5.3支付期間小於計息期間 此種年金之支付次數大於計息次數，亦是將其化為簡單年金之普通年金後求解。設在每一計息期間共支付m次，每一支付期末付1/m元，每一支付期間等於(1/m)個計息期，每期利率為i，由複利終值計算，一個計息期之年金終值以符號“ ”表之。

第一支付期末支付之 元，至計息期末，共經過(1-1/m)期，其終值為1/m(1+i) 1-1/m 元。 第二支付期末支付之1/m元，至計息期末，共經過(1-2/m)期，其終值為1/m(1+i) 1-2/m 元，依此類推。 第(m-1) 支付期末支付之1/m元，至計息期末，共經過(1/m)期，其終值為1/m(1+i) 1/m 元。

第m支付期末支付之1/m元，則終值仍為 元。 故　

此種型態之年金現值與終值分別以符號 及 表之，即

與 之關係如下:

若每一計息期間支付m次，每一次支付期末付R元，計息數為n，則年金現值與終值分別為 (5-19) 註: m．R為每一計息期間年金總額。 (5-20) 註: m．R． 為每一計息期之年金額，再依簡單年金求解。

例 1 每月末支付7500元之年金，為期四年，j(2)=0.12，求年金現值與終值? 解一 : 依題意 支付期間<計息期間R=7500，m=6，n=8， i=0.12 / 2= 0.06 每一計息期間之年金額 所以　 　P=46,112.25479． = 286,347.59元 　　 S=46,112.25479． = 456,394.56元

解二：代入公式(5-19) 得 年金現值 代入公式(5-20) 得 年金終值

欲求每一支付期末之R元，則依公式(5-19)或公式(5-20)反求之即可， 即 (5-21) 或 (5-22)

例2 某人以400,000元存入銀行，j(2)=0.12，擬於每月末由其兒子領R元，為期四年，求R? 解: 依題意 P=400,000，i=0.12/2，m= 6，n= 8 代入公式(5-21) 得

若已知S或P、R、i、m欲求年金之支付次數m．n，則須先求出n，依公式(5-21)(5-22)導出如下: 移項 故 (5-23)

又 移項 故 (5-24) 至於零星年金部份則可求出m．n後，依價值方程式為之即可。

例3 投資300,000元，擬每月末支領3,000元，零星年金於最末一次正常年金支付後一個月支領，若年利率=0.03，每年計息一次，求年金支付次數及零星年金部分? 解:依題意 P=300,000，R=3,000，i=0.03，m= 12 代入公式(5-23) 可得 計息次數

故年金支付次數=m．n=12*9.580725893=114.9687107，所以支付3,000元共計114次，零星年金x元在第115次支付。依價值方程式 若i末知時，吾人可依插補法求出支付年金期間的利率，再將此利率轉換成計息期間之利率，如同虛、實利率轉換般，實利率 。

例4 若每三個月末支付10,000元，每年計息一次，五年後可累積成250,000，則年率若即干?( , ) 若每三個月末支付10,000元，每年計息一次，五年後可累積成250,000，則年率若即干?( , ) 解:依題意 設i為每季利率，R=10,000，n= 5 × 4 = 20，S= 250,000 代入年終公式 10,000． 插補法　　　 ( )

故年利率=

若已知S,P,R,m，亦可求每期利率i，依公式(5-21)(5-22)導得:

【另證】 由公式(5-19) 由公式(5-20)

上兩式相減並代入公式(5-16) 得 故 移項

例 5 每月末支付30,000元，期數未知，一年計息兩次，已知P=1,145,390.36元，S=1,825,578.24元，求年利率及年數? 解:依題意 支付次數>計息期數 R=30,000，m=6，P=1,145,390.36，S=1,825,578.24 代入公式(5-25) 得

上述為一般年金之普通年金，若為一般年金之期初年金，設每一支付期初支付 元，每一計息期間共支付m次，每一支付期間等於 個計息期，每期利率仍為i。

期初支付 元，即相當期末支付 元，再依前節方法求解即可，其年金終值以符號 表之，其年金現值以符號 表之，可得關係式如下: (5-25) (5-26)

又現值計算，如挪置第一期 元，則視同 期之期末，故須再補加 元;其終值計算，如期末虛設一期 元，則視同 期之期末，故須扣減一期 元，其關係式如下: (5-27) (5-28)

至於 與 之關係式依公式(5-17)(5-18)導得關係式如下: 　　(5-29) 兩邊同乘 ， 　　　　　　　 (5-30)

至於 與 ， 與 各別之關係式可由上式及公式(5-15)(5-16)導得如下:

故 P= m．R．

例 6 每月初支付7500元，為期五年，j(4) =0.16，求年金現值與終值? 解: 依題意 支付次數>計息次數 解: 依題意 支付次數>計息次數 R(初) =7,500， n=5*4=20， m=3， i=0.16/4=0.04 代入公式(5-33) 得

欲求每一支付期初之Ｒ元，則依公式(5-33)(5-34)反求之即可， 或

例 7 承例2，若某人擬改於每月初由其兒子領R元，餘條件不變，則R=? 解: 依題意 代入公式(5-35)

若已知S或P、R、i、m，欲求一般年金之期初年金之支付次數m．n，仍須先求出n，依公式(5-35)(5-36)仿公式(5-23)(5-24)導得計息數n :

例 8 承例3，投資300,000元，擬改為每月初支領3,000元，餘條件不變，求年金支付次數及零星年金部分? 解: 依題意P=300,000，R(初)=3,000，m=12，i=0.03 代入公式(5-37) 得

零星年金x元在第155期初支付，依價值方程式 若欲求利率，可將期初支付年金額乘以(1+i)1/m，視同期末支付之年金，再依插補法求解，先同前例4年利率之計算。

若已知S、P、m、R欲求i，亦可依公式(5-33) 得 由公式(5-34) 由公式(5-30)

例 9 每月初支付15,000元之年金，三個月複利一次，已知P=627,802元，S=1,375,591.5元，求年利率若干? 解:依題意 支付次數>計息次數 R(初)=15,000，m=3，P=627,802S=1,375,591.5 代入公式(5-39) 得

若為永續年金，支付次數無限多時，其終值仍無意義，期末付款之永續年金現值依公式(5-15)以 表之。

期初支付年金之永續年金現值依公式(5-33)以 表之。

例 10 若年利率12%年計息二次，依下述條件，求永續年金現值? (1)每月初支付2,000元。(2)每季末支付5,000元。 解: (1)依題意 i=0.12/2，m=6，R=2,000(初) 代入公式（5-41） 得

先考慮支付期間>計息期間，即年金支付次數少於計息次息次數之情況，符號kni同5 先考慮支付期間>計息期間，即年金支付次數少於計息次息次數之情況，符號kni同5.2之定義，設f為第一期末所支付的年金額，而d為以後每期增加之額度，支付次數為n/k，每一計息期間支付k次年金， 則第一期末支付f之現值為f(1+i)-k， 第二期末支付(f+d)之現值為(f+d)(1+i)-2k，…… 第n/k期末支付f+(n/k-1)d之現值為 ，所以此等差變額年金之現值( ) 為

年金終值則利用S=P(1+i)n求之即可。 註 : 讀者可自行比較公式(5-42)與(4-2)之差異。

例 1 某君於第一年末支付80,000元，逐年遞增2,000元，為期五年，j(2)=0.12，求年金現值若干? 解 :依題意 計息次數>支付次數

例 ２承例１，若某君改於第一年初即支付80000 元，餘條件不變，求年金現值若干? 解: 依題意

例 3 承例1，若改變永續支付，則此等差變額永續年金之現值若干? 解:依題意 若為期初支付之永續年金，由公式(5-34)導，同理 得

例 4 承例2 ，若改為永續支付，則此等差變額永續年金之現值為若干? 解:依題意 註:驗證:期末支付之現值(例3)為778,165.29乘以(1.06)2等於期初支付之現值874,362.52。

若考慮支付期間＜計息期間，即年金次數多於計息次數之情況，符號ｍ,b,i同5.3之定義，設f為第一次計息期間擬付之總年金額，每次支付之年金額為 共計m次，d為每計息期間遞增之額度，即同一計息期間其年金額固定，下一個計息期間之年金額較前一個計息期間的年金額多 元，則此年金現值仿公式 及5.3之推導可得等差變額年金之現值。

例 5 某人於每三個月底存款5,000元，逐期遞增200元，為期五年，j(2)=0.12，求年金現值若干? 解:依題意 支付次數>計息次數

若此年金於期初支付，則依公式(5-31)及公式(5-46)即可得期初支付之等差變額年金之現值

例 6 承上例5，某人若改為每三個月初存款5000元，餘條件不變，則年金現值若干? 解:依題意

例 7 承例5，若某人每個月末存5,000元，逐期遞增200元，j(2)=0.12，永續存入，求此年金現值若干? 解: 依題意

例 8 承例6，若某人三個月初存款5000永續支存，逐期遞增200元，j(2)=0.12，求此等差變額永續年金之現值? 解: 依題意