Time and frequency domain 第1,3,5 row 是spatial domain, 而2,4,6 row分別是其frequency domain, 第5的波形是由1,3相加而來, 目的是用來說明所有的波形都可以是由多個不同的頻率基波所組成的, 而fourier transform 則是一個工具, 可以讓我們了解這個波形到底是由那些頻率的基波所組成的 將原本的spatial domain轉成frequency 延伸到2d的image也是一樣, image的graylevel 是 0 to 255 image上pixelgraylevel的變化, 也可以視為一種2d的離散波形, 使用2d的fourier transform便可以分解出相對應的2d 頻譜

2-D discreteFouurier Transform Fourier transform Power spectrum 這裡列出的是二為的離散fourier transform公式 將分解後的係數取power spectrum, 就是相對應頻率的量 因為複數取power spectrum, 所以會產生共軛對稱, 因此最高頻會在正中央, 而兩端對秤 Inverse fourier transform

這是一個轉換的例子h(x,y)是spatial domain轉成frequency doamin F(u,v) 而u,v 各自0變化到1, 使角度由0增加到2 pi, 取一個週期而繪出上圖 正中央是最高頻, 而四周是低頻, 這個圖形顯示出h(x,y)具有較高的低頻成分, 因為習慣問題, 多將正中央視為低頻的位置, 所以將上圖切成四等份, 移動位置產生下圖

影像傅立葉轉換的性質 週期性 F(u+mN,v+nN)=F(u,v) 由於角度是0到2 pi 的週期循環, 所以不管u,v取多少, 角度仍在0和2 pi之間

Properties of DFT 對稱性 直流成分 頻譜顯示 變數分離 對稱性 是因為複數的共軛對稱的關係 直流成分 等於整張影像的灰階值得平均 頻譜顯示 時常會取log降低直流成分, 使頻譜易於顯示, 變數分離 使用1d來計算2d fourier

Example of 2-D fourier transform 一個image 的fourier transform的例子 可以看出對角方向存在有較高的頻率

Filtering in frequency domain 影像f(x,y)先用fourier transform轉成頻譜F(u,v), H(u,v)是濾波器, 與F(u,v)相乘, 如果要濾掉高頻, 則H(u,v)在高頻部分的值儘量趨近於0, 使H(u,v)高頻部分相乘後成為0, 而低頻部分和欲保留的部分, H(u,v)的值則儘量趨近於1, 因此F(u,v)的低頻部分得以保留, 然後再將F(u,v)執行inverse fourier transform而得到g(x,y) 反之, 低頻率波亦然

Inverse Fourier transform filtering Fourier transform Inverse Fourier transform 低通濾波的例子, 左下圖轉換後的頻譜是左上圖, 將左上圖四個角的高頻部分, 濾掉成為0, 如右上圖, 再inverse回右下圖

example 另一個濾波的例子下圖是其頻譜, 越亮表示其值越大

Result of notch filter 這張是將頻譜中直流部分設為0, 再inverse回來的圖

Result of highpass lowpass filter 左上是低通濾波器, 右上是結果 左下是高通濾波器, 右下是結果

Example 接下來是另一個例子 將會分別使用三種濾波器, 理想, butterworth, Gaussian

Ideal lowpass filter function 這裡是低通理想濾波器, 由於變化太劇烈, 所以會使濾波後的影像產生漣波, 如圖 其中D0是截止頻率, 右方的6張影像則是調整其D0有低到高所產生的圖形,

Butterworth lowpass filter function 為了去掉理想濾波器的漣波, 所以必須使濾波器的變化平滑一點, butterworth可以藉著order n的改變來控制其平滑的程度, 右圖是取order為2, 而分別調整其截止頻率所產生的影像

Different order in BLPF 這圖是改變order由1到20, 其漣波的情形, 由圖可以知道, order越大濾波器會越接近理想濾波器,

Gaussian lowpass filter function 效果很像butterworth order=1時, 右圖一樣是使用不同截止頻率所得到的結果

Example lowpass filter 這是個使用Gaussian filter例子,

Gaussian filter Gaussian 的高通低通濾波器, 對應到spatial doamin上的mask

highpass filter 三種濾波器及其頻譜的比較

三種濾波器應用效果的比較

Spatial transformation 旋轉ø度 x`=xcos ø +ysin ø y`=-xsin ø +ycos ø 水平放大a倍, 垂直放大b倍 x`=ax y`=by 歪曲θ度 x`=x+ytan θ y`=y spatial transformation 包括旋轉, 改變大小, 和扭曲, 如所列公式, 右圖是表示扭曲是將影像區分成一個個的方塊一個個的去扭曲 這些動作都有可能因為離散的關係,造成image有些地方會有洞的產生, 所以必須想辦法將他補起來, 下面舉了兩個方法, 來處理這個問題

灰度內插法 最近鄰居內插法 以最近的點的灰階值作為其灰階值

灰度內插法 雙線性內插法 取最近的四個點的灰階值來決定洞的灰階值