3.4延期年金、永續年金、期初年金 延期年金 : 若開始m期不支付年金，自第(m+1)期起，每期末支付1元，支付n期之年金終值以”m∣Sn┐I”表之。 此延期年金之終值與延期無關 ，其現值可由複利現值公式求得，即 m∣an┐I =(1+i)-m* an┐I (3-13)

亦可前m期虛設支付，再予以扣除，即 m∣an┐I = an+m┐I －am┐I (3-14) 若年金額為R元，則延期年金之現值為 P=R* m∣an┐I =(1+i)-m* an┐I =R* (an+m┐I －am┐I ) (3-15)

例9 某君擬一次存款若干元於銀行，於五年後每三個月末支取5000元，為期10年，已知銀行利率為j(4)=0.12，求應存之款額？ 解：題意R = 5000，m=5*4=20，n=10*4=40，i= =0.03 應用公式(3-15)得 P=5000* 20∣a40┐0.03=5000*(1.03)-20 * a40┐0.03 =5000*(1.03)-20 *[(1-(1.03)-20)/0.03] =5000*0.55367754*23.11477197 =63,990.44元

例10 某君存款2,706,549元於銀行，於若干年後，每半年末支取300,000元，為期13年，本息之完，已知j(2)=0.14，問自存款之日起，若干年後可以開始支取？ 解：依題意 P=2,706,549，R=300,000 n=13×2=26，i= =0.07 代入公式(3-15)得 2,706,549=300,000‧(1.07)-m‧a26┐0.07

移項 得 (1.07)-m=0.762895218 兩邊取自然對數 m= =4(期) 故知延年數 = =2(年)

永續年金 永續年金是支付期數為無限者，其終值無意義，而普通年金之永續年金，年金額為1元之現值以”a∞”表之，其值為

若年金額為R元 則 P=R‧a∞ = (3-17) 即年金額為年金現值之利息而本金不變，故永續無窮。

例11 某人欲在其母校設獎學金三名，每學期每名8,000元，永續無窮，該基金存於銀行，j(2)=0.12，求基金額？ 解：依題意 R=8,000×3=24,000，i= =0.06 代入公式(3-17)得 P=

延期永續年金現值 :若永續年金之現值，年金額1元，亦延m期後始支付，則現值以”m│a∞”表之，其值為

例12 承上例，若基金設置三年後始支付，求基金額？ 解：依題意 R=8,000×3=24,000，i= ，m=3×2=6 代入公式(3-20)得

期初年金 :上述為期末支付(普通年金)，設年金額為期初支付，若每期支付1元，其終值以” ”表之，其現值以” ”表之，期初與期末之互換公式有 (3-21) (3-22)

即每期初支付1元之期初年金，相當於每期末支付(1+i)元之普通年金，針對終值計算，亦可期末虛設一期，為(n+1)期之齊末支付再扣減一期，對現值計算，可於期出挪置一期，為(n-1)期之齊末支付再補加一期，即得 (3-23) (3-24)

讀者可自行圖示明之。若年金額為R元，則 S = R ‧ ， P = R ‧ (3-25)

例13 每半年初支付80,000元之年金，為期四年， ，求年金終值與現值？ 解：依題意 = 80,000 ， ， ，應用公式(3-25) 每半年初支付80,000元之年金，為期四年， ，求年金終值與現值？ 解：依題意 = 80,000 ， ， ，應用公式(3-25) S = R ‧ P = R‧ = 80,000‧ (1+0.06) = 80,000‧ (1+0.06) = 839,305.28元 = 526,590.51元

例14 某君預定五年末有儲蓄50,000元，設存款利率 ，自今日起每半年初，應存款若干元？ 解：依題意 S = 50,000 ，n = ， 某君預定五年末有儲蓄50,000元，設存款利率 ，自今日起每半年初，應存款若干元？ 解：依題意 S = 50,000 ，n = ， 代入公式(3-25)(3-23)得 50,000 = R‧

例15 每三個月初支付30,000元之年金，利率 ，若年金現值為900,000元，問此年金可連續支付若干年？ 每三個月初支付30,000元之年金，利率 ，若年金現值為900,000元，問此年金可連續支付若干年？ 解：依題意 P = 900,000，R = 30,000 ， 代入公式 (3-25)(3-24)得 化簡 29 =

移項 兩邊取對數 = 69.02 n = 70.02 故知此年金可支付年數=

期初年金，已知S或P,R,i求期數亦可代入以下公式，而得 (3-26) 或 (3-27) (讀者仿公式(3-7)(3-8)自證)

至於 與 之關係式可由公式(3-4) 兩邊同乘以 得 故 (3-28)

例16 已知 =13.5，，求i值？ 解：代入公式(3-28)得 通分化簡 即 移項得i=0.075 =7.5%