電 路 學 1. 電路元件與基本定律 1-1 定義與單位 1-5 被動元件與主動元件 1-2 電荷與電流 1-6 歐姆定律 1-3 電壓、能量和功率 1-7 克希荷夫定律 1-4 電路元件 本章練習 授 課 老 師: 劉 建 宏

1-1 定義與單位 (Definitions And Units) 電路元件是指實驗室或工廠中常見之實際元件， 如：電阻器、電感器、電容器、電池、二極體、電晶體、電動機、 發電機 ……。 利用導線把元件連接起來便可得實際電路。 分析電路時，為使所求得的數據，如：電流、電壓、功率、能量等 符合量測的意義，必須採用標準單位系統，本書採用國際單位系統 (International System of Units)，簡稱 SI 制。 在 SI 制中，電流的基本單位是安培 (Ampere 簡寫 A)， 其他電學單位為導出單位，可分別由安培導出。 SI 制的優點是導入十進位系統。 1-1

1-1 定義與單位 (Definitions And Units) 下表列舉 SI 制配合實際應用，常用的 10 次方及其簡寫符號。 乘　積 字 　　首 符　號 109 十億 (Giga) G 106 百萬 (Mega) M 103 仟 (Kilo) k 10–3 毫 (Milli) m 10–6 微 (Micro) μ 10–9 奈 (Nano) n 10–12 微微 (Pico) p 1-2

1-2 電荷與電流 (Charge and Current) 電流為單位時間 (sec) 內，通過某一截面積的電荷量 (C) 即 ，其單位為安培 (A)。 i dq dt = 由上式可得在時間 t0 和 t 之間，進入某一元件的全部電荷為 q t i dt T = - ò ( ) 注意：所考慮的電路元件都是電中性的，即沒有正或負電荷能 　　　在元件內累積，亦即有一正 (負) 電荷流進，要有一正 (負) 　　 電荷流出。 元件的電流流向 A B i 1-2

1-2 電荷與電流 (Charge and Current) 例 1-1：進入元件的全部電荷是 q = 5t2 – 8t mC ， 試求 t = 0s 和 t = 2s 時之電流 i 值。 解： 由 式， i dq dt d t = - ( ) 5 8 10 2 在　　　 時 t = s i - ( ) 10 × 8 (mA) 在　　　 時 t = 2 s i - ( ) 10 × 8 12 (mA 例 1-2：進入一端點電流 i = 20t – 5 mA， 試求 t = 1s 和 t = 4s 之間，進入端點的全部電荷。 解： 由 式， q t i dt T = - ò ( ) q idt t = ò q t dt = - ò 1 4 2 20 5 10 135 ( ) mC 1-3

1-3 電壓、能量和功率 (Voltage, Energy and Power) 電壓為移動 1 單位 (1庫侖) 電荷，從元件之一端點移至另一端點 所作的功，其單位為伏特 (Voltage，簡寫V)。 若在某元件上移動 1 單位電荷須作功 1 焦耳，則代表此元件上有 1V 　 之電壓，即 1V = 1J / C。電壓又稱為電位差或電壓降。 電壓極性表示法 A B v ＋ － 為瞭解能量是電路供給元件或由元件供給電路，必須知道元件上 電壓的極性和流過元件的電流方向； 若正電流進入電壓正端點，那外力必須去推動電流，即供給或釋放 能量給元件，因而元件吸收能量； 若正電流從正端點流出 (進入負端點)，則元件釋放能量給外接電路。 1-4

1-3 電壓、能量和功率 (Voltage, Energy and Power) 一很小電荷 Dq 從正端點流過元件移向負端點， 則元件吸收能量為 Dw，即 Dw = vDq 若流過元件所需時間是 Dt ，則功的變化率或能量 (w) 的消耗率為 或 lim D t w v q ® = dw dt dq vi 而能量消耗率即為功率 (p) 的定義，所以 p dw dt vi = vi 單位為 (J / C)(C / S) 或 (J / S)， 一般定義 1J / S 為 1 瓦特 (Watt，簡寫W)。 1-5

1-3 電壓、能量和功率 (Voltage, Energy and Power) 右圖的元件所吸收的功率為 p = vi，由於電流為流入電壓之正極性， 故元件吸收 vi 之功率，若是電流方向相反或是電壓極性相反， 則元件為對外釋放 vi 功率。 有電壓 v 、電流 i 之元件 A B v ＋ － i 欲計算在時間 t0 和 t 之間， 釋放到元件的能量， 可積分 　　得 p dw dt vi = w t ( ) - ò 上式表示在時間 t0 和 t 之間釋放到元件的能量。 w(t) 為在時間開始到 t 之間釋放到元件的能量， w(t0) 為在時間開始到 t0 之間釋放的能量， 假設時間開始於 t = – ¥ ，且元件的能量為零，即 w ( ) - ¥ = 若在上式中 t0 = – ¥ ，則從時間開始到 t 釋放的能量為 w t vi dt ( ) = -¥ ò 因 w t vi dt ( ) = + -¥ ò 　　　　　　　 和 　　　　　　可合併成 w t vi dt ( ) = + ò - -¥ 1-5

1-3 電壓、能量和功率 (Voltage, Energy and Power) 例 1-4：如下圖所示，進入元件 A 端點的電流 i = 4A，求： (a) 元件吸收功率。 (b) 在時間 t = 0s 和 t = 4s 間釋放到元件的能量。 V 6 + - A B 解： (a) 由 ，吸收功率 p = vi (正電流進入正端點 )， 故吸收功率 = (6)(4) = 24(W) p dw dt vi = (b) 由　 　 ，得　 w t vi dt ( ) - = ò )( 4 6 96 J 1-6

1-3 電壓、能量和功率 (Voltage, Energy and Power) 例 1-5： 一個兩端點元件吸收能量如下圖所示， 若電壓 v(t) = cos100πt (V)，求 t = 1 ms 和 t = 4 ms 　　　　 進入正端點的電流。 　 由 (1-4) 式 13 10 2 8 w (mJ) t (ms) 解： p dw dt vi = 由 ，且由吸收能量圖得知，在 t = 1ms 時 p t dw dt v i ( ) = 2 – 0 5 10 – 0 i t ( ) cos100 \ = 5 p i ( ) cos100 . = 1 5 1×10-3 2573 p ms (A) p t dw dt ( ) . = 13 – 10 8 – 2 5 同理，在 t = 4ms 時 i t ( ) . cos100 \ = 5 p i t ( ) . cos100 = 4 5 4×10-3 1 618 p ms (A) 1-7

1-4 電路元件 (Circuit Elements) 1. 電壓源（Voltage Source） 電壓源可提供電路元件兩端點間之電壓，其所提供之電壓值可為常數，或是時變者。 (1). 以電壓極性變化分為： (a). 直流電壓源：電源電壓的正負極性不隨時間而改變。 V (a) v t ( ) (b) v t ( ) (b). 交流電壓源：電源電壓的正負極性隨時間而改變。 (a) v t ( ) (b) v t ( ) (c) v t ( ) 1-8 電路學-CHAPTER 2

1-4 電路元件 (Circuit Elements) 1. 電壓源（Voltage Source） (2). 依電源電壓值與電路元件之關係可分為： (a). 獨立電壓源：獨立電壓源是兩端點元件，例如：電池或發電機， 其在端點間維持一特定電壓，此電壓與電路上其它 元件的電流或電壓完全無關。 左圖表示 v 伏特獨立電壓源之符號及極性。 + - (a) 時變 v t ( ) (b) 定值 (a) + - 任 意 網 路 (b) VCVS v 1 = m (c) CCVS i g (b). 相依電壓源：相依 (或被控制) 電壓源其端電壓與電路上某些元件 的電壓或電流有關，其電路符號如右圖 (a)； 一個被電壓控制的電壓源 (VCVS) 是與電路上某些電壓有關的電源，如右圖 (b)； 一個被電流控制的電壓源 (CCVS) 是與電路上某些電流有關的電源，如右圖 (c)。 1-8

1-4 電路元件 (Circuit Elements) 2. 電流源（Current Source） 電流源可提供電路元件兩端點間之電流，其所提供之電流值可為常數，或是時變者。 (1). 依電流源所提供之流向可分為： (a). 直流電流源：所提供的電流方向是固定值。 (a) i t ( ) I (b) i t ( ) (b). 交流電流源：所提供的電流方向是交流變化者。 (a) i t ( ) (b) i t ( ) 1-9

1-4 電路元件 (Circuit Elements) 2. 電流源（Current Source） (2). 依電源電流值與電路元件之關係可分為： (a). 獨立電流源：獨立電流源是提供特定電流的兩端點元件， 此電流與電路上其它元件的電壓或電流完全無關， 左圖表示一獨立電流源的符號，i 是特定電流值， 箭頭表示電流方向。 i t I ( ) 或 獨立電流，i(t) 為時變 I 為定值 (a) 任 意 網 路 + - (b) VCCS v 1 i g = (c) CCCS b (b). 相依電流源：一個相依 (或被控制) 電流源所提供的電流，與電路上 某些元件的電壓或電流有關，其電路符號如右圖 (a)； 一個被電壓控制的電流源 (VCCS) 其電流受到某些元件上之電壓所控制，如右圖 (b)； 一個被電流控制的電流源 (CCCS) 其電流被某些元件之電流所控制如右圖 (c)。 1-8

1-4 電路元件 (Circuit Elements) 3. 電阻器（Resistor） 某元件跨接於一個理想電壓源的端點間，其所產生之電流與電壓成正比， 則該元件稱為電阻器 (Resistor)。即 ，電阻的單位 (V / A) 稱為 歐姆 (Ohm)，以希臘字母 Ω表示。 R v t i = ( ) 電阻的倒數稱為電導 (Conductance)。即 ，電導的單位 (A / V) 稱為姆歐 (Mho)，或西門子 (Siemens，簡寫 S)，以符號 　或 S 表示。 G R = 1 Ω (a). 線性電阻器 (b). 非線性電阻器 1 v Ri = i R v i 斜率＝電阻 1-11

1-4 電路元件 (Circuit Elements) 4. 電容器（Capacitor） 電容器是由上下兩片導體以及導體中間加介質材料所構成的 兩端點元件。電容器上所儲存的電荷　與其端電壓　成正比， 　　　　　　　　 即 q V Cv = 故電容的單位為庫侖 / 伏特（C / V），稱為法拉 (Farad，簡寫 F)。 常以微法拉 或微微法拉 為單位。 ( m F F ) = 10-6 ( p 10-12 電容器中的電壓與電流　　 關係， 　可由　　　及　　　 　得到 ( ) v - i q Cv = dq dt 電容器的電路符號 + - v i C dt dv C i = 1-12

1-4 電路元件 (Circuit Elements) 電感器(Inductor) 5. 電感器（Inductor） 電感器是將導線繞成線圈形狀而組成的兩端點元件。電感器上的 磁通量與其電流成正比， 即 N Li f = 此處為 N 匝數，L 為比例常數稱為電感器的電感量，單位為亨利 ( Henry，簡寫 H ) 根據法拉第定律知改變磁通量　會在線圈兩端產生電壓　， 此為電磁感應原理， 　 即 f v v N d dt = f N d dt L di f = dt di L v = Þ Þ L v - + i 電感器的電路符號 1-13

1-5 被動元件與主動元件 (Passive and Active Elements) 一個元件其消耗或儲存的能量若是符合下面定義，則稱其為被動元件， 　 否則為主動元件。 = ) ( ò ¥ - t dt p w + = ò t p ) ( dt w ³ v i 電阻器：其消耗的能量為 電容器：其儲存的能量為 ò + = ¥ - t dt p w ) ( ) ( 2 1 / = ò t Cv vdv C dt dv v vi w c v ò ³ = t dt R i vi 2 ) ( = -¥ v \ 故電阻器為被動元件。 [ ] ) ( 2 1 ³ = - Þ \ t Cv v C w c 故電容器亦為被動元件。 1-15

1-5 被動元件與主動元件 (Passive and Active Elements) 電感器：其儲存的能量為 例 1-8： 下圖為電流與時間的函數描述， 其電流可表示成 ) ( ø ö è æ = ò ¥ - dt i di L vi t w ) ( 2 1 = ò t Li di i L ( ) ò ¥ - = t L dt p w v i P dv C i t ( ) , = - ¥ < £ ì í ï î 1 2 ( ) = -¥ i \ 1 ) ( 2 ³ = \ t Li w L + - H 2 i t ( ) v 故電感器也是被動元件。 l 1 2 i ( A) - ) t s 其電位、功率、與能量的分佈為何？ 1-16

1-6 歐姆定律 (Ohm’s Law) 若一個電壓 v(t) 加在一個電阻器 R 兩端，並有電流 i(t) 流過 R， 若電壓之極性與電流之方向如下圖所示， 　 則 v(t) = Ri(t) + - v t ( ) i R 此即歐姆定律，由此式亦可得 R v t i = ( ) 1-16

1-7 克希荷夫定律 (Kirchhoff’s Laws) 克希荷夫定律（KCL） in n=1 N = 0 å 進入任何節點的電流代數和為零。其數學通式為 其中 in 是進入節點的第 n 項電流，N 是進入節點的電流數目。 in n=1 N = 0 å 離開任何節點的電流代數和為零。其數學通式為 其中 in 是進入節點的第 n 項電流，N 是進入節點的電流數目。 進入任何節點的電流和 = 離開這結點的電流和。 + - i 6 1 4 2 3 a b c d 8 5 7 進入或離開任何封閉曲面（超節點）的 　 電流代數和為零。 = 0 + i4 i1 i2 i3 1-22

1-7 克希荷夫定律 (Kirchhoff’s Laws) 克希荷夫定律（KCL） 環繞任何環路的電壓代數和 = 零 範例 1. a → b 路徑中，首先遇到 ＋ 號，故 v1 取正號。(此路徑為電壓降) 2. a → c 路徑中，首先遇到 ＋ 號，故 v2 取正號。(此路徑為電壓降) 3. c → d 路徑中，首先遇到 ＋ 號，故 v3 取正號。(此路徑為電壓降) 4. d → c 路徑中，首先遇到 － 號，故 v4 取負號。(此路徑為電壓升) 因此依 KVL 可得 v1+ v2 + v3 － v4 = 0 環繞任何環路上電壓升之和 = 電壓降之和。 如右圖之電路中 + - v 1 4 2 3 a b d c v4 為電壓升(自電源之負端至正端為電壓升) v3 為電壓降(自元件之正端至負端為電壓降) v2 為電壓降(自電源之正端至負端為電壓降) v1 為電壓降(自元件之正端至負端為電壓降) 因此依 KVL 可得 v4 = v1+ v2 + v3 1-23

本章練習 1-1 進入一端點的電流波形如圖所示，求 t = 0 到 t = 4 s 100 - 200 300 400 1 2 3 4 5 6 7 8 i ( ) A t s 答：975 C；383 C 1-2 某一電路元件之正端點 A 之電壓為 v，電路元件吸收 之功率在 t > 0 時為 4(t2－1)W。 t > 0 , v = (2t－2)V， 求在 t = 0 及 t = 2 s 之間，多少電荷流入 A 端？ 答：8 C 1-24

ò 本章練習 1-3 若進入正端點電荷及電壓是 求在 t = π時，釋放到元件的功率。 答：6 W 1-4 若進入元件正端點的電流 ，而電壓 1-3 若進入正端點電荷及電壓是 　　　 求在 t = π時，釋放到元件的功率。 q t C v V = 8 4 6 sin , cos 答：6 W 1-4 若進入元件正端點的電流 ，而電壓 求在5分鐘內釋放到元件的能量。 i 1 t－20mA = 6 t = 12V 答：18000 mJ 1-5 進入一元件正端點的電荷 q = -2e-1C。 　　　 求釋放到元件的功率 p(t)，及在 t = 0 和 1 秒間釋放的 能量，假設 (a) v = 6i ；(b) v = 3 ；(c) v = 2 i dt－4 di dt ò 1 答：(a) 24e-2tW；12 ( 1－e-2 ) J (b) ( -12e-2t ) W；6 ( e-2－1 ) J (c) -8e-2tW；4 ( e-2t－1 ) J 1-25

本章練習 1-6 若電流 i = 2 A 是進入 12 V 電池的正端點，即電池是在 　　　 充電過程中 ( 它是吸收而不是釋放功率 )，求在2小時內 　　　 (a) 供給電池的能量，(b) 釋放到電池的電荷。 答：(a) 172800 J (b) 14400 C 1-7 元件上電壓是 6 V，進入元件正端點的電荷 q 如圖所示。 　　　 求在 t = 4 ms，釋放到元件的功率，和在 t = 1 和 10ms 間 釋放到元件的所有電荷和能量。 10 (ms) 2 3 q(mC) 答：0.75 W；2 mc；6 J 1-25

本章練習 1-8 求以下圖電路所供給的功率。 答：(a) 40；(b) 12；(c) -24；(d) -18 W 1-8 求以下圖電路所供給的功率。 + - A 4 V 6 2 1 (a) (b) (c) (d) 3 答：(a) 40；(b) 12；(c) -24；(d) -18 W 1-9 決定下圖電路中每一元件所吸收之功率。 + - A 4 6 V 20 25 5 10 i x 1 . 答：-90；-80；-50；100；120 W 1-26

本章練習 1-10 求右圖中的 i1 及 i2 值。 答：-5 A；12 A 答：-5 A；12 A 1-11 求右圖中的電壓 v 值。 3 2 9 i 1 答：-5 A；12 A 答：-5 A；12 A 1-11 求右圖中的電壓 v 值。 V 4 + - 12 7 v 答：9 V 1-12 求右圖中 i1 , i2 , v1 , v2 值。 A 1 V 10 5 2 + - W 3 v i 答：6 A；4 A；18 V；28 V 1-26