第五章 定积分 第一节 定积分的概念 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义 五、小结 思考题

一、问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积） a b x y o

显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 a b x y o a b x y o （四个小矩形） （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放

曲边梯形如图所示，

曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为

实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．

（1）分割 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值

二、定积分的定义 定义

记为 积分和 积分上限 被积表达式 积分变量 被积函数 积分下限

注意：

三、存在定理 定理1 定理2

四、定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

几何意义：

例1 利用定义计算定积分 解

例2 利用定义计算定积分 解

证明 利用对数的性质得

极限运算与对数运算换序得

故

五、小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 求和 积零为整 取极限 取极限 精确值——定积分

思考题 将和式极限： 表示成定积分.

思考题解答 原式

练 习 题

练习题答案

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

第二节 定积分的性质、中值定理 一、基本内容 二、小结 思考题

一、基本内容 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．

性质1 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）

性质2 证

性质3 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 （定积分对于积分区间具有可加性）

性质4 性质5 证

解 令 于是

性质5的推论： （1） 证

性质5的推论： （2） 证 说明： 可积性是显然的.

性质6 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围）

解

解

性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理知

使 即 积分中值公式的几何解释：

解 由积分中值定理知有 使

二、小结 １．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） ２．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．

思考题

思考题解答 例

练 习 题

练习题答案

一、基本内容 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．

性质1 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）

性质2 证

性质3 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 （定积分对于积分区间具有可加性）

性质4 性质5 证

解 令 于是

性质5的推论： （1） 证

性质5的推论： （2） 证 说明： 可积性是显然的.

性质6 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围）

解

解

性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理知

使 即 积分中值公式的几何解释：

解 由积分中值定理知有 使

二、小结 １．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） ２．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．

思考题

思考题解答 例

练 习 题

练习题答案

第三节 微积分基本公式 一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式发 四、小结 思考题

一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为

二、积分上限函数及其导数 考察定积分 记 积分上限函数

积分上限函数的性质 证

由积分中值定理得

补充 证

例1 求 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解

证

证 令

定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.

三、牛顿—莱布尼茨公式 定理 3（微积分基本公式） 证

令 令 牛顿—莱布尼茨公式

微积分基本公式表明： 求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意

例4 求 解 原式 例5 设 , 求 . 解

例6 求 解 由图形可知

例7 求 解 解 面积

四、小结 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．

思考题

思考题解答

练 习 题

练习题答案

第四节 定积分的换元积分法 一、换元公式 二、小结 思考题

一、换元公式 定理

证

应用换元公式时应注意: （1） （2）

例1 计算 解 令

例2 计算 解

例3 计算 解 原式

例4 计算 解 令 原式

证

例6 计算 解 原式 偶函数 奇函数 单位圆的面积

证 （1）设

（2）设

二、小结 定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式

思考题 解 令

思考题解答 计算中第二步是错误的. 正确解法是

练 习 题

练习题答案

第五节 定积分的分部积分公式 一、分部积分公式 二、小结 思考题

一、分部积分公式 定积分的分部积分公式 推导

例1 计算 解 令 则

例2 计算 解

例3 计算 解

例4 设 求 解

例5 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设

积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止

于是

二、小结 定积分的分部积分公式 （注意与不定积分分部积分法的区别）

思考题

思考题解答

练 习 题

练习题答案

第七节 广义积分 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、小结 思考题

一、无穷限的广义积分

例1 计算广义积分 解

例2 计算广义积分 解

证

证

二、无界函数的广义积分

定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.

例5 计算广义积分 解

证

例7 计算广义积分 解 故原广义积分发散.

例8 计算广义积分 瑕点 解

三、小结 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分（瑕积分） （注意：不能忽略内部的瑕点）

思考题 积分 的瑕点是哪几点？

思考题解答 积分 可能的瑕点是 不是瑕点, 的瑕点是

练 习 题

练习题答案