（Diffraction of light） 第四章 光 的 衍 射 （Diffraction of light）

§1.1 光的衍射现象 2、光波的衍射 一、衍射现象： 1、波的衍射 §1.1 光的衍射现象 一、衍射现象： 1、波的衍射 不沿直线传播而绕过障碍物，沿各方向绕射的现象。如声波、水波、无线电波（广播）的衍射。 2、光波的衍射 直线传播 ● 细丝 宽 窄 缝 衍射 衍射 光绕过障碍物的边缘，偏离直线传播而进入 几何阴影区，并在屏上出现光强不均匀分布 的现象称为光的衍射现象。

光的衍射现象 衍射——光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影区,并在屏上出现光强不均匀分布的现象。同光的干涉现象一样，是光的本质特性之一。

不但光线拐弯,而且在屏上出现明暗相间的条纹。 这是光具有波动性的重要表现。 光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而 偏离直线传播的现象叫光的衍射。 衍射屏 观察屏 a * S    10 - 3 a 不但光线拐弯,而且在屏上出现明暗相间的条纹。 这是光具有波动性的重要表现。

衍射屏 观察屏 L L  * S 透过手指缝看日光灯， 也能看到衍射条纹。 例3：刀片的衍射

圆屏衍射 S P R rk 直边衍射 直边衍射

光的衍射现象 圆孔衍射 单缝衍射 * *

各种孔径的夫琅禾费衍射图样 正三边形孔 正四边形孔 正六边形孔 正八边形孔

产生衍射现象的条件：主要取决于障碍物或空隙的线度与波长大小的对比。只有在障碍物或空隙的线度与波长可比拟时，衍射现象才明显地表现出来。 日常生活中为什么我们很容易观察到声波、无线电波的衍射，而难以观察到光波的衍射呢？ 这是由于声波和无线电波的波长较长（约几百米），自然界中存在这样尺度的障碍物或空隙（如墙、山丘和建筑物等），容易表现出衍射现象；而光波的波长很短（400-760nm)，自然界中通常不存在如此小的障碍物或空隙，光主要表现出直线传播的特性。 产生衍射现象的条件：主要取决于障碍物或空隙的线度与波长大小的对比。只有在障碍物或空隙的线度与波长可比拟时，衍射现象才明显地表现出来。 如何从理论上解释光的衍射现象呢？

1.2 Huygens-Fresnel原理 前面学习的Huygens原理可以解释光的直线传播、反射和折射等，但由于不能说明光强的非均匀分布，只能粗略地定性解释光的衍射。这是由于Huygens原理没有涉及光的时间和空间周期性——波长和相位，因而只能定性说明光绕过障碍物偏离直线传播的衍射现象。 Fresnel在Huygens次波假设的基础上，补充了描述波的基本特征量——相位和振幅的定量表示，并增加了“次波振幅按相位叠加”的原理，从而成功解释了光（波）的衍射现象。

次波的叠加—惠更斯—菲涅耳原理 1．次波的相干叠加 波前上所有次波中心发出的次波在P点的振动相干叠加，即在P点引起的振动。这就是惠更斯—菲涅耳原理。 1．次波的相干叠加 在任一光源S周围作一封闭曲面Σ，S在场点P引起的振动就是Σ上所有点发出的次波在P点引起的振动的矢量和。

波前Σ上任取一个次波中心Q，及Q点周围取一面积元dΣ，可以先求出该面积元发出的球面次波在场点P处引起的复振幅dU(P)

瞳函数 次波中心面元面积 球面波 倾斜因子

2．菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式 P点的复振幅就是所有次波中心发出的次波的相加。由于波前是一连续分布的曲面，求和即为曲面积分 这个积分式原则上能解决一切衍射问题甚至一切传播问题。但由于波面形状，积分难积。只有定性的情况下才能积出来。

菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式 R与法线n间的夹角 r与法线n之间的夹角

基尔霍夫边界条件

互补屏

1.3 Babinet原理

------Babinet原理 相当于自由传播 点光源入射衍射屏，自由光场按几何光学原理成象，除象点之外，处处振动为零。 细丝与狭缝的衍射花样，除零级中央主极大外，处处相同。

1.4 衍射现象的分类 1 Fresnel衍射（近场衍射） 障碍物（孔隙）距光源和光屏的距离都是有限的，或其中之一是有限的。 1.4 衍射现象的分类 1 Fresnel衍射（近场衍射） 障碍物（孔隙）距光源和光屏的距离都是有限的，或其中之一是有限的。 观察比较方便，但定量计算却很复杂（需完成复杂的Fresnel积分）。因而不作具体要求。

2.Fraunhofer衍射（远场衍射） 光源和光屏到障碍物或孔隙的距离可以认为是无限远的，即实际上使用的是平行光束。比Fresnel衍射更重要。 Fraunhofer衍射可通过使用简单实用的方法——半波带法得到重要而近似准确的结果。下面以此为例说明。

菲涅耳衍射 夫琅和费衍射

§2 菲涅耳衍射（圆孔、圆屏） 2.1．衍射现象 圆孔衍射：接收屏上可见同心圆环，接收屏沿轴向移动，圆环中心明暗交替变化。 圆屏衍射：接收屏上可见同心圆环，接收屏沿轴向移动，圆环中心永远是亮点。

2.2 半波带法分析菲涅耳圆孔衍射 设法求解菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式。 将积分近似化为求和。 2.2 半波带法分析菲涅耳圆孔衍射 设法求解菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式。 将积分近似化为求和。 将波前（球面）划分为一系列的同心圆环带，每一带到P点的距离依次相差半个波长。这些圆环带称为半波带。

半波带的次波 在球面上，各次波波源初位相相等。相邻半波带发出的次波，到达P点时，光程差为λ/2，位相差为π，位相相反，振动方向相反。 计算各个半波带的振幅Ak。必先计算半波带的面积。

球冠面积 ΔSMP中 第k个半波带的面积

菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式

可见，相邻波带次波的位相相反，且k越大的波带，振幅越小 。 为第k个半波带发出的次波在P点的振幅 可见，相邻波带次波的位相相反，且k越大的波带，振幅越小 。

解释：波带数n为奇数，亮点；n为偶数，暗点 自由传播 始终亮点

园孔衍射 ①P点合振幅的大小取决于P点位置。（n为奇数时P点为亮点，n为偶数时P点为暗点） ②若通过小园孔的波带数不为整数，则Ap介于最大值和最小值之间；所以，沿着轴线移动光屏，P点光强不断变化，一些点较强，一些点较弱。 ③改变小园孔位置和半径，给定点光强将发生变化。 综上所述：光在通过小园孔后到达任一点时的光强，不单纯地由光源到该点的距离来决定，还取决于小园孔的位置和大小。仅当园孔足够大时，才与光的直线传播概念一致。

园屏衍射 设：园屏遮挡了前n个半波带，则从第n+1个起所有半波带所发次波均能到达P点 讨论: ①无论园屏大小（当然要能与波长可比拟）和位置如何，园屏几何影子的中心永远有光进入。 ②园屏面积越小，被遮挡的半波带数n越少，P点光强强。 ③园屏面积足够小时，只能遮挡中心带的一小部分，光几乎全都能绕过它，此时除几何中心为亮点外，没有其它影子。园屏好像起了会聚透镜的作用，将光源S成实象于P点。

2.3 一般情形下的波带 半波带比较粗糙，当圆孔内包含的不是整数个半波带，计算更加困难 可以将任何一个半波带进一步细分为n个，得到更多的波带，相邻波带间光程差为λ/2n，位相差为π/n。

半波带的进一步划分 n很大时，位相差很小，用振幅矢量法，原来的每个半波带的波矢变为由n个小波矢组成的半圆。

自由传播时，螺旋线旋转到半径为零，即达到圆心。

如果最后一个不是整数个半波带，也可以得到合振动。

半波带方程 半波带奇偶性的数量关系

半波带方程 k的数值及奇偶性由r0决定。 菲涅耳数

2.4 波带片 用半波带将波面分割，然后只让其中的奇数（或偶数）半波带透光，即制成波带片。 透过波带片的光，在场点P处光程差依次为λ，位相相同，振动方向也相同，合振动大大增强，衍射后的光强大大增强。 相当于将光波汇聚到P点。

如果波带片共有10个奇数半波带，则在P点的复振幅为 一般情况下，可以认为前面几个半波带的倾斜因子相差不大，即满足近轴条件，所以他们发出的次波的振幅近似相等。

光强 自由传播时 相差400倍。可见波带片具有使光汇聚的作用

将半波带方程写成如下形式 同透镜的公式 r0: 主焦距（R=∞） 在距离r0处看来，半径为ρk的波带是第k个半波带。

当波带片不变时，r0改变，会引起k的改变，即可划分的半波带数目改变。 任一波带片，都只适用于一个波长。焦距是固定的。 但除主焦点之外，还有许多次焦点 一系列次焦点

制备： 此外，用此原理还可制成长条形波带片、方形波带片等。 先在绘图纸上画出半径正比于序数k的平方根的一组同心园环，并把相间的半波带涂黑，再用相机拍摄在底片上，制成园形半波带。 此外，用此原理还可制成长条形波带片、方形波带片等。

圆环圆孔菲涅尔衍射矢量合成

半圆孔菲涅尔衍射矢量合成 AP O 小圆孔露出的第一个半波带的半侧