無母數統計方法 符號檢定法 W-符號等級檢定法 W-等級和檢定法 K-W檢定法 連檢定 結論

14.1 無母數統計方法(1/2) 無母數統計方法是指在母體分配未知、非常態母體或小樣本條件下，利用樣本資料之大小順序或等級的特性來進行統計推論之方法。由於無母數統計方法之限制條件少且僅利用樣本之部分資訊(資料之順序或等級)，因此其檢定的結果往往不如有母數統計方法來得有效率，不過也因為無母數統計方法無須事先假設母體具某一特定分配，因此其推論之對象不限於任何母體，均可進行統計推論。

14.1 無母數統計方法(2/2) 一般常用之無母數統計方法有以下幾種： (1)符號檢定法(sign test)：用於檢定單一母體中央趨勢與 成對母體之中央趨勢或分配是否相同之方法。 (2)W-符號等級檢定法(Wilcoxon signed rank test)：用於 檢定單一母體中央趨勢與成對母體之中央趨勢或分配 是否相同之方法。 (3)W-等級和檢定(Wilcoxon rank-sum test)：用於檢定兩 獨立母體中央趨勢或分配是否相同之方法。 (4)K-W檢定(Kruskal-Wallis test)：用於檢定三個或三個 以上獨立母體中央趨勢或分配是否相同之方法。 (5)連檢定(run test)：檢定資料是否為隨機樣本之方法。

14.2 符號檢定法(1/7) 單一母體中央趨勢檢定之步驟(符號檢定) 若統計假設 (或 ， ) & (或 若統計假設 (或 ， ) & (或 ， ) 且蒐集一組隨機樣本資料 ，則其符號 檢定之步驟如下： (1)令 ，計算 集合中符號為正的個數， 以 表之。 (2)以 為檢定值，則 雙尾檢定之P值 ，其中 k 表資料 中 之個數。 左尾檢定之P值 。 右尾檢定之P值 。其中 (3)若P值小於顯著水準 ，則拒絕 ，否則便接受 。 參見例14.1

14.2 符號檢定法(2/7) 例題14.1 某一廠牌行動電話宣稱銷售量之中位數為85(千支/天)，今隨機抽取此廠牌行動電話過去12天之銷售量如下：(單位：千支) 58, 66, 88, 79, 85, 95, 86, 67, 82, 75, 68, 55 請以顯著水準 ，用符號檢定法來檢定此廠商宣稱是否為真？ 【解】 令 表此廠牌行動電話銷售量之中位數，可建立假設為 & ， (1)令 ，則其對應之符號如下： 所以 。 58 66 88 79 85 95 86 67 82 75 68 55 －27 －19 3 －6 10 1 －18 －3 －10 －17 －30 符號 － + ×

14.2 符號檢定法(3/7) 承上頁， (2) 因此無法拒絕 ，只好勉強接受手機銷售量之中位數為 85千支。

14.2 符號檢定法(4/7) 檢定成對母體中央趨勢或分配是否相同之步驟(符號檢定) 若統計假設 兩成對母體之中位數或分配相同 & 不 若統計假設 兩成對母體之中位數或分配相同 & 不 成立，且蒐集一組成對隨機樣本資料 ，則符號檢定步驟如下： (1)令 ，計算 集合中符號為正的個數， 以 表之。 (2)以 為檢定值，計算P 值 ，其中k 表資料中 之個數，且 。 (3)若P 值小於顯著水準 ，則拒絕 ，否則便接受 。 參見例14.2

14.2 符號檢定法(5/7) 例題14.2 若我們想了解學校餐廳更換餐廳廚師後，學生對其更換廚師前、後的評價之分佈是否相同，因此隨機抽出6位同學對餐廳做評量，其所得之分數如下： 試以顯著水準來檢定學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價是否有顯著差異？ 【解】 令 表學生對學校餐廳更換廚師前的評分， 表學生對學校餐廳更換廚師後的評分；假設 學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價相同& 學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價不同。 更換廚師前 40 78 83 58 65 更換廚師後 62 68 69 74

14.2 符號檢定法(6/7) 承上頁， (1)令 ，則其對應之符號如下： 所以 。 (2) (1)令 ，則其對應之符號如下： 所以 。 (2) 因此無法拒絕 ，即學生對學校餐廳更換廚師前、後的 評價無顯著差異。 －22 13 15 －11 －9 －4 符號 － +

14.2 符號檢定法(7/7) 由於在大樣本條件下，根據中央極限定理可得二項分配近似於常態分配，即 因此，在大樣本條件下，上述所介紹之符號檢定法 可利用 來進行檢定，以 為檢定值，則其決策法則如下： (1)右尾檢定：拒絕域為 ，P值 。 (2)左尾檢定：拒絕域為 ，P值 。 (3)雙尾檢定：拒絕域為 ，P值 。

14.3 W-符號等級檢定法(1/7) 單一母體中央趨勢之決策法則(W-符號等級檢定) 若一組隨機樣本資料 中有 k 個資料與 相等， (1)右尾檢定 ，令檢定值 ，則其拒 絕域為 。 (2)左尾檢定 ，令檢定值 ，則其拒 (3)雙尾檢定 ，令檢定值 ，則其拒絕域為 。 參見例14.4

14.3 W-符號等級檢定法(2/7) 例題14.4 承例14.1，請以顯著水準 ，利用W-符號等級檢定法來檢定此廠商宣稱是否為真？ 【解】 依題意，可建立假設為 & ，令 ，則其對應之 、 、等級 及符號如下： -27 -19 3 -6 10 1 -18 -3 -10 -17 -30 27 19 6 18 17 30 9 2.5 4 × 5.5 8 7 11 符號 － ＋

14.3 W-符號等級檢定法(3/7) 承上頁， 由此可得， 、 ， 所以檢定值 。 而查W-符號等級表可得其拒絕域為 ， 由此可得， 、 ， 所以檢定值 。 而查W-符號等級表可得其拒絕域為 ， 因為檢定值 ，落在拒絕域，故拒絕 ，即手機銷售量之中位數並非85千支。

14.3 W-符號等級檢定法(4/7) 檢定兩成對母體中央趨勢或分配是否相同之步驟 若統計假設 兩成對母體之中位數或分配相同 & 不 若統計假設 兩成對母體之中位數或分配相同 & 不 成立，且蒐集一組成對隨機樣本資料 ，則其檢定之步驟如下： (1)令 ，則扣除 資料後，再計算 之順序等級 及 與 。 (2)以 為檢定值，則其拒絕域為 ，其中 k 表資料中 之個數。 (3)若檢定值 落在拒絕域，則拒絕 ，否則便接受 。 參見例14.5

14.3 W-符號等級檢定法(5/7) 例題14.5 承例14.2，利用W-符號等級檢定法來檢定學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價是否有顯著差異？ 【解】 依題意，可建立假設為 學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價相同& 學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價不同，令 ，則其對應之 、 、等級 及符號如下： -22 13 15 -11 -9 -4 22 11 9 4 6 5 3 2 1 符號 － ＋

14.3 W-符號等級檢定法(6/7) 承上頁， 由此可得， 、 ， 所以檢定值 。 而由W-符號等級表可得其拒絕域為 ， 由此可得， 、 ， 所以檢定值 。 而由W-符號等級表可得其拒絕域為 ， 因此檢定值 ，未落在拒絕域，故無法拒絕 ，即學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價無顯著差異。

14.3 W-符號等級檢定法(7/7) 在大樣本條件下，當 成立時，W符號等級檢定之 或 似於常態分配，且其平均數與變異數為 或 似於常態分配，且其平均數與變異數為 因此，在大樣本條件下，上述所介紹之W-符號等級 檢定法可以 為檢定值來進行檢定，其決策法則如下： (1)單尾檢定：拒絕域為 ，P值 。 (2)雙尾檢定：拒絕域為 ，P值 。

14.4 W-等級和檢定法(1/3) 檢定兩獨立母體之中央趨勢或分配是否相同之步驟 若統計假設 兩獨立母體之中央趨勢或分配相同 & 兩獨 若統計假設 兩獨立母體之中央趨勢或分配相同 & 兩獨 立母體之中央趨勢或分配不同，且蒐集兩組獨立隨機樣本資料 與 ，其中 ，則其W-等級和檢定之步驟如下： (1)將兩組樣本資料混合後加以排序，計算 所對應之 順序等級 (若樣本中有相同之觀測值，則此時所對應之順序等 級值取其等級之平均數) 與 。 (2)以為檢定值 ，其拒絕域為 ，P值 (3)若檢定值落在拒絕域或 P 值小於顯著水準 ，則拒絕 ，否則 便接受 。 參見例14.6

14.4 W-等級和檢定法(2/3) 例題14.6 假設隨機由新竹市及新竹縣分別抽出10位及8位民眾做調查，發現他們對全民健保的滿意分數如下： 新竹市 83 70 64 75 85 50 65 90 45 60 新竹縣 70 68 59 61 79 81 84 88 試以顯著水準 來檢定兩地區民眾對全民健保之滿意度是否有顯著地差異？ 【解】 依題意可建立假設如下： 兩地區民眾對全民健保之滿意度相同& 兩地區民眾對全民健保之滿意度不同，利用W-等級和檢定，步驟如下頁所示。

14.4 W-等級和檢定法(3/3) 承上頁， (1)兩組樣本資料混合後加以排序，其對應之順序等級如下： 新竹市 14 9.5 6 11 16 2 7 18 1 4 新竹縣 9.5 8 3 5 12 13 15 17 其中樣本中有兩筆資料等級均為9，因此須取9與10之平均數，即為9.5。另外因為新竹縣之樣本個數較小，因此 (2)檢定值 ， (3)查表可得其拒絕域為 ，因此檢定值未 落在拒絕域，故無法拒絕 ，即兩地區民眾對全民健保之滿 意度無顯著差異。

14.5 K-W檢定法(1/3) 檢定獨立母體之中央趨勢或分配是否相同之步驟 若統計假設 組獨立母體之中位數或分配相同& 組 若統計假設 組獨立母體之中位數或分配相同& 組 獨立母體之中位數或分配不同，且蒐集 k 組獨立隨機樣本資 料 ， ，並取總樣本數 ，則K- W檢定之步驟如下： (1)將 ， 之 k 組樣本資料混合後加以排序， 並計算 所對應之順序等級 與順序等級和 (2)以 為檢定值，其拒絕域為 ，P值 。 (3)若檢定值落在拒絕域或 P 值小於顯著水準 ，則拒絕 ，否則 便接受 。 參見例14.7

14.5 K-W檢定法(2/3) 例題14.7 某研究者想比較A、B、C、D四條生產線之生產量，於是隨機檢查此四條生產線各三天之生產量，得其結果如下表，請以K-W檢定法檢定不同的生產線之產量分配是否有顯著差異？( ) 【解】 依題意可建立假設如下： ：四條不同生產線之產量分配相同& ：四條不同生產線之產量分配不同，K-W檢定之步驟如下： 生產線 A B C D 256 252 208 316 243 286 167 298 279 247 222 343

14.5 K-W檢定法(3/3) 承上頁， (1)將樣本資料混和後加以排序，其等級如下： 由此可得 (2)檢定值 (3)其拒絕域為 ，檢定值落在拒絕域， 故結論為拒絕 ，即四條生產線之產量分配有顯著地差異。 A B C D 7 6 2 11 4 9 1 10 8 5 3 12

14.6 連檢定(1/3) 連檢定(run test)用於檢定資料是否為隨機樣本之統計方法，其主要觀點是考慮資料之連數。 (一)連數 在樣本資料中，相鄰且性質相同之資料稱之為連(run)，而一組樣本中連的個數則稱之為連數(runs)。 例題14.8 某次研究所入學考試學生口試之順序如下： 女,女,男,男,男,女,男,女,女 試求此組資料之連數。 【解】 因為 女,女 , 男,男,男 , 女 , 男 , 女,女 為5個不同的連，因此其 連數為5。 參見例14.8

14.6 連檢定(2/3) (二)檢定資料是否為隨機樣本之步驟 若統計假設 ：資料為隨機樣本& ：資料非隨機樣本， 若統計假設 ：資料為隨機樣本& ：資料非隨機樣本， 且蒐集一組樣本 ，則連檢定之檢定步驟如下： (1)將資料分成兩類，依序表示 之符號，以正負號 表示。 (2)計算此資料之連數 及此資料中不同符號之個數 、 ， 其中 。 (3)以為 檢定值，計算 P 值 若 ，則 P 值 ， 若 ，則 P 值 。 (4)若 P 值小於顯著水準 ，則拒絕 ，否則便接受 。 參見例14.9

14.6 連檢定(3/3) 例題14.9 假設某次管理學考試是非題答案之順序如下： 試檢定此答案是否具有隨機性。 【解】 依題意可建立假設如下： ：此答案具有隨機性& ：此答案不具隨機性 而由資料可得 且 ， 由此可得 因此結論為接受 ，即此答案具有隨機性。

14.7 結論 無母數統計應用範圍與常用之方法可整理如下： (1)檢定單一母體之中央趨勢值是否為特定值：符號檢定法 與W-符號等級檢定法。 (2)檢定成對母體中央趨勢值或分配是否相同：符號檢定法 (3)檢定兩獨立母體之中央趨勢值或分配是否相同：W-等級 和檢定法、Mann-Whitney檢定法(又稱U-檢定)。 (4)檢定三或三個以上獨立母體中央趨勢值或分配是否相同： K-W檢定。 (5)檢定樣本資料是否為隨機樣本：連檢定。