《 University Physics 》 Revised Edition 普通物理 (精華版) 《 University Physics 》 Revised Edition 歐亞書局

第 25 章 電位 25.1 位勢 25.2 均勻電場中的電位及電位能 25.3 點電荷的電位及電位能 25.4 由電位導出的電場 第 25 章 電位 25.1 位勢 25.2 均勻電場中的電位及電位能 25.3 點電荷的電位及電位能 25.4 由電位導出的電場 25.5 連續型電荷分布 25.6 導體 歐亞書局 第 25 章 電位 P.331

25.1 位勢 正電荷 q 在均勻電場中的運動，類似於質量為 m 的粒子，在地表均勻重力場中的運動。見圖 25.1 。 25.1 位勢 正電荷 q 在均勻電場中的運動，類似於質量為 m 的粒子，在地表均勻重力場中的運動。見圖 25.1 。 由於逆著電場方向移動一荷電粒子時，外力必須做功；又若外力與電力大小相等且方向相反時，粒子的動能將不改變。 在此情況下，系統便將外力所做的功以位能的形式儲存起來： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.332

圖 25.1 質量 m 的質點在重力場中的運動，和電場中電荷 q 的運動相似。如果粒子的速度為常數，則位能變化與外力做功之關係為：WEXT ＝＋ ΔU 。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.332

此處 Uf 及 Ui 為最終及起始位能。 靠近地表的重力位能函數為 Ug ＝ mgy 。我們可以進一步定義每單位質量之位能，即重力位（grabitational potential）為：Vg = Ug /m ＝ gy 。Vg 的 SI 制單位為 J/kg 。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.332

當一電荷 q 在靜電場中移動時，電位（electric potential）變化量 ΔV 被定義為：每單位電荷靜電位能的改變量： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.332

電位的 SI 單位是伏特（V），這是為了紀念Alessandro Volta ，伏打電堆（早期的電池）的發明者。注意： ΔV 值僅與場源電荷源所建立的電場有關，而與測試電荷無關。一旦兩點間的電位已知，等速移動一電荷 q 所需的外力做功可由 25.1 式求得： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.333

由 25.3 式可以看出，電位的變化量比 Vi 及 Vf 的大小更重要。 做功的正負與 q 的正負及 Vi 、 Vf 之大小有關。如果 WEXT＞ 0 ，代表外力對系統（電場與電荷）做功。如果 WEXT ＜0 ，表示系統對外界做功。 由 25.3 式可以看出，電位的變化量比 Vi 及 Vf 的大小更重要。 我們可以選擇一個熟悉的點當成電位為零的參考點，例如無窮遠處。 在電子電路中，經常選擇接地處當做電位為零的點。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.333

如果 Vi ＝ 0 ，則我們可以得到：Vf ＝ WEXT / q。 空間中某一點的電位為：將一單位正電荷由 零電位處以等速移到該點時，外力所做的功。 電位之度量單位為 J/C ，類似於重力位之度量單位 J/kg 。 當質點在重力場中的高度增加時，它的重力位亦增加；同樣地，當一正電荷被移到較高的電位時，其靜電位也會增加。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.333

正電荷在電位上有「向下」運動的趨勢，就像平常在重力場內的質量一樣。相反地，負電荷在電位上有「向上」運動的趨勢。 而在外加電場中，正電荷和負電荷的運動，皆 有降低系統電位能的趨勢。 雖然外力作功的觀念有助於介紹位能，但是依據系統內部的保守力來定義位能，顯然較為合宜。 由 8.4 式，以保守力做功定義的位能變化量是ΔU ＝－Wc 。此處的負號表示：保守力做正功時，會使得系統位能減少。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.333

在靜電場中，測試電荷 q 所受的（保守）力為Fc ＝ qE 。 因此，位能改變量 dU ＝－dWc 。若使用極小的位移 ds 來表示，可以寫為： 由 25.2 式可知，位能的極小變化量可用位移 ds 表示為： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.333

圖 25.2 顯示一非均勻電場內的曲線路徑。由點A 到點 B的電位改變，為這些極小變量的總和： 此積分的正負號取決於下列兩個因素：(1) 電場 E 分量的正負，及 (2) 所取路徑的方向。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.333

圖 25.2 在靜電場中，由點 A 移到點 B 的電位變量為 VB － VA ＝ －∫ E‧ds ，與選取的路徑無關。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.333

25.2 均勻電場中的電位及電位能 在均勻電場中 E 為常數，因此 25.5 式中積分可以被寫成 ∫E‧ds ＝ E‧∫ ds ＝ E ‧ Δs 。電位的有限變化量 ΔV 與有限位移 Δs 有關，表示如下： 注意： Δs 及 ΔV 僅與起始及終止位置有關，而與選取的路徑無關。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.334

圖 25.3 所示為一均勻電場 E ＝ Ei。讓我們試著計算由點 A 到點 B 的電位變化量，這兩點均在平行線上，且相隔的距離為 d。 因電場僅有 x 分量， 25.6a 可化簡成 ΔV ＝ － Ex Δx 。如果令 Ex ＝ E 及 Δx ＝＋x ，上式可以寫成： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.334

圖 25.3 在均勻電場中，由 A 移到 B 的電位變化量為 ΔV = －E‧Δs 。電位沿著場線方向線性地減少。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.334

電位沿 x 軸線性地減少，如圖 25.3 的圖形所示。讀者必須注意，電場的方向由高電位指向低電位。 倘若圖 25.3 中的真實路徑可由兩個步驟 AC 及CB 來取代，則因 E 垂直於 BC ，這段路徑上測試電荷未受外力做功；而 AC 平行於電場線，外力在此路徑上對電荷做功。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.334

也就是說，當移動路徑是沿著或逆著電場的分量時，外力才會做功。25.6a 式常可寫成以下形式： 此處 d 為沿著或逆著電場之位移分量大小，而正號適用於位移逆著電場方向之時。此外，由25.6c 式我們得到電場的另一個對等單位為 V / m ： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.334

等位面（Equipotentials） 圖 25.3 所示的均勻電場中，每一 x 值均對應一特定的 V 值，因此等位面為平面，在圖 25.3 中是以虛線繪製。 值得注意的是，電力線應垂直於等位面，且其方向由高電位指向低電位。 在 25.4 式中，電位變化量與極小位移 ds 間的關聯為 dV ＝－E‧ds 。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.334

如果沿著等位面移動，則 dV ＝ 0 ，進一步可知 E‧ds ＝ 0 。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.334

電荷的運動（Motion of Charges） 電荷在電場中的運動，可以利用能量守恆定律來討論，即 ΔK ＋ ΔU ＝ 0 。 當我們說到「電荷的電位能」時，意味著其他的電荷被固定在個某位置上。 若以電位來表示守恆定律，可以寫成下式： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.335

ΔK 的正負號與 q 和 ΔV 兩者的正負有關。例如電荷 q ＞0 ，且電荷由高電位移往低電位（ΔV ＜ 0）時，則它將獲得動能。 我們可以使用電子伏特（electronvolt）（eV）這個非 SI 制的能量單位，來度量基本粒子（例如電子和質子）的能量。 當帶有電荷 e 的粒子通過 1V 的電位差時，其動能改變量為一電子伏特。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.335

使用這個單位時，化學的鍵結能約在數個電子伏特之間；而陰極射線管中的電子束，則約有104 eV 的量。 由 25.7 式： 所以 使用這個單位時，化學的鍵結能約在數個電子伏特之間；而陰極射線管中的電子束，則約有104 eV 的量。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.335

例題 25.1 質量為 1.67 × 10－27 kg 的一個質子，進入相距 20 cm 的兩平行板之間。這個區域內有均勻電場 3 × 105 V/m ，如圖 25.5 所示。如果質子的初速為 5 × 106m/s ，則其末速為何？ 解 由 25.7 式可知動能變化量為： 因為位移是沿著電場線的方向，所以電位變化量為負。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.335

例題 25.1 (續) 由 25.6c 式： 由（i）我們得到： 所以， υf ＝ 6 × 106 m/s 。 P.335 歐亞書局 第 25 章 電位 P.335

例題 25.1 (圖 25.5 ) 圖25.5 當質子沿著電力線移動時，它的位能減少而動能增加。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.335

25.3 點電荷的電位及電位能 接下來，我們考慮一點電荷 Q 附近的電位變化。其電場為： 25.3 點電荷的電位及電位能 接下來，我們考慮一點電荷 Q 附近的電位變化。其電場為： 因爲 E 是徑向的向量，如圖 25.6 所示，故僅位移ds 的徑向分量能貢獻 E‧ds ；且 E‧ds ＝ Er dr 。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.336

圖 25.6 由點 A 到點 B 電位變量為 VB －VA = －∫B E‧ds 。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.336

由 25.5 式可知，由 Ａ 沿著任何路徑移到 B 的電位變化量為： 如果我們令 r ＝ ∞ 處 V ＝ 0 ，則與 Q 相距 r 處之電位為： 此電位函數僅與場源電荷 Q 有關。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.336

如圖 25.7 所示，因每一 r 值對應唯一的 V 值，所以等位面是以場源電荷為圓心的圓。 在圖 25.7中，等位面被繪成虛線圓圈。靠近電荷處，電位隨距離快速變化，所以等位面擠在一起。 電場線（實線）垂直於等位面且指向較低電位。等位面密集的空間電場較強。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.336

圖25.7 一點電荷的電位函數 V = kQ/r 。虛線圓圈表示等位面 （以電荷為圓心）。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.336

多點電荷系統的電位 （Potential of a System of Point Charges） 在 23 章中，我們曾指出電場遵循線性疊加原理。但因電位函數是由電場導出的（如 25.5 式），所以電位函數也遵循這個原理。 當許多場源電荷存在時，在空間中某點上的總電位，可由各電荷在該點造成電位的代數和求得： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.336

由電位的純量性質可知，上面的總和只需考慮電荷的正負即可。 圖 25.8 所顯示的，是由兩大小相等極性相反之點電荷所造成的總電位。 虛線的部分為個別電位函數，實線部份則為總電位函數；後者即為將另一電荷攜入此區域內時，外力所須對抗之電位。 圖 25.9 為二度空間的等位面圖案，其電場是由兩大小相等極性相反的電荷所產生的。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.336

圖25.8 虛線所示，為兩大小相等極性相反的電荷各別產生的電位。實線為兩者造成的總電位。 圖25.8 虛線所示，為兩大小相等極性相反的電荷各別產生的電位。實線為兩者造成的總電位。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.336

圖25.9 在兩個大小相等而極性相反的電荷附近，等位面（虛線）及電力線（實線）之二度空間圖示。 圖25.9 在兩個大小相等而極性相反的電荷附近，等位面（虛線）及電力線（實線）之二度空間圖示。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.337

一旦得到等位面，就可以由它們的垂直線繪出電力線。 在圖 25.8 的中點之上， V ＝ 0 但 E ≠ 0 。 在圖 25.10所示的二度空間圖中，顯示兩個相等正點電荷造成的等位面及電力線。 圖 25.11 則繪出總電位。在本圖的中點位置， E ＝ 0 而V ≠ 0 。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.337

圖 25.10 在兩個相等正電荷附近，等位面（虛線）及電力線（實線）之二度空間圖示。 圖 25.10 在兩個相等正電荷附近，等位面（虛線）及電力線（實線）之二度空間圖示。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.337

圖 25.11 虛線是由兩個相等正電荷所產生的電位。實線則表示總電位。 圖 25.11 虛線是由兩個相等正電荷所產生的電位。實線則表示總電位。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.337

多點電荷的電位能 （Potential Energy of Point Charges） 在數個電荷建立的電場中，將一個點電荷 q 放置於電位為 V 的位置上。 此系統（q 和場源電荷）內儲存的電位能為： 如果場源電荷為 Q ，則與 Q 相距 r 處之電位為V ＝ kQ /r 。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.337

因此，由兩電荷 q 及 Q 相距 r 所儲存的電位能為： 由 25.12a 可看出在 r ＝ ∞ 處 U ＝ 0 。兩電荷系統的電位能可解釋為： 在不改變其動能的狀況下，將兩電荷由相距 無窮遠移到相距r 處，外力所需做功的大小。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.337

當兩電荷具有相同極性時，其電位能為正；因為抗拒其間互斥力而縮短兩者的距離時，外力需做正功。 而當兩電荷具有相反極性時，外力做負功；此時外力必須一直作用在電荷上，並且施力方向與電荷位移相反。 當兩個電荷的電位能為負值時，意味著分離此二電荷需要外力做功。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.337

計算由數個電荷構成之系統的總電位能時， 利用 25.12a 式，可以寫成下式： 使用這種表示法，我們便不會將各電荷貢獻的位能重複計算。在上式中 U ij ＝ U ji ，並且不包含足碼 i ＝ j 之項。 因為電位遵循線性疊加原理，所以系統的總電位能為所有各別電位能之代數和，而與電荷的組合情形無關。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.338

例題 25.2 三個點電荷 q1 ＝ 1 μC ， q2 ＝－ 2 μC 及 q3 ＝ 3 μC ，被固定於圖 23.13 所示的位置上 (a) 在四方 形角落 P 點上的電位為何？(b) 將一點電荷 q4 ＝ 2.5 μC 由無窮遠處移到 P 點位置，需做功若干？ (c) q1 、q2 及q3 的總電位能為何？ 解 (a) P 點的總電位為純量和： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.338

同理， V2 ＝ －3.6 × 103 V 及V3 ＝ 9 × 103 V 。合計之位能為VP ＝ 7.65 × 103 V 。 例題 25.2 (續) 代入各已知值： 同理， V2 ＝ －3.6 × 103 V 及V3 ＝ 9 × 103 V 。合計之位能為VP ＝ 7.65 × 103 V 。 (b) 外力作功為 WEXT ＝ q（Vf － Vi）。 在此情況下 Vi ＝ 0 ，所以 歐亞書局 第 25 章 電位 P.338

例題 25.2 (續) (c) 三個電荷的總電位能為純量和： 例如計算 q1 和 q2 之間儲存的位能時： P.338 第 25 章 電位 歐亞書局 第 25 章 電位 P.338

系統的電位能為負值，意味著分離這些粒子而使彼此相距無窮遠時，需要外力做功。 例題 25.2 (圖 25.12 ) 同理，U13 ＝ ＋5.4 × 10－3 J 及 U23 ＝ －13.5 × 10－3 J 。因此總電位能為 U ＝ －1.41 × 10－2 J 。 系統的電位能為負值，意味著分離這些粒子而使彼此相距無窮遠時，需要外力做功。 圖 25.12 三個點電荷構成 的系統，電位能為負值。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.338

例題 25.3 波爾在 1913 年提出氫原子模型，主體為一電子在 圓形軌道上環繞一靜止的質子。若已知軌道半徑 為 0.53 × 10－10 m ，試求電子的總力學能。 解 這個問題類似於衛星環繞地球。力學能為動能和位能的總和， 即 E ＝ K ＋U 。由 25.12a 式，電位能為： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.339

為了求得動能，我們必須計算軌道速度 υ ；而質子和電子間的向心力可由庫侖定律求得。由牛頓第二定律 F ＝ ma ，故有 例題 25.3 (續) 為了求得動能，我們必須計算軌道速度 υ ；而質子和電子間的向心力可由庫侖定律求得。由牛頓第二定律 F ＝ ma ，故有 所以，電子的動能為： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.339

例題 25.3 (續) 因此，總力學能為： 在 8.9 節中我們曾討論過，當這類系統的總能量為負值時，意味著軌道上的粒子是被束縛住的。至於 13.6eV 這個數值，與原子游離能的實驗值相當吻合－也就是由最低層軌道移走電子所需要的最小能量。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.339

25.4 由電位導出的電場 在 8.7 節中，我們曾由電位能的導函數來推導保守力， Fx ＝－ dU / dx 。 25.4 由電位導出的電場 在 8.7 節中，我們曾由電位能的導函數來推導保守力， Fx ＝－ dU / dx 。 同理，一旦（純量）電位函數已知，我們可以由此函數決定（向量）電場。 利用 25.4 式，電位的變化量為： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.339

因 Es ＝ E cos θ 為沿著 ds 的 E 分量，故上式可以被寫成 dV ＝－ Es ds 。由此我們推論： 因 ds 的方向為任意選取的，故 25.13 式可以被解釋為：利用電位 V 在某個方向上對距離的變化率，可以求得該方向上 E 的分量。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.339

如圖 25.13 所示，最大值出現在等位面最密集之處。 其中會有一個方向的變化率為最大，而 E 的 最大值即可由空間導數的最大值求得： E ＝－(dV/ds)max 。 如圖 25.13 所示，最大值出現在等位面最密集之處。 在直角座標系統中，電場 E ＝ Ex i ＋ Eyj ＋ Ezk ；而極小位移 ds ＝ dxi ＋ dyj ＋ dzk 。故： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.339

圖 25.13 電場的方向是由高電位指向低電位。沿著位移 ds 方向的電場分量為Es＝－dV / ds 。電場本身垂直於等位面。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.339

在計算導函數時，只針所有變數中的某一個變數，而將其餘的視為常數，此種導函數我們稱之為偏導數，使用符號 ∂ 來代替 d 。 在 x 方向上位移 dy ＝ dz ＝ 0 ，所以 dV ＝ －Ex dx 。因此 在計算導函數時，只針所有變數中的某一個變數，而將其餘的視為常數，此種導函數我們稱之為偏導數，使用符號 ∂ 來代替 d 。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.340

25.14 式的右邊被稱為 V 的梯度（gradient）。 因此電場可寫為： 25.14 式的右邊被稱為 V 的梯度（gradient）。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.340

例題 25.4 點電荷 Q 產生的電位為 V ＝ kQ/r 。求 (a) 電場的徑向分量；(b) 電場的 x 分量。 解 此式與庫侖定律所導出者相同。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.340

(b) 在直角座標的分量中，徑向距離為 r ＝ (x2 ＋ y2 ＋ z2)1/2 ；因此，電位函數 V ＝ kQ/r 為： 例題 25.4 (續) (b) 在直角座標的分量中，徑向距離為 r ＝ (x2 ＋ y2 ＋ z2)1/2 ；因此，電位函數 V ＝ kQ/r 為： 為了求得電場的 x 分量，我們視 y 及 z 為常數。 故： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.340

25.5 連續型電荷分布 由分立點電荷系統產生的電位，可利用 25.10 式求得。而計算由連續電荷產生的電位時，則可以使用下述的兩個方法。 25.5 連續型電荷分布 由分立點電荷系統產生的電位，可利用 25.10 式求得。而計算由連續電荷產生的電位時，則可以使用下述的兩個方法。 其一為直接計算來自任意電荷元素 dq 的貢獻。如圖 25.14 所示，電荷元素 dq 在 P 點貢獻的電位為： 電荷元素 dq 在 P 點貢獻的電位為： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.340

圖25.14 計算由有限電荷分佈產生的電位時，可將極小電荷元素 dq 建立的電位積分，所以 V ＝ k∫dq/r 。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.340

由上式可以看出在無窮遠處 V ＝ 0 。25.15 式通常不適用於電荷無限分佈，因在無限遠處，電位的定義並不唯一。 計算電位的第二個方法，是利用 25.2 式： 如果 E 為已知（例如由高斯定律算出 E 值），則上式可以被用來計算 ΔV 。在此種情況下，你可以基於方便而指定某點的電位為零。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.341

例題 25.5 一半徑為 a 的非導電圓盤，帶有均勻面電荷密度 σ C/m2。在中心軸上，與盤心距離 y 處的電位為 何？ 解 由圓盤的對稱性可知，電荷元素最好是選擇厚度為 dx 而半徑為x 的環，如圖 25.15 所示。環上各點到達 P 點皆有相等距離 r ＝ (x2 ＋ y2)1/2 。環上的電荷為 dq ＝ σ dA ＝ σ (2πx dx)，所以由此環所產生的電位為： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.341

因電位為純量，所以不需考慮方向或分量的問題 。上式中只有一個變數 x ，而距離 y 為定值。由整個圓盤所產生的電位，即為上式的積分值： 例題 25.5 (續) 因電位為純量，所以不需考慮方向或分量的問題 。上式中只有一個變數 x ，而距離 y 為定值。由整個圓盤所產生的電位，即為上式的積分值： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.341

在距離非常大時，亦即當 y >> a 或 a/y << 1 時 ，由上式可以得到一個近似值。 例題 25.5 (續) 在距離非常大時，亦即當 y >> a 或 a/y << 1 時 ，由上式可以得到一個近似值。 我們使用二項式定理〔（當 z 很小時：(1＋ z)n ≈ 1 ＋ nz〕來展開第一項： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.341

此處 Q ＝ σ π a2 為圓盤之總電荷。在遠距離處 ，圓盤產生的電位與一點電荷 Q 相同。 例題 25.5 (續) 代入 V 的表示式裡，我們得到： 此處 Q ＝ σ π a2 為圓盤之總電荷。在遠距離處 ，圓盤產生的電位與一點電荷 Q 相同。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.341

例題 25.5 (圖 25.15 ) 圖25.15 在計算圓盤軸 上某點的電位時，選擇 一圓環為電荷元素。 P.341 第 25 章 電位 圖25.15 在計算圓盤軸 上某點的電位時，選擇 一圓環為電荷元素。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.341

例題 25.6 一半徑為 R 的球殼，有電荷 Q 均勻分布於其表面 。求距其中心 r ＞ R 處的電位。 解 本題的計算類似於例題 13.4 的重力位能。此處先直接應用高斯定律求出電場。在均勻球面分布的外部，空間中各點之電場為： 在 r ＞ R 處，電位的大小可由 25.5 式求得。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.341

因 E 為徑向，故 E‧ds ＝ Er dr 。又因 V( ∞ ) ＝ 0 ，故我們得到： 例題 25.6 (續) 因 E 為徑向，故 E‧ds ＝ Er dr 。又因 V( ∞ ) ＝ 0 ，故我們得到： 由本題的討論可以看出，均勻荷電球殼所產生的電位，與位於球心之點電荷 Q 產生的電位相同。 同時，這個結論對於任何球形對稱的電荷分佈皆為有效，因為球體可以被視為一組串聯的同心球殼。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.342

25.17 式亦可用於描述導體球，因為電荷只會留在導體的表面（見 24.3 節）。 例題 25.6 (續) 25.17 式亦可用於描述導體球，因為電荷只會留在導體的表面（見 24.3 節）。 圖 25.16 顯示一半徑為 R 的導體球，有電荷 Q 均勻分佈於其表面。在靜態狀況下，導體內部各點均有 E ＝ 0 。由 25.16 式我們可推論 VB ＝ VA ，也就是說，導體中任意兩點的電位必須相同。說得更詳細一點，導體球內部所有點的電位均為定值，並且和表面電位 V ＝ kQ/R 相等。電場及電位隨r 變化的情形顯示於圖 25.16 。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.342

例題 25.6(圖 25.16 ) 圖 25.16 球形荷電導體之 電場及電位的變化。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.342

例題 25.7 半徑為 R 的金屬球，帶有電荷 Q 。求其電位能。 解 計算系統的電位能，相當於計算建立此種電荷分佈時，外力做功的大小。假設在某一時刻，球面上的電荷量為 q ，由 25.15 式可知，此時球面電位為 V ＝ kq/R 。由無窮遠處移動一極小電荷 dq 到 此球表面，外力需做功 dW ＝ V dq ＝ (kq/R)dq 。因此將電荷 Q 完全移到球面上，總共需要做功： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.342

這就是導體球所儲存的電位能，它具有 U ＝ －QV 的形式，此處 V ＝ kQ/R ，是整個球的電位。 例題 25.7 (續) 這就是導體球所儲存的電位能，它具有 U ＝ －QV 的形式，此處 V ＝ kQ/R ，是整個球的電位。 將此式與 25.11 式 U ＝QV 比較時，可發現兩值相差了 1/2 ，這是由於兩個電位能意義不同的緣故。U＝ QV 表示的電位能為：在別的電荷產生的電位V 處，放置一獨立的電荷 Q ，系統所獲得的電位能。 1 2 歐亞書局 第 25 章 電位 P.342

例題 25.7(續) 它相當於由無窮遠處搬一電荷 Q 到電位為Ｖ 之處，外力所做的功。 U ＝－QV 則是表示：整個電荷系統所獲得的電位能。它是將電荷系統由分離而聚集到一起時，外力所做的功。 1 2 歐亞書局 第 25 章 電位 P.342

25.6 導體 圖 25.17 所示為一處於靜電平衡狀態的導體，導體內部有一空腔。它可能帶電，也可能是被放置在外電場中。 25.6 導體 圖 25.17 所示為一處於靜電平衡狀態的導體，導體內部有一空腔。它可能帶電，也可能是被放置在外電場中。 由於導電物質內部 E ＝ 0 ，故在此導體內部兩點間之電位變化量 VB － VA ＝－∫B E‧ds 也為零（包含表面）。 既然對任何路徑的積分值均為零（包含穿越空腔的路徑），可知在空腔中 E 必須為零。 A 歐亞書局 第 25 章 電位 P.343

圖 25.17 導體內部空腔中之電場為零。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.343

圖 25.18 顯示在均勻電場中的電中性導體。遠離球面時，我們預期電場圖案不會發生變化，電力線為均勻的且等位面呈平面排列。 通常： 在靜電平衡狀態下，導體表面及內部的所有 點皆有相同電位。 對於沿著導體表面的位移 ds 而言，我們得到 dV ＝E‧ds ＝ 0 ，這表示 E 垂直於 ds 。正如同我們在 23.3 節所說的，電力線垂直於導體表面。 圖 25.18 顯示在均勻電場中的電中性導體。遠離球面時，我們預期電場圖案不會發生變化，電力線為均勻的且等位面呈平面排列。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.343

圖 25.18 導體殼內的各點均與外界電場隔離。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.343

靠近球面的等位面必須變為圓形，且電力線呈輻射狀（徑向）。球面電荷必須改變自己的分佈狀況，以確保吻合這些要求。 至於空腔內部的電場為零，這是因為受到導體屏蔽而與外部電場隔離的緣故。 在日常生活中，當我們要將一項設備或訊號與外界隔離時，上述這項性質是很有用的。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.343

考慮半徑各為 R1 及 R2 的兩個荷電金屬球，由一極長金屬線連接，如圖 25.19 所示。 電荷將由一球流向另一球，直到兩球電位相等為止，即 V1 ＝ V2 。 因為兩球相距很遠，故球上電荷將呈均勻分佈，且各球電位皆為 V ＝ kQ/R 。 電位相等的意義為： 歐亞書局 第 25 章 電位 P.343

圖 25.19 當兩個荷電導體球由一金屬線連接時，它們處於相同電位。 圖 25.19 當兩個荷電導體球由一金屬線連接時，它們處於相同電位。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.343

若球上均勻面電荷密度為 σ C/m2 ， 則總電荷Q ＝ 4πr 2σ ，故上式變為： 這項關係的成立，至少能幫助我們對不規則形狀的電荷分佈做定量的說明。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.343

例如圖 25.20 中的電荷分布，面電荷密度最大的地方，就是在曲率半徑最小的區域 。 在 24.3 節中已證明了：靠近導體表面的電場強度為 E ＝ σ/ε0 。 而由 25.18 式，我們推知導體表面尖銳之處會有較大的電場強度。 如果電場強度足夠大（在乾燥的空氣裡約 3 × 106 V/m）時，它會形成在空氣中放電的現象。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.343

圖 25.20 一任意帶電導體的表面，在曲率半徑較小的地方具有較大的面電荷密度。 圖 25.20 一任意帶電導體的表面，在曲率半徑較小的地方具有較大的面電荷密度。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.343

來自外太空的宇宙射線及土壤中之天然輻射，通常會使空氣中部份分子離子化（即電子已經被分開）。 在電場的作用下，電子加速撞擊其他分子而產生更多的離子，於是空氣失去其絕緣特性而變成導體。 結果造成「電暈放電」並伴隨著刺眼的亮光。為了預防電暈放電，一般高壓設備都具有平緩的表面（盡可能令曲率半徑為最大值）。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.344

在某些情況下，物體表面必須具備尖銳的部份。避雷針的設計，就是用來產生連續的放電，因而中和上空雲層的電荷；飛機機翼上拖曳的金屬短線也具有相同目的。 一荷電球體表面的電位為 V ＝ kQ / R ，而其電場強度則為 E ＝ kQ/R2 。合併兩式可得 V ＝ ER 。所以對於一已知崩潰電場強度而言 V ∝ R 。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.344

在加拿大及美國，這種電子放電的結果已造成許多嚴重的塵爆（dust explosion）。 對於半徑為 10 cm 的球體來說，可能在表面電位升到 3 × 105 V 時即發生崩潰；而半徑 0.05-mm 之灰塵粒子在 150 V 時即能放電－穀倉或水泥製造廠中的灰塵，便能透過摩擦而輕易到達這個電位。 在加拿大及美國，這種電子放電的結果已造成許多嚴重的塵爆（dust explosion）。 歐亞書局 第 25 章 電位 P.344