數學與文化:以數學小說閱讀為進路 洪萬生 台灣師範大學數學系退休教授 【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】

歐拉的類比： 美麗但錯誤的推論！ 洪萬生 台灣師大數學系退修教授

歐拉的進路 (approach) 類比或類推 (analogy) 多項式 vs. 無窮多項式 (infinite polynomial)（冪級數 (power series)，牛頓用詞） 根與係數關係：代數方程式 vs. 三角方程式（冪級數表現式）

給定一個n次代數方程式： 有n個非0的根： 如此，左邊的多項式可以分解為n個一次式的乘積： 比較等號兩邊的x之n-1次方或乘冪，可得：

歐拉（Euler） 現在，考慮另一種表徵這個多項式的方式。由於 都不為0，因此，a0 也不為0（為什麼？），於是： 而且

Euler 現在，考慮下列三角方程式： 或 由於左邊的「多項式」(“polynomial”) 有無窮多次 (“infinite degree”)，於是，它有無窮多個根：

Euler 比較 x2的係數，得 或 Eureka! Eureka! Nico的反思：「有時候，當我用全新的角度在看一次這個等式的時候，又會再度感到訝異與敬畏。就是這種算式讓我愛上數學的。這裡有太多意想不到的連結，太多想不到的秩序，是一面幾乎隱藏的織錦，只有經過最聰明的頭腦的努力之後，我們才能瞥見少許。是誰製造這些連結的呢？它們為何存在？我只能說，上帝一定是個數學家。」(《爺爺的證明題》，p. 72)

Euler 歐拉去掉 0根，並將上式兩邊除以x，則 有（無窮多個根）如下： 因此，

數學與文化:以數學小說閱讀為進路 洪萬生 台灣師範大學數學系退休教授 【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】

《數學邏輯奇幻之旅》： 討論與導讀 洪萬生 台灣數學博物館策展志工

本漫畫第一作者 第一本數學小說

《數學邏輯奇幻之旅》: 數學漫畫或圖像小說 Logicomix: An Epic Search for Truth 阿波斯托羅斯‧杜克西阿迪斯（Apostolos Doxiadis）、克里斯托斯‧帕帕迪米崔歐 (Christos H. Papadimitriou) 繪圖：阿雷卡斯‧帕帕達托斯（Alecos Papadatos）、安妮‧迪‧唐娜 (Annie di Donna) 繁星多媒體股份有限公司出版，2010年

主要內容 一個傳記：英國哲學家羅素 (Bertrand A.W. Russell, 1872-1970) 的傳記。 兩個故事： 一方面，記錄了本書作者在編輯此書的心路歷程 － 這涉及作者敘事時所運用的「自我指涉」手法； 另一方面，虛構羅素在美國某大學的演講（以反戰為主題）現場所發生的故事。

數學邏輯與實在 重現羅素的一生：蒐集龐大資料，從中選擇、刪減、簡化、解釋，甚至自創。 儘可能貼近事實，但敘事連貫深入更優先考量。 虛構數學家的會面

本書目錄 序幕 朋布洛克莊園 大師的弟子 求知之旅 悖論 中場休息 邏輯 - 哲學大戰 不完整（按即：不完備，incomplete）的系統 完結篇 數學邏輯與現實（按即：實在，reality)

真理的史詩探尋 vs. 陪溜的寵物酷哥 作者現身說法的開場白！ 《（數學）基礎探尋》 1939年，德軍入侵波蘭後三天，英國對德宣戰，羅素應邀到美國某大學演講。 講題：邏輯在人為事件中的角色

朋布洛克莊園 可參考《羅素回憶錄》 探尋家族秘密 vs. 探尋數學真理 祖母的規矩 vs.邏輯的定義與規則(約） 臥室＝你晚上睡覺的地方 知識不確定性的初體驗：僕人都否認晚上有哭嚎與呻吟的聲音。 邏輯必然性：歐幾里得《幾何原本》 然而，平行公設呢？

大師的弟子 劍橋求學的日子 遍讀數學、哲學與文學 苦思邏輯基礎問題 萊布尼茲的推理計算與布爾（Boole）的思維法則 認識第一任妻子，並結婚 認識懷海德（Whitehead），鼓勵他到歐洲大陸遊學

求知之旅 弗雷格（Frege) 康托爾（Cantor)：希爾伯特旅館 (pp. 133-135) 羅素：「沒有其他概念像無限大一樣，把人類的心智推向力量的極限！……還有，也沒有其他概念像它這樣暴露了數學知識的內部缺陷！」 1900年，巴黎舉行的國際數學家大會 希爾伯特23個問題 彭加勒 (Poincare) vs. 希爾伯特 (Hilbert)

悖論 一般數學家：數學以邏輯為基礎。 弗列格：邏輯以及合為基礎！ 集合有悖論！ 理髮師悖論（消解之道 – 類型論（theory of types)，pp. 180-181：「禁止同階級的人幫你刮鬍子，便排除了自己幫自己刮鬍子的可能性！」） 說慌者悖論 弗列格的《數學基礎》第二冊印刷前的插曲。覆羅素函：「對於一位科學家來說，著作剛剛完成，理論基礎就被推翻，這實在是最大的不幸。本書籍將付印之際，羅素先生的一封信，就讓我陷入這樣的困境」。 羅素和懷海德合著《數學原理》（10年三冊，無以為繼！），運用全書362頁證明1+1=2。 比喻：畫作《丹納德的女兒》，一疊支撐地球的烏龜。

自我指涉或參照 這一部圖像小說最顯著的書寫特色之一，就是「自我指涉」（self reference）(p. 172 註解)。 在本書中，作者引述羅素等人有關數學基礎的研究成果，說明集合論之悖論（paradox）與自我指涉有關。 所謂的自我指涉，「從字面上來看，是指陳述本身提到自己。不過，它同時更被廣泛地被用在邏輯學上，來描繪陳述的指涉範圍也包括自己的特性，就像羅素悖論裡的理髮師故事一樣。」(p. 341)

自我指涉或參照 本書敘事然利用了此一特性。作者時常進入漫畫情節中，討論、質疑或補充羅素故事中的數學與邏輯概念之說明。 譬如：頁171-173有關悖論之說明，作者指出羅素所說的理髮師悖論和說方者悖論很像！ 還有，內容提及自己本身的書籍，如馮內果的《冠軍的早餐》等書。 假設你現在為所有非自我指涉的書籍整理出完整的書目，那麼，它是否包含它自己？ 如果包含……；如果不包含……

文學作品的例證！ 呼應文學創作中的自我指涉。 評論黃凡的短篇小說〈如何測量水溝的寬度〉時，周芬伶等指出：「測量水溝是一件無聊的事，作者也不斷地揭示此事之無稽，並不斷地涉入小說之進行，並談論書寫之困難。這即是自我指涉。」 另外比較常見的自我指涉，則大都出現在戲劇表演現場上，某一角色在舞台上與觀眾討論劇情插曲或發展。

中場休息 創作者的反思時間！ 「製作地圖的人」之比喻：「當然，弗列格、羅素、懷海德等人都是優秀的地圖製作人……但他們最後可能把現實和他們製作的地圖混為一談。」

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 7 Nico的反思：「有時候，…，上帝一定是個數學家。」 《爺爺的證明題》，高瑞夫、哈托許著，(洪萬生、洪贊天、林倉億譯)，博雅書屋出版社，2009年9月22日出版，第72頁。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 11 《遇見哥德巴赫猜想》，阿波斯多羅斯．多夏狄斯著(王維旎譯)，小知堂出版， 2002年12月02日出版。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 12 《數學邏輯奇幻之旅》，阿波斯托羅斯.杜克西阿迪斯、克里斯托斯.帕帕迪米崔歐著(劉復苓譯)，繁星多媒體股份有限公司出版，2010年7月21日出版。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 20 沒有其他概念像無限大一樣……知識的內部缺陷！ 《數學邏輯奇幻之旅》，阿波斯托羅斯.杜克西阿迪斯、克里斯托斯.帕帕迪米崔歐著(劉復苓譯)，繁星多媒體股份有限公司出版，2010年7月21日出版，第136頁。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 21 禁止同階級的人幫你刮鬍子，……的可能性！ 《數學邏輯奇幻之旅》，阿波斯托羅斯.杜克西阿迪斯、克里斯托斯.帕帕迪米崔歐著(劉復苓譯)，繁星多媒體股份有限公司出版，2010年7月21日出版，第180~181頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 對於一位科學家來說，著作……，就讓我陷入這樣的困境 《數學邏輯奇幻之旅》，阿波斯托羅斯.杜克西阿迪斯、克里斯托斯.帕帕迪米崔歐著(劉復苓譯)，繁星多媒體股份有限公司出版，2010年7月21日出版，第177頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 22 這一部圖像小說最顯著的書寫特色之一，就是「自我指涉」（self reference） 《數學邏輯奇幻之旅》，阿波斯托羅斯.杜克西阿迪斯、克里斯托斯.帕帕迪米崔歐著(劉復苓譯)，繁星多媒體股份有限公司出版，2010年7月21日出版， 第172頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 所謂的自我指涉，「從字面上來看，…，就像羅素悖論裡的理髮師故事一樣。」 第341頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 24 評論黃凡的短篇小說…。這即是自我指涉。」 25 當然，弗列格、……但他們最後可能把現實和他們製作的地圖混為一談。 第223頁。依據著作權法第46、52、65條合理使用。