CH 5 第 5 章 能量

本章大綱 5.1 功 5.2 動能與功-能定理 5.3 重力位能 5.4 彈簧位能 5.5 系統與能量守恆 5.6 功率 5.7 變力所做的功 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

能量的形式 力學能(機械能) 它可以是動能(伴隨著運動)，或是位能(伴隨著與位置的關係)。 化學能 電磁能 核能 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

一些有關能量的思考 能量可以由一種形式轉換成另外一種形式。 能量的探討主要是運用在物理學、化學、生物學、地質學，以及天文學上。 可用來取代牛頓定律，以簡化求解某些問題。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

5.1 功 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

功 此物理量將力與能量相互連結。 由定力對物體所做的功，可以定義為：力沿物體位移方向的分量與物體位移大小的相乘積。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

功 (續) Copyright © 滄海書局 第5章 能量

功 (續) Copyright © 滄海書局 第5章 能量

功 (續) 它無法提供下述訊息： 物體產生這段位移共花了多少時間。 物體的速度與加速度。 功為純量。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

功的單位 SI 國際標準單位 牛頓  公尺 = 焦耳 美國慣用單位 呎‧磅 N‧m = J J = kg‧m2/s2 ft‧lb Copyright © 滄海書局 第5章 能量

有關功的進一步說明 當作用力與物體的位移垂直時，所做的功為零。 cos 90° = 0 若有好幾個力同時作用在一個物體上，對物體所做的總功為每一個力分別對物體做功的代數和。 功可以為正也可以為負。 若力與位移方向相同時，功為正。 若力與位移方向相反時，功為負。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

下列情形時不做功 位移為水平的。 力是鉛直的。 cos 90° = 0 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

功可以為正也可以為負 當抬起一物時，施力作正功。 將物體慢慢放下時，功為負。 所施的力仍然向上，但此時的位移是朝下的。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

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例題5.1　在育空國家公園拉雪橇 一位愛斯基摩人拉雪橇載滿鮭魚而歸。雪橇與鮭魚總共有50.0 kg，他施一力1.20 × 102 N 以繩拉雪橇。(a) 若繩與地面平行 (θ = 0°)，共拉了5.00 m 遠，他作了多少功？(見圖5.6) (b) 如果 θ = 30.0°，他又作了多少功？(將雪橇視為一質點，與本題有關的只有力、位移與角度。) (c) 在座標 12.4 m 的位置處，愛斯基摩人放鬆繩索，不再施力，雪橇與冰的摩擦力為 45.0 N 雪橇再往前滑行到 18.2 m 的位置處停了下來，則摩擦力所作的功為何？ Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.1　在育空國家公園拉雪橇(續) Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.1 在育空國家公園拉雪橇(續) 解 (a) 當力成水平，求所作的功。 (b) 當力與水平夾30°角時，求力所作的功。 例題5.1　在育空國家公園拉雪橇(續) 解 (a) 當力成水平，求所作的功。 (b) 當力與水平夾30°角時，求力所作的功。 (c) 求摩擦力在 12.4 m 到 18.2 m 處所作的功。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

功及損耗力 摩擦力也可以做功。 物體的能量會由於摩擦而損耗，這些能量會加熱物體與週遭環境。 有時候，能量會轉變為聲音。 而「摩擦力作功」將用來定義力學能這些過程之影響。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.2　更多拉雪橇問題 假設例題5.1中，雪橇與雪地間的動摩擦係數為0.200。(a) 愛斯基摩人以 θ = 0°，對雪橇施以 1.20 × 102 N 拉力，走了 5.00 m，求此段路程中摩擦力所作的功與淨功；(b) 若θ = 30.0° ，結果又如何？ Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.2 更多拉雪橇問題(續) 解 (a) 求作用在雪橇的摩擦力與淨功，如果所施的力是水平的。 Copyright © 滄海書局 例題5.2　更多拉雪橇問題(續) 解 (a) 求作用在雪橇的摩擦力與淨功，如果所施的力是水平的。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.2 更多拉雪橇問題(續) (b) 如果所施之力與水平夾角30.0°，重算摩擦功與淨功。 Copyright © 滄海書局 例題5.2　更多拉雪橇問題(續) (b) 如果所施之力與水平夾角30.0°，重算摩擦功與淨功。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

5.2 動能與功-能定理 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

動能 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

若功為正時，物體速率會增加。 若功為負時，物體速率會減少。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

功與動能 物體的動能可以看作是一個運動的物體，它由運動到完全靜止所能做的總功。 圖中運動中的鐵鎚具有動能，它可以對鐵釘做功。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.3　碰撞分析 質量 1.00 × 103 kg 的車子，在車速大小為 35.0 m/s (約80.0 mph (哩/小時)) 煞車踩到底以避免撞到停在前方的另一車。煞車時，一固定的煞車力 8.00 × 103 N 作用於車。忽略空氣阻力。(a) 避免撞上前車，至少應在距前車多少距離時踩煞車？(b) 如果兩車間僅相距 30.0 m，碰撞前的瞬間，後車的車速為何？ Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.3　碰撞分析(續) 解 (a) 求最小煞停距離。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.3 碰撞分析(續) (b) 若二車間僅相距30.0 m，後車太過靠近前車，求碰撞前一刻後車的速率。 Copyright © 滄海書局 例題5.3　碰撞分析(續) (b) 若二車間僅相距30.0 m，後車太過靠近前車，求碰撞前一刻後車的速率。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

力的類型 力通常可分為兩種型態： 保守力 非保守力 力所做的功及其所轉換成的能量，兩者可以互換。 通常這種力是屬於耗損力，由這種力所做的功無法輕易地再轉回原來的能量。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

保守力 所作的功可以轉換成位能 (potential energy)，其量值僅與曲線起點和終點有關，與路徑無關。 保守力做的功只和物體的最初位置與最後位置有關。 任何一個保守力都會伴隨著一個位能函數。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

關於保守力的進一步說明 保守力有下列幾種： 重力 彈力 庫侖力 位能變化是另一種計算保守力做功的方法。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

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非保守力 若力所做的功與物體自初位置到末位置的移動路徑有關時，此力即稱為非保守力。 非保守力的例子 動摩擦力 空氣阻力 推進力 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

摩擦力即為非保守力 摩擦力會將物體的動能轉換成另一種與溫度有關的能量。 物體會變得較移動前更為溫暖。 內能是用來描述伴隨著物體溫度所具有的能量。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

和移動路徑有關的摩擦 圖中的灰色路徑較藍色路徑短。 書本沿灰色路徑移動所需的功，較沿藍色路徑少。 摩擦和移動路徑有關，因此摩擦力為非保守力。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

5.3 重力位能 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

位能 在某一系統中，物體於不同的位置，均對應著一特定的位能。 位能是系統 (system) 中的一種性質，而非單一個物體本身的特質，其乃源於系統中相互作用物體間的相對位置。 系統定義為一些物體的集合，這些物體會透過力或系統內部的其他過程而交互作用。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

重力作功與位能 重力是一種保守力，且對每一種保守力可以找到一個對應的位能函數，在物體所運動的路徑中找到任意兩點的函數並求其差值即為兩點間此力所作的功，此外位能和功及動能一樣為純量。 計算物體移動路徑中任意兩點間的位能差，即為保守力在這兩點間對物體做功的負值。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

重力位能 重力位能是在地球表面附近，物體於相對位置所具有的能量。 物體與地球之間透過重力相互作用。 實際上，位能是地球－物體所構成系統中的能量。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

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功與重力位能 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

功－能定理的擴展 功－能定理可以擴展到包含位能在內的形式。 若尚有其他保守力存在，另一種位能的形式可由此保守力獲得，此時這種位能的變化可以另外加在上式的等號右側。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

重力位能的參考基準 對任何一個問題，都必須選擇一個零位能面。 至於零位能面的選擇並沒有特殊的規定，可以任意選，重要的是位能的變化。 零位能面以最方便的位置來選取。 通常是選地球表面。 也有可能題目中會建議選擇某處為零位能面。 一旦零位能面選定後，在整個題目的處理過程中，它就必須固定下來。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

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例題5.4　將滑雪板上蠟 一位質量 60.0 kg 滑雪者在一如圖5.14所示的斜坡上。她最初位在距坡底 B 垂直高度10.0 m 的 A 處。(a) 將重力位能的零參考水平選在 B，求滑雪者在A 及 B 處時，此系統的重力位能；(b) 將參考水平選在 A 處，重做 (a)；(c) 將參考水平選在高於 B 2.00 m 處，重做 (a)。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.4 將滑雪板上蠟(續) 解 (a) 令於 B 處y = 0，分別計算人在 A 與 B 處之位能，以及位能差。 例題5.4　將滑雪板上蠟(續) 解 (a) 令於 B 處y = 0，分別計算人在 A 與 B 處之位能，以及位能差。 (b) 選擇 A 處為新的參考點 (參考水平)，在此處 y = 0 ，重算 (a) 小題，這時在 A 處的位能 PE = 0。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.4 將滑雪板上蠟(續) (c) 如果選在 B 點上方2.00 m處，重算 (a) 小題。 Copyright © 滄海書局 例題5.4　將滑雪板上蠟(續) (c) 如果選在 B 點上方2.00 m處，重算 (a) 小題。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

重力與力學能守恆 廣義的守恆 當一物理量守恆時，系統中該量的數值在歷經物理過程 (process) 之後仍保持相同。雖然量的形式可能有變，但它的值仍與初始時一樣。 對能量守恆來說，是指總力學能保持不變。 在一孤立系統中，系統內物體間的相互作用力僅為保守力時，系統的總力學能守恆。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

總力學能守恆 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

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利用能量守恆來解題 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.5　平台跳水者 質量 m 的跳水者，從高於水面 10.0 m 的跳板跳下，如圖5.16所示，忽略空氣阻力。(a) 使用力學能守恆，求在水面上 5.00 m 時的速率；(b) 觸水時速率為何？ Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.5 平台跳水者(續) 解 (a) 求在 y = 5.00 m處，即在一半高度時跳水者的速率。 Copyright © 滄海書局 例題5.5　平台跳水者(續) 解 (a) 求在 y = 5.00 m處，即在一半高度時跳水者的速率。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.5　平台跳水者(續) (b) 求在水面 y = 0處跳水者的速率。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.6　跳躍的昆蟲 一有力的蚱蜢，以與水平夾45°角跳出，牠可抵達的最大高度為1.00 m (見圖5.17)。忽略空氣阻力，求蚱蜢離地時的速率。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.6　跳躍的昆蟲(續) 解 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

重力與非保守力 當有非保守力隨同重力同時於系統中作用時，必須使用完整的功－能定理來替代力學能守恆式。 通常在解題過程中，有需要運用到前一章的解題技巧。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.7　 Der Stuka! (刺激滑水道) 斜坡滑水道可達幾近無摩擦的條件，能提供遊客享受高速的刺激 (圖5.18)。名為Der Stuka (以二次大戰的德國俯衝轟炸機命名) 的滑水坡道高72.0 ft (21.9 m)，設於美國德州達拉斯Six Flags。(a) 假設沒有摩擦力，一質量 60.0 kg 的女子抵坡底時速率為何？(b) 若該女子抵坡底時速率為 18.0 m/s，求摩擦力所作的功？ Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.7 Der Stuka! (刺激滑水道)(續) 解 (a) 求女子在坡底的速率大小，假設無摩擦力。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.7 Der Stuka! (刺激滑水道)(續) (b) 當vf = 18.0 m/s < 20.7 m/s 時，表示有能量損失，求耗損的力學能。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.8　有高低起伏的滑雪坡道 滑雪者如圖5.19所示，自高 20.0 m 無摩擦滑雪坡由靜止下滑，然後進入動摩擦係數為 0.210 的水平雪地。(a) 求抵達坡底的速率；(b) 進入平地後滑行多遠才靜止？不考慮空氣阻力。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.8 有高低起伏的滑雪坡道(續) 解 (a) 求在坡底，滑雪者的速率。 (b) 求在具摩擦力平地的行經距離。 例題5.8　有高低起伏的滑雪坡道(續) 解 (a) 求在坡底，滑雪者的速率。 (b) 求在具摩擦力平地的行經距離。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

5.4 彈簧位能 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

儲存於彈簧中的位能 它包含彈簧的彈性常數 k 。 以虎克定律描述彈力 F = –kx F 代表彈簧的恢復力。 F 的方向和彈簧的位移 x 相反。 彈簧力常數受彈簧的製造過程、材質、彈簧線的粗細影響。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

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彈力位能 (elastic potential energy) 彈力位能，計算一外力將彈簧壓縮一位移 x 時，彈簧的恢復力所作的功。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

含彈簧在內的功－能定理 Wnc = (KEf – KEi) + (PEgf – PEgi) + (PEsf – PEsi) Copyright © 滄海書局 第5章 能量

含有彈簧的能量守恆 彈簧初、末的彈力位能分別加到力學能守恆式的兩側。 (KE + PEg + PEs)i = (KE + PEg + PEs)f 包含彈簧、重力及其他力的問題，都可以解題策略所描述的方法求解。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.9　水平彈簧 一磚塊質量 5.00 kg 相連於彈性常數 k = 4.00 × 102 N/m 的水平彈簧一端，如圖5.21所示。磚塊靜止置於一無摩擦水平表面。如果磚塊被拉伸至 xi = 0.0500 處，然後釋放，(a) 求磚塊第一次通過平衡點時的速率；(b) 求在 x = 0.0250 m 處，磚塊的速率；(c) 若有動摩擦係數 ，重做 (a)。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.9　水平彈簧(續) 解 (a) 求在平衡位置處磚塊的速率。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.9　水平彈簧(續) (b) 求在中途點磚塊的速率。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.9　水平彈簧(續) (c) 重做 (a) 部分，但考慮摩擦。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.10　馬戲團特技表演 一 50.0 kg 重的特技表演人員從 2.00 m 高處筆直向下跳入力常數 的彈簧墊，如圖5.22所示。她壓縮彈簧墊的最大距離是多少？ Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.10　馬戲團特技表演(續) 解 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.11　將磚塊彈射上一無摩擦斜坡 一 0.500 kg 磚塊靜止於無摩擦的水平表面上，該光滑表面含一斜坡，如圖5.23所示。以磚塊將力常數 k = 625 N/m 的彈簧壓縮 10.0 cm 至點 A，然後釋放磚塊。(a) 若 θ = 30.0°，磚塊會爬上斜坡多遠？(即為何？) (b) 磚塊爬上斜坡的垂直高度若為 h，在爬升到垂直高度 h/2 時，磚塊的速率為何？ Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.11　將磚塊彈射上一無摩擦斜坡(續) 解 (a) 求磚塊爬上斜坡的距離。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.11　將磚塊彈射上一無摩擦斜坡(續) (b) 求在 h/2高度處磚塊的速率。利用三角函數求垂直高度 h = d sin θ = (1.28 m) sin 30.0° = 0.640 m。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

5.5 系統與能量守恆 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

利用能量觀點處理非保守力 若有非保守力作用時，系統的總力學能不會守恆。 一系統中非保守力所作的功，等於系統的力學能變化。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

非保守力與能量 能量可以經由系統的邊界進出系統，亦可轉變成如熱能之類的非力學能。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

能量轉移(傳遞) 藉由功來傳遞。 藉由力伴隨位移，將能量移入 (出) 系統。 熱 是透過微觀的原子或分子間碰撞，而將能量移轉的過程。 例如冷湯匙置於熱咖啡中逐漸變熱，是熱咖啡中原子或分子的動能轉移給湯匙，提高其內能。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

能量轉移(傳遞) 力學波 藉由空氣或某種介質將能量從一物體移轉 (一部分) 至另一物體。 聲波、地震波、海浪都是力學波。 藉由電傳輸 (electrical transmission) 將能量透過電流傳送 (即移轉)。 各電氣用品即利用此形式。 利用電磁輻射 (electromagnetic radiation) 傳輸 以電磁輻射的方式將能量轉移出去，諸如光、微波與無線電波。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

廣義的能量守恆 能量不生不滅，只是移轉或改變了形式，此原理稱為能量守恆 (conservation of energy)。 這是能量守恆的另一種說法。 如果一系統的能量不守恆，那麼能量必然會藉由機械方式穿越過系統的邊界。 這種情形在物理之外的其他領域也適用。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

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5.6 功率 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

功率 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

功率 (續) 美國慣用單位為馬力(hp)。 須利用單位轉換。 功或能量的單位可以利用功率的單位來表示。 千瓦小時(kWh)通常用在電費帳單上。 千瓦小時是能量而非功率的單位。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.12　電梯馬達所輸出的功率 質量 1.00 × 103 kg的電梯最大載重量為 8.00 × 102 kg (質量)。電梯上升時有恆定摩擦力 4.00 × 103 N作用於電梯上，如圖5.26所示。若電梯滿載時以3.00 m/s 等速上升，試問馬達需輸出多大功率？請分別用千瓦與馬力表示。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.12　電梯馬達所輸出的功率(續) 解 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.13　白鯨Shamu的百米衝刺 殺人鯨可大到 32 ft長，質量超過 8000 kg。牠們能於數秒內加速至 30 mi/h。忽略水所產生的阻力，計算一條名為 Shamu、質量 8.00 × 103 kg 的殺人鯨，牠於 6.00 s 內，從靜止加速至 12.0 m/s 所需之平均功率。 解 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.14　賽艇的功率 一質量1.00 × 103 kg 的賽艇在5秒內從靜止加速至20.0 m/s，假設水作用於賽艇的阻力為定值，其大小 fd = 5.00 × 102 N，且設於加速過程中加速度為定值，(a) 求賽艇輸出的平均功率；(b) 用阻力 fd、質量 m、加速度 a 和時間 t 來表示瞬時功率。 解 (a) 寫出功－能定理： Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.14　賽艇的功率(續) Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.14　賽艇的功率(續) (b) 用符號來表示瞬時功率。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

質量中心(質心) 質心是將所有質量視為集中於一處的一個點。 當考慮力學能時，位能的變化與質心高度的改變有關。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

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5.7 變力所做的功 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

變力做功 一沿物體位移方向的變力對物體所作的功，等於 Fx 對 x 關係圖的曲線下方面積。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

彈簧例題 彈簧被緩慢地從 0 拉到 xmax 。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

彈簧例題 (續) 功為F-x 圖中曲線下方的面積。 在本例中功為三角形的面積。 面積= ½底 × 高，是故W = ½ kx² 。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

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例題5.15　拉長彈簧所需的功 水平彈簧的一端 (k = 80.0 N/m) 固定，而另一自由端受一水平拉力，緩慢地從拉 x A = 0 cm至 x B = 4.00 cm。(a) 求外力對彈簧所作的功；(b) 由 x B = 4.00 cm 繼續拉長至 x C = 7.00 cm 尚需多少功？ Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.15 拉長彈簧所需的功(續) 解 (a) 求從 xA = 0 cm 至 xB = 4.00 cm 拉力所作的功。 例題5.15　拉長彈簧所需的功(續) 解 (a) 求從 xA = 0 cm 至 xB = 4.00 cm 拉力所作的功。 (b) 求從 xB = 4.00 cm 繼續拉長至 xC = 7.00 cm所需的功。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.16 藉由計數方格的數目來估算功 假設施力拉伸一彈性材料，其力與伸長量的關係，如圖5.31a所示。估算該力所作的功。 例題5.16　藉由計數方格的數目來估算功 假設施力拉伸一彈性材料，其力與伸長量的關係，如圖5.31a所示。估算該力所作的功。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

例題5.16　藉由計數方格的數目來估算功(續) 解 整個曲線下方有62個完整的格子，大約曲線將小格一分為二的有6個，在 x = 0 到 x = 0.10 之間曲線穿過的小格，在曲線下方的三角形面積加總起來約等於一個格子，因此曲線下方共有 62 + 0.5 × 6 + 1 = 66 個小格。每一格子為 0.10 J (∆F × ∆x = 1.0 × 0.1 = 0.1J)，所以力所作的功即為 66 × 0.10 J = 6.6 J。 Copyright © 滄海書局 第5章 能量

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