第3章 电阻电路的一般分析方法

第3章 电阻电路的一般分析方法 3.1 电路中的基本概念 3.2 2b法与1b法 3.3 网孔电流法与回路电流法 3.4 结点电压法

本章要求: 1.掌握支路电流法、回路电流（网孔电流法）和结点电压法系统方程的列写； 2.熟练利用这些方法求解电路，为学习动态电路、非线性电路的分析奠定基础

3.1 电路中的基本概念 左下图电路有4个节点（n = 4），结点的KCL方程。 1 重要概念 （见第一章1.4） 支路 结点 回路 网孔 支路 结点 回路 网孔 （a）: 2 电路中KCL方程的独立性 （b）: （c）: （d）: (a)＋(b)＋(c)＋(d)＝0 结论：n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。

3 电路中KVL方程的独立性 对网孔列KVL方程： ① ② ③ 这3个KVL方程是独立的。 n = 4， b = 6，m=3 ② +③ ，得 为回路abcda的KVL方程 可以证明通过对以上三个网孔方程进行加、减运算可以得到其他回路的KVL方程。

结论： 在平面电路中， KVL的独立方程数等于其网孔数m，而网孔数 n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方程数为：

3.2 2b法与1b法 1 支路法（2b法） 以支路电压和支路电流作为变量，对具有n个结点，b条支路的电路，可以列写（n－1）个独立的KCL方程，b－ ( n － 1）个独立的KVL方程，再对b条支路写出其电压电流关系（VCR）方程。从而得到含b个支路电流和b个支路电压，共2b个变量的2b个独立方程。这种求解电路的方法称为“2b法”。

例如： 3个独立的KCL方程： （a）: 联立求解这2b个（本例2b＝12）方程，就可以求解出各支路电压和电流。 （b）: （c）: 3个独立的KVL方程 缺点：方程数太多，求解困难 ① n = 4， b = 6，m=3 ② 6个支路的电压与电流关系方程 ③

2 支路电流法 接上例 3个独立的KCL方程： （1） 将6个支路的VCR方程 代入3个独立的KVL方程 得 结合（1）和式（2）就是以b条（本例1b＝6）支路电流为未知变量的相互独立的方程组。 （2）

结论： 支路电流法就是以各支路电流为未知量，在n-1个独立结点处列KCL方程，选择b-(n-1)个独立回路列写KVL方程的分析电路的方法。 一般步骤为： （1）选取各支路电流的参考方向和独立回路的绕行方向。 （2）对（n－1）个独立结点列写KCL方程。 （3）根据KVL和VCR对（b－n＋1）个独立回路列出以支路电流为变量的方程。 （4）求解各支路电流，进而求出其他所需求的量。 注意： 若支路中含有电流源，（1）则该支路电流为电流源的电流，（2）列KVL方程时可设电流源的电压为未知量再列KVL方程。

【例3.1】 如图3-3所示电路。求各支路电流、电压uab及各电源的功率。 解：电路有2个结点，3条支路，因此电路可列写1个独立的KCL方程和2个独立的KVL方程。 对结点a列写KCL方程 求解这3个方程得 选取独立回路的绕行方向 列写KVL方程

【例3.1】 如图3-3所示电路。求各支路电流、电压uab及各电源的功率。 各电源的功率分别为 电源us2吸收9W的功率，处于被充电状态

3．3 网孔电流法与回路电流法 1 网孔电流法 1）网孔电流 是一组假想的沿网孔流动的电流，其方向可以任意指定。 如图电路中im1，im2表示两个网孔电流。各网孔电流之间是相互独立的， 且在结点处自动地满足KCL。 2）网孔电流法 是以网孔电流为电路独立变量，对网孔列KVL方程的解题方法，它仅适用于平面电路。

3）方程的列写 各支路电流可用网孔电流表示： 例如 i1＝im1，i2＝im1－im2，i3＝im2 因此以im1，im2为变量，对图中两个网孔列KVL方程，有 整理得 ： 即是以网孔电流为变量的网孔电流方程。

具有两个网孔电路的网孔电流方程的一般形式为： 自电阻总为正 观察可以看出如下规律： R11=R1+R2 网孔1中所有电阻之和，称为网孔1的自电阻。 R22=R1+R3 网孔2中所有电阻之和，称为网孔2的自电阻。 R12= R21= –R2 网孔1和网孔2之间的公共电阻，称为互电阻。 当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。

具有两个网孔电路的网孔电流方程的一般形式为： 观察可以看出如下规律： uS11= uS1 回路1中所有电压源电压的代数和。 uS22= - uS3 回路2中所有电压源电压的代数和。 当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。

由此可知，对于具有m个网孔的平面电路，网孔电流方程的一般形式为 （3-9） 其中: Rkk:自电阻(为正) + : 流过互阻的两个回路电流方向相同 Rjk:互电阻 - : 流过互阻的两个回路电流方向相反 0 : 无关

用网孔电流法求解电路的一般步骤为 1）选取网孔电流； 2）按照式（3-9）列网孔电流方程。注意自电阻总为正，互电阻可正可负；同时注意电压源电压的正负； 3）求解网孔电流； 4）根据所求得的网孔电流来求其他的电压和电流。

【例3.2】用网孔电流法求如图电路中流过5Ω电阻的电流i。 解： （1）选取网孔电流im1，im2。 （2）列网孔电流方程 解方程组得 整理得 所以

2 回路电流法 1）回路电流 是一个回路中连续流动的假想电流 ，其方向可以任意指定。 2）回路电流法 是以回路电流为电路变量，对回路列KVL方程的解题方法，既适用于平面电路，也适用于非平面电路。 对于具有n个结点，b条支路的电路， 有b－(n－1）个独立回路，这样以独立回路电流为变量列出的KVL电压方程是一组独立的方程。 注意：网孔是一组独立回路，独立回路数l等于网孔数m。

Rkk:自电阻，是回路k中所有电阻之和， 恒为正) 对于具有l个独立回路（m个网孔）的平面电路，把网孔选为独立回路，参考式（3-9），得回路电流方程的一般形式为 （3-10） 其中: Rkk:自电阻，是回路k中所有电阻之和， 恒为正) + : 流过互阻的两个回路电流方向相同 Rjk:回路k和回路j的互电阻 - : 流过互阻的两个回路电流方向相反 0 : 无关 uSkk： 回路k中所有电压源电压的代数和。 当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。

注意：（1）回路电流法的解题方法与解题步骤基本与网孔电流法相同。 （2）在选取独立回路时，应尽量将电流源所在的支路选为回路电流，这样可以不再对由电流源支路所确定的回路列写方程，从而进一步减少方程的数量。（其余的独立回路选择应避开电流源所在支路） 【例3.3】已知电路如图所示，用回路电流法求各支路电流。 解：电路中b=5、n=3 独立回路数l=b-(n-1)=3 选取回路及回路电流如图所示。

只让回路电流Il3流过电流源支路，可得 Il3=2mA 因此只需对回路（1） 和（2）建立KVL方程 解得 求得各支路电流

注意：（3）当电路中含有受控源时，可把受控源先当做独立源处理来列方程，然后再把受控源的控制量用回路电流表示 【例3.4】已知电路如图所示，用回路电流法求各支路电流 解：电路中b=6，n=4，l=3。 选取回路如图所示。设回路电流 Il1、Il2分别只流过（15A）独立电流源和 受控源电流（UX/9）所在支路，则 只需对回路2列KVL方程 增补方程： 联立以上方程可求出各回路电流，再求出各支路电流

【例3.5】已知电路如图所示，用回路电流法求电流I1。 解：电路中b=5，n=3，l=3。 选取回路及回路电流如图所示 回路2 回路3 回路1 增补方程： 解得

3.4 结点电压法 1）结点电压 在电路中任意选择某一结点为参考结点，其他结点与此结点之间的电压称为结点电压。 如图电路有4个结点，选择④为参考结点，结点①，②，③的结点电压可分别表示为un1，un2，un3 结点电压(位) 的方向为从独立结点指向参考结点。 + un1 – + un2 – + un3 –

各元件电压可用结点电压表示，例如： 2）结点电压法 以结点电压为变量，在（n-1）个独立结点处列写KCL方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。 列写KCL方程时，用结点电压表示支路电流（电流源所在支路除外）

对左图电路列写KCL方程，并用结点电压表示支路电流，得 3）方程的列写 对左图电路列写KCL方程，并用结点电压表示支路电流，得 结点① 结点② 结点③ 即是以结点电压为变量的结点电压方程。

整理得 可写为

G11＝G1＋G2，G22＝G1＋G2＋G3 ，G33＝G3＋G4＋G5。 具有3个独立结点的电路，结点电压方程的一般形式为 观察得 G11＝G1＋G2，G22＝G1＋G2＋G3 ，G33＝G3＋G4＋G5。 Gkk称为结点k的自电导，它是连接到结点k的所有支路电导之和，恒取“＋”号。

G12＝G21＝－G1， G23＝G32＝－G3 ， G13＝G31＝－G4 具有3个独立结点的电路，结点电压方程的一般形式为 观察得 G12＝G21＝－G1， G23＝G32＝－G3 ， G13＝G31＝－G4 Gkj(k≠j) 称为结点k与结点j的互电导， 它是结点k与结点j之间共有支路电导之和，恒取“－”号。 当两结点间无共有支路电导时，则相应的互电导为零。

iS11＝－IS， iS33＝G3US1＋G5US2， iS22＝-G3US1 具有3个独立结点的电路，结点电压方程的一般形式为 观察得 iS11＝－IS， iS33＝G3US1＋G5US2， iS22＝-G3US1 iSkk是注入到结点k的电流源电流之代数和，包括电压源与电阻串联组合等效变换形成的电流源。 流入结点者取“+”号，流出结点者取“-”号

对于有n个结点的电路， 其结点电压方程组有(n－1)个方程，一般形式为（式3-15） 其中 Gkk —自电导，等于接在结点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。 Gkj = Gjk—互电导，等于接在结点k与结点j之间的所支路的电导之和，总为负。 iSnk — 流入结点k的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。

结点电压法求解电路的一般步骤： （1）选定合适的参考结点； （2）按一般公式(3-15)列出结点电压方程，注意自导总为正，互导总为负，并注意各结点注入电流源电流前面的“＋”，“－”号； （3）由结点电压方程解出各结点电压，根据需要求出其它待求量。 注意：（1）与电流源串接的电阻不参与列方程。 （2）纯电压源支路的2种处理方法： 设电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系方程。 当选电压源支路一端为参考结点时，则另一端的结点电压可根据电压源的电压直接写出 。

【例3.6】已知电路如图所示，用结点电压法求6电阻上的电流 解：选定结点4为参考结点 方法一：设纯电压源支路的电流为I。根据结点电压法直接列写方程得 结点1 解方程得 结点2 待求的电流为 结点3 增补方程：

【例3.6】已知电路如图3-9所示，用结点电压法求6电阻上的电流 方法二：选取纯电压源支路一端为参考结点，即可得 结点1 结点2 结点3

注意：（3）当电路中含有受控源时，可先把受控源当作独立电源来处理并列方程，然后再把受控源的控制量用结点电压表示 。 【例3.7】求已知电路的各结点电压 解：选定结点5为参考结点，并设 受控电压源的电流为I ① ② ③ 增补方程： ④ 联立上面方程最终可以得出待求量