附录I：截面的几何性质

一、截面的静矩和形心 y X dA O A 当截面由若干简单图形组成

1、 截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，固静矩与坐标轴有关 2、截面对形心轴的静矩为零 3、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴

如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这两部分面积对整个截面形心轴xc的面积矩绝对值相等。 例题I.1  如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这两部分面积对整个截面形心轴xc的面积矩绝对值相等。 A1，A2对xc轴的静矩分别为Sxc1和Sxc2 设： 证毕

试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。 例题I.2  试确定图示梯形面积的形心位置，及其对底边的静矩。 解： 图形对底边的静矩 x y O a b h C1x C2x 形心位置

求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。 例题I.3  求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。 O C r x y y dy dA yC

二、极惯性矩.惯性矩.惯性积 y x ρ dA O

性 质： 1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯矩，是对点定义的。 2、惯性矩和极惯矩永远为正，惯性积可能为正、为负、为零。 性 质： 1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯矩，是对点定义的。 2、惯性矩和极惯矩永远为正，惯性积可能为正、为负、为零。 3、任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。 4、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。 y 5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积 y

惯性半径： 惯性半径的特征： 任意形状的截面图形的面积为A，则图形对y轴和x轴的惯性半径分别定义为 1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。 dA x y O 惯性半径的特征： 1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。 2.惯性半径的单位为m。 3.惯性半径的数值恒取正值。

例题I.5  试求图示矩形面积对y.z轴的惯性积。

 IP=Ix+Iy 例题I.6 y 在离圆心O为ρ处作宽度为dρ的薄圆环， x 求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩IP。 解：首先求对圆心的极惯性矩。 在离圆心O为ρ处作宽度为dρ的薄圆环， d x y dr 由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy IP=Ix+Iy

三、惯性矩.惯性积的平行移轴公式 y yc xc x dA O xc yc dA a 在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小

例题I.7  试求图示槽形截面对其形心轴z的惯性矩。 125

 试求图示三角形：（1）对x轴静矩；（2）对x轴的惯性矩；（3）对x1轴的惯性矩。 例题I.8 y b/2 xc dy h/2 y x O

 图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形心轴x的惯性矩. 例题I.9 O2、O3到xc轴的距离 O1到xc轴的距离 xc O1 O2

例题I.10  求图示槽钢(N020)组合截面对形心轴y0和z0的惯性矩.

四、惯性矩和惯性积的转轴公式. 截面的主惯性轴和主惯性矩 四、惯性矩和惯性积的转轴公式. 截面的主惯性轴和主惯性矩 X y O x1 y1 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量,等于图形对原点的极惯性矩

主惯性轴: 主惯性矩: 形心主轴: 形心主矩: 图形对某对坐标轴惯性积为零,这对坐标轴称为该图形的主惯性轴 图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩 过形心的主轴称为主形心轴 形心主矩: 图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩

 课堂练习 I. 在下列关于平面图形的结论中，（ ）是错误的。 A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； 在下列关于平面图形的结论中，（ ）是错误的。 A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 D 在平面图形的几何性质中，（ ）的值可正、可负、也可为零。 A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩； C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。 D

课堂练习 I.  图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成Ⅰ和Ⅱ两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。 Ⅰ Ⅱ ZC C

课堂练习 I.  图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴x的惯性矩分别为 对对称轴y的惯性矩分别为 ，则（ ）。 C

课堂练习 I.  图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（ ）。 x y D

课堂练习 I.  任意图形的面积为A，x0轴通过形心C， x1 轴和x0轴平行，并相距a，已知图形对x1 轴的惯性矩是I1，则对x0 轴的惯性矩为（ ）。 B

课堂练习 I.  设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Ix，则二者的大小关系是（ ）。 B

课堂练习 I.  图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则（ ）不是一对主轴。 C

 课堂练习 I. A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 A. y轴不动，x轴平移； B. x轴不动，y轴平移； 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。 A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 B 在图示开口薄壁截面图形中，当（ ）时，y-x轴始终保持为一对主轴。 A. y轴不动，x轴平移； B. x轴不动，y轴平移； C. x轴不动，y轴任意移动； D. y、x同时平移。 B

本章作业 I－1， I－3(c)， I－6， I－9， I－16， I－19，