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第10章 Z-变换 The Z-Transform
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本章主要内容 1. 双边Z变换及其收敛域ROC。 2. ROC的特征，各类信号的ROC，零极点图。
4. 由零极点图分析系统的特性。 5. 常用信号的Z变换，Z变换的性质。 6. 用Z变换表征LTI系统，系统函数，LTI系统 的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。 7. 单边Z变换，增量线性系统的分析。
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10.0 引言 (Introduction) Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。
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10.1 双边 Z 变换 The z-Transform 一.双边Z变换的定义: 其中 是一个复数。 当 时， 即为离散时间傅立叶变换。
其中 是一个复数。 当 时， 即为离散时间傅立叶变换。 这表明：DTFT就是在单位圆上进行的Z变换。
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可见：对 做 Z 变换就等于对 做DTFT。 因此，Z 变换是对DTFT的推广。
二. Z变换的ROC： Z变换与DTFT一样存在着收敛的问题。 1. 并非任何信号的Z变换都存在。 2. 并非Z平面上的任何复数都能使 收敛。Z平面上那些能使 收敛的点的集合，就构成了 的ROC。
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例1. 时收敛 当 时， 单位圆 1 Z平面 a 的DTFT存在 此时，ROC包括了单位圆。
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此时，ROC不包括单位圆，所以不能从 简单通过将 得到 。
例2. 此时，ROC不包括单位圆，所以不能从 简单通过将 得到 。 Z平面 1 （例2的ROC）
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例3. a 1 Z平面 单位圆
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一般情况下， 的ROC是 Z 平面上一个以原点为中心的圆环。
例4. 2 1/2 Z平面 一般情况下， 的ROC是 Z 平面上一个以原点为中心的圆环。
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结 论： 1）Z变换存在着收敛的问题，不是任何信号都存在Z变换，也不是任何复数Z都能使 收敛。
2）仅仅由 的表达式不能唯一地确定一个信号，只有 连同相应的ROC一道，才能与信号 建立一一对应的关系。 3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。
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4）如果 ，则其ROC是各个 的ROC的公共区域。若没有公共区域则表明 的Z变换不存在。
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三. 的几何表示—零极点图： 如果 是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到： 由其全部的零、极点即可确定出 ，最多相差一个常数因子 。
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因此，若在 Z 平面上表示出 全部的零极点，即构成 的几何表示——零极点图。
如果在零极点图上同时标出ROC，则由该零极点图可以唯一地确定一个信号。 零极点图对描述LTI系统和分析LTI系统的特性，具有重要的用途。
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10.2 Z 变换的ROC The Region of Convergence for the z-Transform ROC的特征：
的ROC是Z平面上以原点为中心的环形区域。 2. 在ROC内 无极点。 3. 有限长序列的ROC是整个有限Z平面（可能不包括 ，或 ）。
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由 当 时，在 的展开式中，只有z的负幂项，故z不能为0，但可以取 。 当 时，在 的展开式中，只有z的正幂项，故z不能为 ，但可以取0。 当 时，在 的展开式中，既有z的正幂项，也有负幂项，故z既不能为 也不能取0。
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4. 右边序列的ROC是某个圆的外部，但可能不包括 。
设 是右边序列， 由 ， 有 若 则， 则 如果 ，
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当 时,由于 展开式中有若干个Z的正幂项，此时 不能为 。
5. 左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能不包括 。 若 ， ，则
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当 时，由于 的展开式中包括有Z的负幂项，所以Z不能为零。
6. 双边序列的Z变换如果存在，则ROC必是一个环形区域。 例1. 其他
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极点： （一阶） （N－1阶） 零点： 在 处，零极点抵消，使有限 z平面内无极点。
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在 时，两个子收敛域无公共部分，表明此时 不存在。
例2. b 1/b Z平面 在 时，两个子收敛域无公共部分，表明此时 不存在。 时，ROC为
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则 为右边序列，且是因果的，但其傅立叶变换不存在。
例3. 零点： （二阶） 在有限Z平面上极点总数与零点总数相同 极点： 若其ROC为： 1 则 为右边序列，且是因果的，但其傅立叶变换不存在。
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时 是左边序列，且是反因果的，其傅立叶变换不存在。
2 时 是双边序列，其傅立叶变换存在。 3 ROC是否包括 ，是 是否因果的标志。 ROC是否包括 ，是 是否反因果的标志。
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注意 对于双边z变换，不同的收敛域对应的原函数不同，所以求解反变换时要注明收敛域； 收敛域中不包括任何极点; 收敛域以极点为界；
对于多个极点的情况，右边序列的收敛域是从最大的极点向外至无穷远（可能包括无穷远）；反之，左边序列的收敛域由最小的极点向内至原点（可能包括原点）；双边序列的收敛域若存在则为圆环；有限序列的收敛域为整个平面（0与无穷远位置是否包括在内要视信号的形式）； 收敛域判断的注意事项 信号与系统
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10.3 Z-反变换 The Inverse Z-Transform 一.Z-反变换： 令
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当 从 时，z沿着ROC内半径为 r 的圆变化一周。
其中 C 是 ROC 中逆时针方向的圆周。 二. 反变换的求取： 1. 部分分式展开法： 当 是有理函数时，可将其展开为部分分式
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步骤 ：1. 求出 的所有极点 ； 2. 将 展开为部分分式； 3. 根据总的ROC，确定每一项的ROC； 4. 利用常用变换对和Z变换性质求出每一项的反变换。 例： 将 展开为部分分式有：
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例题 例 计算 的z反变换。 例题5-15 信号与系统
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Z逆变换 重极点情况： 设 在 处有m重极点，如拉氏反变换那样， 的部分分式展开式中关于重极点 的分项，然后计算相应的z反变换。 信号与系统
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例题 例 计算 的z反变换。 z反变换 信号与系统
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2. 幂级数展开法:（长除法） 由 的定义，将其展开为幂级数，有
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展开式中 项的系数即为 。当 是有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。
由于右边序列的展开式中应包含无数多个Z的负幂项，所以要按降幂长除。 由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z的正幂项，所以要按升幂长除。 双边序列要先将其分成分别对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。
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例： 所以前式按降幂长除，后式按升幂长除。 幂级数展开法的缺点是当 较复杂（含多个极点时）难以得出 的闭式。
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幂级数展开法适合用来求解非有理函数形式 的反变换。
3. 留数法： 对有理函数的 由留数定理有： 是C内的极点。 是C内的极点。 时， 是C外的极点。 时，
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Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot
10.4. 由零极点图对离散时间傅立叶变换几何求值 Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot 当ROC包括 时，Z 变换在单位圆上的情况就是 ，因此也可以利用零极点图对其进行几何求值。 其方法与拉氏变换时完全类似：
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考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性。
例1. 一阶系统 a 1 当 时，ROC包括单位圆。
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显然， 取决于 的变化。 当 时， 在 处， 有最大值。 当 时， 有最小值。 随 呈单调变化。
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一阶系统的频率特性：
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a 1 当 时，
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可以看出： 越小，极点靠原点越近，系统的频率响应越平缓，系统的带宽越宽；此时 衰减越快， 上升越快。 越大，极点靠单位圆越近，系统频响越尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，相位的非线性程度越厉害。
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例2. 二阶系统： （系统欠阻尼） 极点： 零点： （二阶）
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考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，即可得到二阶系统的频率特性。
1 考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角的变化情况，即可得到二阶系统的频率特性。
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当 从 时，在靠近 处频率响应会出现极大值。 若r越接近于1， 的峰值越尖锐。由于极点远离原点， 和 的变化速率越慢。 随着r减小，极点逐步靠近原点，频率响应趋 于平坦，而 和 的变化速率会加快。
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二阶系统的频率特性：
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当极点很靠近单位圆时，也可以从零极点图粗略确定系统的带宽。
更一般的情况，二阶系统也可能 有两个实数极点，此时系统处于过阻尼状态。其特性相当于两个一阶系统级联的结果。 （二阶系统具有重阶实数极点的情况）
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10.5 Z变换的性质 Properties of the Z-transform
Z变换的许多性质与DTFT的性质相似，其推 论方法也相同。这里主要讨论其ROC的变化。 1. 线性： 则 ：包括
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如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则ROC可能会扩大。
2. 时移： 若 则 但在 和 可能会有增删。 由于信号时移可能会改变其因果性，故会使ROC 在 ， 有可能改变。
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z变换时移性质 单边z变换： 位移只会使得z变换在原点和无穷远的零、极点情况发生变化。 z变换的性质 信号与系统
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z变换时移性质 因果序列右移： 双边z变换： 位移性质可用于求解系统的各个响应。 z变换的性质 信号与系统
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z变换时移性质 例 求输入为 的一阶LTI离散系统 在初始条件 下的系统响应。 例题5-9 信号与系统
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z变换时移性质 例 求输入为 的一阶LTI离散系统 在初始条件 下的系统响应。 例题5-9 信号与系统
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3. Z域尺度变换： 若 则 时 收敛，故 时， 收敛。 当 时，即为移频特性。 若 是一般复数 ，则 的零极点不仅要将 的零极点逆时针旋转一个角度 ，而且在径向有 倍的尺度变化。
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信号在时域反转，会引起 的零、极点分布按倒量对称发生改变。
1/2 4. 时域反转： 若 (收敛域边界倒置) 则 信号在时域反转，会引起 的零、极点分布按倒量对称发生改变。
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如果 是 的零/极点,则 就是 的零/极点。由于 也是 的零/极点，因此
也是 的零/极点。 即： 与 的零极点呈共轭倒量对称。 例： 的ROC为 若 则 的ROC为
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5. 时域内插: 若 为 的整数倍 其他 则 证明：
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6. 共轭对称性： 若 则 当 是实信号时， 于是有 表明如果 有复数零极点，必共轭成对出现。 7. 卷积性质： 若
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包括 则 如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC 可能会扩大。 该性质是LTI系统Z变换分析法的理论基础。
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例题 例 计算卷和 例题 5-11 信号与系统
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例题 例 计算 的z变换 例题5-12 信号与系统
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8. Z域微分： 若 则 利用该性质可以方便地求出某些非有理函数 的反变换，或具有高阶极点的 的反变换。 例1.
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例2：
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9. 初值定理： 若 是因果信号，且 则 证明：将 按定义式展开有： 时有 显然当
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10. 终值定理 ： 若 是因果信号，且 ， 除了在 可以有一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则 证明： 除了在 可以有 单阶极点外，其它极点均在单位圆内， 在单位圆上无极点.
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这其实表明：如果 有终值存在，则其终 值等于 在 处的留数。
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Z平面上极点位置与信号模式的关系示意图
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Analysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms
Some Common Z-Transform Pairs （自学） 10.7 利用Z变换分析与表征LTI系统 Analysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms 一.系统特性与 的关系: LTI系统的特性可以由 或 描述，因而也可以由 连同ROC来表征。
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称为系统函数。系统的特性应该在系统函数中有所表现。
所以 , 的ROC是最外部极点的外部， 并且包括 。 1. 因果性：如果LTI系统是因果的，则 时 2. 稳定性：若LTI系统稳定，则 ， 的DTFT存在。表明单位圆在 的ROC内。 即 的ROC必包括单位圆。
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因此，因果稳定的LTI系统其 的全部极 点必须位于单位圆内，反之亦然。 当 是关于 Z 的有理函数时，因果性要 求 的分子阶数不能高于分母阶数。
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例题 例 图示出了一个离散反馈控制系统。已知它的正向传输 ，而它的反向传输 ，求使系统稳定的K值范围。 系统稳定性：例题5-20 信号与系统
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二. LTI系统的Z变换分析法： 1） 由 求得 及其 ）由系统的描述求得 及其
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3） 由 得出 并确定它 的ROC包括 。 4） 对 做反变换得到 。 三. 由LCCDE描述的LTI系统的 : 由差分方程描述的LTI系统，其方程为 对方程两边做Z变换可得：
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是一个有理函数。 的ROC需要通过其它条件确定，如： 1.系统的因果性或稳定性。 系统是否具有零初始条件等。
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例：由下列差分方程做出网络结构，并求其系统函数 H(z) 和单位脉冲响应 h(n)。
解：由方程可得 FIR
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解：由方程可得 利用Z变换的性质可得 IIR
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10.8 系统函数的代数属性与系统的级联、并联结构
System Function Algebra and Block Diagram Representations 一. 系统互联的系统函数: 1. 级联： ROC包括
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2. 并联： ROC包括 3. 反馈联接： 由系统框图可列出如下方程：
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ROC：包括 二. LTI系统的级联与并联结构： 由LCCDE描述的LTI系统，其系统函数为有理函数，可以将其因式分解或展开为部分分式。
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1 .级联型： 将 因式分解，在无重阶零极点时可得: N为偶数时 其中 是二阶（或一阶）系统函数。 由此即可得系统的级联结构：
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D LTI系统的级联型结构
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2. 并联型： 将 展开为部分分式，在无重阶极点时有 N为偶数时
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D LTI系统的并联型结构
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例题 例 求下列二阶离散系统的z域模拟 例题5-21 信号与系统
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例题 例 求M阶滑动平均离散系统 的z域模拟图。
这是一般系统在 时的特殊情况，它构成长M的FIR数字滤波器。此时反馈系统函数 ，使得系统仅有前馈环节，即 例题5-22 信号与系统
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10.9 单边Z变换： The Unilateral Z-Transform 一. 单边Z变换：
单边Z变换是双边Z变换的特例，也就是因果信号的双边Z变换。因此单边Z变换 的ROC一定是最外部极点的外部，并且包括 。
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所以在讨论单边Z变换时，不再强调其ROC。它的反变换也一定与双边Z变换的反变换一致。
如果信号 不是因果序列，则其双边Z变换 与单边Z变换 不同。 例1: 对其做双边Z变换有：
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对其做单边Z变换有： 显然 例2. 对其做双边Z变换有： 对其做单边Z变换有：
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显然 这是因为 在 的部分对双边Z变换起作用，而对单边Z变换不起作用所致。 二. 单边Z变换的性质： 只要所涉及的信号是因果信号，单边Z变换除了时移特性与双边Z变换略显不同外，其它性质与双边Z变换的情况是一致的。
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时移特性： 若 则 Proof:
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同理可得： Proof： 同理可得：
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单边Z变换在将LCCDE变换为代数方程时，可以自动将方程的初始条件引入，因而在解决增量线性系统问题时特别有用。
则
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自然响应 强迫响应
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离散系统的z域分析 零输入响应Z域求解的一般形式： 1）对差分方程进行Z变换(用移序性质) ； 2）由Z域方程求出响应；
3）求反变换，得差分方程时域解。 信号与系统
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例： 已知某线性时不变系统数学模型如下： y(n)-5y(n-1)+6y(n-2)=0 ,初始状态y(-1)=4，y(-2)=1，求零输入响应y(n)。
解： 对差分方程进行Z变换(用移序性质) ； 例题 信号与系统
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离散系统的z域分析 1.用z变换计算离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应 利用z变换的时移性质可以方便的求解各系统响应
例 求输入为 的二阶LTI离散系统 在初始条件 下的零输入响应、零状态响应和全响应。 z变换计算离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应 信号与系统
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离散系统的z域分析 1.用z变换计算离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应 例 例题5-17 信号与系统
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离散系统的z域分析 2. LTI离散系统的系统函数 定义为离散系统单位采样响应的z变换。
由于系统零状态响应等于输入激励与系统单位采样响应的卷和，使得零状态响应的z变换等于输入激励的z变换乘以系统函数，即 LTI离散系统的系统函数 信号与系统
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离散系统的z域分析 2. LTI离散系统的系统函数 设描述N阶LTI离散系统的差分方程为
当一个物理可实现系统（其单位采样响应一定是因果的）的输入为因果信号时，系统零状态响应一定也是因果的 LTI离散系统的系统函数 信号与系统
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离散系统的z域分析 2. LTI离散系统的系统函数 例 求二阶系统的差分方程 的系统函数、单位采样响应和在输入 时的零状态响应。
的系统函数、单位采样响应和在输入 时的零状态响应。 例题5-18 信号与系统
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离散系统的z域分析 2. LTI离散系统的系统函数 例 求二阶系统的差分方程 的系统函数、单位采样响应和在输入 时的零状态响应。
的系统函数、单位采样响应和在输入 时的零状态响应。 例题5-18 信号与系统
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例： 解： 2019/5/14
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2019/5/14
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例： 解： 2019/5/14
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2019/5/14
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2019/5/14
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Fibonacci序列
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Fibonacci序列
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Fibonacci序列
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Fibonacci序列
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Fibonacci序列
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10.10 小结：Summary 1. 讨论了对离散时间信号和LTI系统进行Z变换分析的方法，整个讨论方法及大部分结论与第九章相对应。
2. 与拉氏变换的情况对照，可以发现S平面与Z平面之间存在着一种影射关系， 就是这种联系。 将连续时间信号 采样，可以得到：
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对其做拉氏变换有： 对采样所得到的样本序列 做Z变换有： 比较两式，可以得出S平面与Z平面之间有：
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映射过程： 1
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这种映射关系在数字信号处理，特别是数字系统设计中是非常重要的。明确了这种关系就很容易对Z 变换与拉氏变换的关系及差异之处有更清楚的认识。
3. 利用Z变换分析LTI系统，较之DTFT具有更方便、更广泛适用的优点。 4. 单边Z变换是分析增量线性系统的有力工具。
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