§5微积分学基本定理.

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§5微积分学基本定理

一、变限积分与原函数的存在性 为变上限的定 积分; 类似称 为变下限的定积分. 定理9.9 ( 变上限定积分的连续性 ) 证 则

于是 由 x 的任意性, f 在 [ a, b ] 上连续. 定理9.10(微积分学基本定理) 若 f 在 [a, b] 上连续, 上处处可导,且

证 由于 f 在 x 处连续,因此 注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似 乎不相干的概念之间的内在联系, 也证明了“连 续函数必存在原函数”这个重要结论.

注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数, 所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为 定理9.11(积分第二中值定理) 设 f 在[a, b]上可积. (i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减,且 则存

(ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 则存 证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步: (1) 对任意分割 T:

(4) 综合 (2), (3), 得到

即 推论

证 若 g 为单调递减函数, 则 h 非负、单调减, 由定理 9.11(i), 因此

即得

二、 换元积分法与分部积分法 定理9.12(定积分换元积分法) 则 证 的一个原函数. 因此

注 与不定积分不同之处: 定积分换元后不一定要 用原变量代回.一般说来,用第一换元积分法时, 保留原积分变量,因此不必改变积分限;用第二换 元积分法时,引入了新变量,此时须改变积分限. 例1 解 (不变元,不变限)

例2 解 (变元,变限)

例3 解 (必须注意偶次根式的非负性)

例4 解

因此, 定理9.13(定积分分部积分法) 若 u(x),v(x)为 [a, b] 上的连续可微函数,则有定

积分的分部积分公式: 证 因为 uv 是 在 [ a, b ] 上的一个原函数, 所以 移项后则得

例5 解

例6 解 于是

其中

三、泰勒公式的积分型余项 若 u(x),v(x) 在 [a, b] 上有 (n+1) 阶连续导函数,则 由此可得以下带积分型余项的泰勒公式.

定理9.14 阶连续导数, 则 则

注 由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日型

由积分第一中值定理,可得

若记 此式称为泰勒公式的柯西型余项.