿数必须大于或等于最少齿数 2 标准齿轮不适用于实际中心距不等于标准中心距的场合 3 一对互相啮合的标准齿轮，小齿轮的齿根厚度小于大齿轮的齿根厚度，抗弯能力有明显差别

１、标准齿轮：加工齿轮时，如果刀具的分度线与轮坯的分度圆相切加工出来的齿轮称为标准齿轮； ２、变位齿轮：加工齿轮时，将刀具相对于轮坯中心向外移出或向内移近一段距离，则刀具的中线将不再与轮坯的分度圆相切，加工出的齿轮称为变位齿轮。

标准齿轮与变位齿轮

3变位齿轮的优点 （1） 可以避免根切 （2）可以提高齿轮轮齿的抗弯曲强度 （3）可以配凑中心距

6.7 齿轮传动的精度及公差 渐开线圆柱齿轮的精度 （GB10095—88） 国家标准对齿轮及齿轮副规定12个精度等级，第1级最高，12级最低。齿轮传动精度等级可以根据齿轮的不同类型、传动的用途、圆周速度等从标准中选取。

齿轮传动精度等级的选择及应用

齿轮传动的误差 齿轮在制造和安装过程中，不可避免的要产生误差。 如齿形、齿距、齿向误差和轴线误差等。 根据精度等级的不同、使用要求的不同，从标准中查取相应的公差数值。 将每个精度等级的各项公差相应分为三个组，每个公差组分别反映齿轮的不同的传动性能。

齿轮各项公差的分组

6.8 齿轮的失效形式和设计准则 齿轮的失效主要是指轮齿的失效，常见的失效形式有：轮齿折断、齿面点蚀、齿面胶合、齿面磨损和轮齿塑性变形。

看录像

6.8.1 轮齿的失效形式 1 轮齿折断 发生在齿根部分：齿根弯曲应力最大、受到脉动循环或对称循环的变应力；有应力集中。 6.8.1 轮齿的失效形式 1 轮齿折断 　发生在齿根部分：齿根弯曲应力最大、受到脉动循环或对称循环的变应力；有应力集中。 严重过载或大的冲击载荷。

2 齿面疲劳点蚀 对于开式齿轮传动，因其齿面磨损的速度较快，当齿面还没有形成疲劳裂纹时，表层材料已被磨掉，故通常见不到点蚀现象。因此，齿面点蚀一般发生在软齿面闭式齿轮传动中。

3齿面磨损 齿面磨损是开式齿轮传动的主要失效形式。

4 齿面胶合 齿面胶合通常出现在齿面相对滑动速度较大的齿顶和齿根部位。齿面发生胶合后，也会使轮齿失去正确的齿廓形状，从而引起冲击、振动和噪声并导致失效。

5 齿面塑性变形 轮齿塑性变形常发生在重载或频繁启动的软齿面齿轮上。

6.8.2 设计准则 设计齿轮时，所依据的设计准则取决于齿轮可能出现的失效形式。 对于软齿面闭式齿轮传动，常因齿面点蚀而失效，故通常先按齿面接触疲劳强度进行设计，然后校核齿根弯曲疲劳强度。 对于硬齿面闭式齿轮传动，其齿面接触承载能力较高，故通常先按齿根弯曲疲劳强度进行设计，然后校核齿面接触疲劳强度。 对于开式齿轮传动：按齿根弯曲疲劳强度进行设计，然后校核齿面接触疲劳强度。

6.9 齿轮材料和热处理方法 一、齿轮材料 齿轮材料应具有足够的抗折断、抗点蚀、抗胶合及耐磨损等能力。 6.9 齿轮材料和热处理方法 一、齿轮材料 齿轮材料应具有足够的抗折断、抗点蚀、抗胶合及耐磨损等能力。 制造齿轮常用材料：优质的碳素钢、合金结构钢、铸钢和铸铁等，也可以采用非金属材料，一般多采用锻件或轧制钢材。 1 锻钢：强度高、韧性好、便于制造。还可以通过各种热处理的方法来改善其力学性能。

（1）用于制造软齿面齿轮 常用材料45、40Cr、35SiMn、38SiMnMo，正火或调质后切齿。 常用于对强度、速度及精度要求不高的场合。 小齿轮=大齿轮+（30~50)HBS

（2）用于制造硬齿面齿轮 一类 20Cr、20CrMnTi 表面渗碳后磨齿 另一类：45、40Cr 1）整体淬火+低温回火后磨齿、研齿。但心部韧性不好，不适于承受冲击载荷。 2）表面淬火+低温回火。心部韧性较高，适于承受中等冲击载荷。 硬齿面齿轮常用于高速、重载及精度要求高的齿轮传动,成本高、但承载能力也高。

二 热处理方法 材料 热处理方法 强度极限 σb/MPa 屈服极限 σs/MPa 齿面硬度 HBS 许用接触应力[σ] H/MPa 许用弯曲应力[σ] F/MPa HT300   300 187～255 290～347 80～105 QT600-3 正火 600 190～270 436～535 262～315 ZG310-570 580 320 163～197 270～301 171～189 ZG340-640 650 350 179～207 288～306 182～196 45 290 162～217 468～513 280～301 调质 700 380 241～269 468～490 248～259 360 217～255 513～545 301～315 35SiMn 750 450 217～269 585～648 388～420 40Cr 500 241～286 612～675 399～427 调质后表 面淬火 45～50HRC 972～1053 427～504 48～55HRC 1053～1098 483～518 20Cr 渗碳后淬火 400 56～62HRC 1350 645 20CrMnTi 1100 二 热处理方法

2 铸钢 齿轮尺寸较大或结构复杂，且受力较大时采用 3 铸铁 用于低速、轻载、冲击小等不重要的齿轮传动

6.10 直齿圆柱齿轮的强度计算 6.10.1 受力分析和计算载荷 1、受力分析 如果略去摩擦力，则轮齿间的相互作用力为法向力Fn。以节点C处进行受力分析， 并将法向力Fn分解为相互垂直的两个分力，即圆周力Ft和径向力Fr。

圆周力 N 径向力 N 法向力 N 式中：T1—小齿轮上的转矩（N.mm) d1—小齿轮分度圆直径（mm) α—分度圆压力角

力的方向判断 作用于主、从动轮上的各对力均大小相等，方向相反； 圆周力Ft ：在主动轮上与运动方向相反，在从轮上与运动方向相同； 径向力Fr 的方向对两轮都是由作用点指向轮心。

小齿轮上的转矩： 式中：P1—小齿轮传递的功率 KW n1—小齿轮的转速 r/min 2 计算载荷 　载荷系数K－考虑到齿轮的制造误差、齿轮的布置方式等方面的影响，使得齿轮的实际载荷大于名义载荷。在对齿轮进行强度计算时，要使用计算载荷。

载荷系数K 原 动 机 工 作 机 的 载 荷 特 性 均 匀 中 等 冲 击 大的冲击 电 动 机 1～1.2 1.2～1.6 原 动 机 　　　工 作 机 的 载 荷 特 性 　均 匀 中 等 冲 击 　大的冲击 电 动 机 　 1～1.2 　 1.2～1.6 　 1.6～1.8 多缸内燃机 1.2～1.6 　1.9～2.1 单缸内燃机 　1.6～1.8 　 1.8～2.0 　2.2～2.4

6.10.2齿面接触疲劳强度计算 齿面最大接触应力可表示为 赫兹公式： 式中正号用于外啮合，负号用于内啮合

通常按节点计算接触应力 节点处的齿廓曲率半径 令 ，由 得：

节点处的参数： 法向计算载荷：

式中：ZE——材料弹性系数 ZH——节点区域系数

将上述参数代入赫兹公式，可得一对钢制标准齿轮传动的齿面接触强度验算公式为： 得：

许用接触应力　　按下式计算： 注意：一对相互啮合的齿轮

6.10.3 齿根弯曲疲劳强度计算 弯曲应力： 假定： 1 轮齿为悬臂梁 2 全部载荷有一对齿来承担 30度切线法确定危险截面

齿根危险截面的弯曲力矩为 式中: K ---载荷系数 hF ---弯曲力臂

危险截面的弯曲截面系数W为： 故危险截面的弯曲应力　　为

令 YF称为齿形系数，反映轮齿几何形状 对 的影响。 对标准齿轮YF仅决定于齿数

由此可得轮齿弯曲强度的验算公式： 引入齿宽系数 ， 可得轮齿弯曲强度验算公式为

轮齿弯曲强度设计公式为： 注意：

用轮齿弯曲强度设计公式时 许用弯曲应力　　　按下式计算： 式中　　为试验齿轮的齿根弯曲疲劳极限

齿根弯曲应力的校核分别进行：

6.10.4 参数的选择 1 .齿数和模数 闭式：z1=20~40 开式： z1=17~20 m:按经验公式，计算后圆整，在保证齿根弯曲强度的条件下，模数要尽量小。 2 .齿宽系数：增大轮齿宽度，可以减少齿轮的尺寸和中心距，但齿宽过大，载荷分布不均。 为了保证实际啮合宽度，长使小齿轮的宽度比大齿轮的宽度宽5-10mm。

3 .齿数比：齿数比大，则齿轮的直径大，整个齿轮传动的外轮廓尺寸大。 直齿圆柱齿轮： 斜齿圆柱齿轮：u=6~7 开式或手动齿轮：u=8~12

例 6.1　设计带式运输机的单级减速机中的直齿圆柱齿轮传动。

6.11 斜齿圆柱齿轮传动

直齿圆柱齿轮的啮合特点 渐开线直齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成原理如下图a所示，发生面S在基圆柱上作纯滚动时，其上与基圆柱母线平行的直线KK所展成的渐开面即为直齿轮的齿面。

直齿齿轮啮合时，齿面的接触线与齿轮的轴线平行（下图b），轮齿沿整个齿宽同时进入或退出啮合，因而轮齿上的载荷是突然加上或卸掉，容易引起冲击和振动，不适于高速传动。

a） b）

斜齿轮的齿面形成原理如下图a）所示，发生面Ｓ沿基圆柱纯滚动时，其上一条与基圆柱母线呈β角的直线KK所展成的渐开螺旋面就是斜齿轮的齿廓曲面。

一对斜齿轮啮合时，齿面接触线是斜直线（下图b），接触线先由短变长，而后又由长变短，直至脱离啮合。所以运转平稳，冲击和噪声小，适合于高速传动。 渐开螺旋面与齿轮端面的交线仍是渐开线。

a） b）

6.11.2 斜齿圆柱齿轮得几何关系和几何尺寸计算 在斜齿轮加工中，一般多用滚齿或铣齿法，此时刀具沿斜齿轮的螺旋线方向进刀，因而斜齿轮的法面参数如mn、n、h*an和c*n等均与刀具参数相同，是标准值。 斜齿轮的齿面为渐开线螺 旋面，其端面齿形为渐开 线。一对斜齿轮啮合，在 端面看与直齿轮相同，因 此斜齿轮的几何尺寸如d、 da、db、df等的计算又应 在端面上进行。

螺旋角：斜齿轮的齿面与分度圆柱面的交线为螺旋线。螺旋线的切线与齿轮轴线之间所夹的锐角，称为螺旋角 ，用β表示。 　螺旋角：斜齿轮的齿面与分度圆柱面的交线为螺旋线。螺旋线的切线与齿轮轴线之间所夹的锐角，称为螺旋角 ，用β表示。 　右旋　　　　　左旋

端面：垂直于齿轮轴线的平面。 法面：垂直于轮齿螺旋线的平面。 端面参数与法面参数的关系 法面齿距与端面齿距的关系： 法面模数与端面模数的关系： 法面齿顶高=端面齿顶高 同理：

3 斜齿轮的几何尺寸计算 名 称 代 号 ha=h*amn=mn （h*an=1） 名 称 代 号 计 算 公 式 齿 顶 高 ha ha=h*amn=mn （h*an=1） 齿 根 高 hf hf=（h*an+c*n）mn=1.25mn (c*n=0.25) 全 齿 高 h h=ha+hf=（2h*a+c*）mn=2.25mn 分度圆直径 d d1=z!mt= z!mn/cosβ 齿顶圆直径 da da1=d1+2ha=d1+2mn 齿根圆直径 df df1=d1-2hf=d1-2.5mn 顶 隙 c c=c*nmn=0.25mn 中 心 距 a a=(d1+d2)/2=mn(z1+z2)/2cosβ

6.11.3 斜齿轮传动的正确啮合条件 外啮合旋向相反，内啮合旋向相同

6.11.4 斜齿轮的当量齿轮和当量齿数 在斜齿轮的分度圆柱面上，过轮齿螺旋线上的C点，作螺旋线的法向截面,此截面与分度圆柱面的交线为一椭圆 ，椭圆的长半轴a=d/２cosβ，短半轴b=d/2，故椭圆在C点的曲率半径为： 以ρ为分度圆半径，用斜齿轮的法向模数mn，和法向压力角 作一假想直齿轮，则该直齿轮的齿形可以认为和斜齿轮的法面齿形相同，称这个假想的直齿轮为斜齿轮的当量齿轮。

当量齿数

正常齿标准斜齿轮不发生根切的最少齿数

斜齿轮的优缺点 与直齿轮相比，斜齿轮具有以下优点： （1） 运转平稳，噪声小； （2）不根切的最少齿数小于直齿轮不根切的最少齿数； （３）斜齿轮传动的结构紧凑。

缺点：有轴向分力，该力直接作用在支撑齿轮的轴承上。所以希望轴向力越小越好。

6.11.5 斜齿圆柱齿轮的受力分析及强度计算 1、受力分析

圆周力 径向力 轴向力 法向力 式中： d1---小齿轮分度圆直径，mm T1---小齿轮传递的转矩，N·mm n---分度圆柱上的法面压力角， n=20 --- 分度圆柱上的螺旋角

螺旋角的选择：β太小，斜齿轮的传动平稳性和承载能力提高的优点不明显。 β太大，则轴向分力增大，影响轴承部件的结构。

各分力的方向判断： Ft的方向在主动轮上与运动方向相反，在从动轮上与运动方向相同； Fr的方向都指向各自的轴心（外啮合）； Fa的方向用主动轮左(右)手法则来判断：对主动轮，齿的旋向若为右旋，则 用右手（左旋用左手）握住轮的轴线，并使四指的方向顺着轮的转向方向，此时拇指的指向即为轴向力的方向。而从动轮的轴向力的方向与主动轮相反。

二、强度计算 一对钢制标准斜齿轮传动的齿面接触应力及强度条件为下列验算公式： 设计公式: 配对齿轮材料改变时应把系数657.3加以修正

斜齿轮轮齿的弯曲强度条件 轮齿弯曲强度的设计公式 以上两式中YF应根据当量齿数查得

6.13 齿轮的构造 (1)齿轮轴

(2)实心式齿轮

顶圆直径da≤ 500mm的齿轮可以是铸造的或锻造的，通常采用腹板式结构（如下图）;

总结

6.14 齿轮传动的润滑和效率 6.14.1 齿轮传动的效率 齿轮传动的功率损失主要包括： 1）啮合中的摩擦损失 2）润滑油被搅动的油阻损失 6.14 齿轮传动的润滑和效率 6.14.1 齿轮传动的效率 齿轮传动的功率损失主要包括： 1）啮合中的摩擦损失 2）润滑油被搅动的油阻损失 3）轴承中的摩擦损失

闭式齿轮传动的效率为： η1—考虑齿轮啮合损失时的效率 η2—考虑油阻损失时的效率 η3 —轴承的效率

6.14.2齿轮传动的润滑 一 齿轮传动的润滑方式 开式齿轮传动通常采用人工定期加油润滑，可采用润滑油或润滑脂 闭式齿轮传动中，润滑方式取决于齿轮 的圆周速度。当12m/s时多采用油池润滑 在多级齿轮传动中，当几个大齿轮直径不相等时，可以采用惰轮蘸油润滑 当>12m/s时，可采用喷油润滑

油池润滑 蘸油润滑 喷油润滑

二、润滑剂的选择

齿轮传动设计流程图 已知条件及设计要求 初定齿轮传动级齿轮主要尺寸 N 选择材料及热处理方式 校核计算 Y 齿轮结构设计 确定设计公式 绘制齿轮零件工作图 确定计算参数

各公差组可选用不同的公差等级，也可选相同的公差等级。一般减速器的荐用精度。

二、推荐的检验项目

三、齿轮精度数值表 齿轮有关Fr 、Fw、ff、 fpt、 fpb、及Fβ

中心距极限偏差fa值（m）

四、齿轮副的侧隙及齿厚极限偏差 齿轮副应根据工作条件来确定最小极限侧隙jnmin和最大极限侧隙jnmax。齿轮副最小极限侧隙必须保证正常润滑，并补偿热变形和制造安装误差齿厚极限偏差的数值已标准化。标准中规定了14种齿厚（或公法线平均长度）极限偏差，按偏差数值由小到大的顺序依次用字母C、D、E、…、S表示。每个代号代表齿距极限偏差fpt的倍数

齿厚极限偏差

选择极限偏差时，应根据对侧隙的要求，从上图中选择两种代号，组成齿厚上偏差和下偏差

公法线上下偏差的确定： 对外齿轮： 上偏差 下偏差 式中:Ess--齿厚上偏差 Esi--齿厚下偏差

五、公法线长度及其偏差 公法线长度Wk*（m=1，=20）

假想齿数系数K （ n=20）

公法线长度

公法线长度的查取方法 1 对于标准直齿圆柱齿轮，公法线长度 Wk*查表

2 对变位直齿圆柱齿轮，当变位系数x较小时，跨齿数K查表1，而公法线长度

3 斜齿轮的公法线长度Wnk在法面内测量，其值也可查表1，但必须按假想齿数Z`查表， Z`=KZ 故总的公法线长度