《 University Physics 》 Revised Edition 普通物理 (精華版) 《 University Physics 》 Revised Edition 歐亞書局

第 26 章 電容器與介電質 26.1 電容 26.2 串聯與並聯 26.3 電容器中所貯存的能量 26.4 電場的能量密度 26.1 電容 26.2 串聯與並聯 26.3 電容器中所貯存的能量 26.4 電場的能量密度 26.5 介電質 26.6 從原子觀點看介電質 26.7 有介電質時的高斯定律 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.347

圖26.1 連接於一電池的兩端時，電容板會獲得等量而電性相反的電荷。 圖26.1 連接於一電池的兩端時，電容板會獲得等量而電性相反的電荷。 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.348

板子上所貯存的電荷 Q ，其大小直接正比於板間之電位差 V ，故可寫成： 其中 C 為比例常數，稱做此電容器的電容（capacitance），它代表電容器貯存電荷和電能的一種「能力」。若將 26.1 式改寫成： 可看出電容 C 是每一單位電位差所能貯存的電荷數。 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.348 4

電容的 SI 單位為法拉（farad ；F），由 26.2 式知： 1 法拉＝ 1 庫侖/伏特 在實際應用上， 1 法拉是個相當大的電值，故通常我們都只使用 pF（1 pF ＝ 10－12 F）或 μF（1μF ＝ 10－6 F）做單位。 一個電容器的電容大小，跟電容器板的幾何形狀（大小形狀、板的相對位置）及其間之介質（空氣、紙、塑膠物）有很大關係。 電容量並不單獨由 Q 或 V 決定：若 V 為兩倍 ，則 Q 亦會變成兩倍，結果其比值並無改變。 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.348 5

平行板電容器 （Parallel-Plate Capacitor） 有一種常見的電容器，是由兩塊平板組成。若平板間的距離很小，如圖 26.2 ，則其電場的邊緣效應（場）可以忽略，我們便假設板間電場為均勻的，如圖 26.3 。 若平板面積為 A ，兩板間距為 d ，且各帶有等電量之反性電荷 Q 。這些電荷皆位於平板內面。 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.349

圖26.3 當平板間距極小時，邊緣效應可被忽略， 電場仍可被視為均勻的。 圖26.3 當平板間距極小時，邊緣效應可被忽略， 電場仍可被視為均勻的。 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.349 7

由高斯定律（24.8 式）或由直接的計算（23.10 式），均可獲得板間電場的大小為： 其中 σ ＝ Q/A 為面電荷密度。由 25.6c 式，均勻電場的電位差 V ＝ Ed ，故電容值 （C ＝ Q/V）為： 由 26.3 式可看出 ε0 的另一單位表示法 F/m ： 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.349

26.2 串聯與並聯 串聯：電流相同，電壓相加 並聯：電壓相同，電流相加 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.351 9

26.3 電容器中所貯存的能量 假設在某特定時刻電容板上的電荷量為 q ，電位差為 V（V ＝ q/C），則要從負板上轉移無限小之電荷量 dq 至正板上，電力需作功 dW ＝V dq （q/C）dq 所做的功以電位能的形式儲存起來 因為 Q ＝CV ，故： 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.353

26.4 電場的能量密度 平行板電容器的電容（圖 26.12）為 C ＝ε0 A/d ，平板間之電位差為 V ＝ Ed 。 26.4 電場的能量密度 平行板電容器的電容（圖 26.12）為 C ＝ε0 A/d ，平板間之電位差為 V ＝ Ed 。 所貯存的能量 UE ＝ CV 2 /2，可改寫為： 電場所在之平板間體積為 Ad ，故能量密度（即每單位體積內的能量）為： 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.354 11

26.5 介電質 如果在一電容器的兩平板間插入一些「非導電性物質」，則電容的大小將會增加。 26.5 介電質 如果在一電容器的兩平板間插入一些「非導電性物質」，則電容的大小將會增加。 這些非導電性物質（例如玻璃、紙、塑膠等）為介電質（dielectrics）。 在電容器板間插入介電質所獲得的效果，可藉以下兩個簡單的實驗來說明： 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.355 12

圖26.12 (a) 兩板各帶電量相等而電性相反的電荷 ±Q0 ，板間電位差為 V0 。 (b) 介電質充滿於兩板之間時，電位差減為 VD ＝ V0/κ，κ 為介電常數。 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.355

(i) 不連接電池的情況 （Battery Not Connected） 圖 26.12a 中的電容器荷電 ＋Q0 ，電位差為 V0 ； 平板間若為真空時，電容值為 C0 ＝ Q0/V0 。 現在插入介電質並使之充滿於兩板之間， 則電位差會減少 k 倍。 k 稱為介電常數（dielectric constant）： 因兩板上的電荷量並未減少 電容的大小成為： CD ＝ Q0 /VD ＝κC0 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.355

（ii）連接電池的情況 （Battery Connected） 在圖 26.13a 裡，初狀況與圖 26.12a 相同，但電池可保持板間電位差為 V0 。 插入介電質後，如圖 26.13b ，板上之荷電量增加為 κ 倍，亦即 QD ＝ κQ0。利用 CD ＝ QD/ V0 ，我們同樣可發現 CD ＝ κC0 。 在以上兩種情況裡，插入介電質的效果均是使電容值增加為 κ 倍： 歐亞書局 第 26 章 電容器與介電質 P.356

題庫 1.( )有關平行板電容器電容(capacitance)的敘 述，何者不正確?(A)代表電容器貯存電荷和電 能的一種能力(B)每單位電位差所能貯存的電荷 數(C)電容大小跟電容器板的幾何形狀及其間之 介質無關(D)電容為一比例常數 電容大小與電容器板的幾何形狀、介質均有關 16

題庫 2.( )電容(capacitance)的SI單位,何者正確?(A) 法拉(B)庫侖(C)伏特(D)瓦特 C = Q/V = 庫侖/伏特 =法拉 3.( )一個電容器板間電位差40 V，板子上儲存的 電荷數為10 C，試求其電容值為 (A) 400 F (B) 0.25 F (C) 0.20 F (D) 4 F C=Q/V= 10c/40v =0.25 F 17

題庫 4.( )一平行板電容器之平板間距為2 mm，電容值 為0.5 F，求平板面積(A)2.76×104 m2 (B) 3.2×107 m2 (C) 1.05×109 m2 (D)1.13×108 m2 => A=Cd/ε0 = 0.5×(2×10-3)/(8.85×10-12) =1.13×108 m2 18

題庫 5.有關數個電容器串聯的敘述，何者不正確? (A)每個電容器上的電荷量均相同(B)總電位差 即等於個別電位差的和(C)等效電容Ceq為1/Ceq ＝1/C1＋1/C2+ …+1/Cn (D)等效電容值必定大 於個別電容值。 串聯：電流相同(電容上電荷量相同)，電壓相加 等效電容小於個別電容 19

題庫 6.( )有關數個電容器並聯的敘述，何者不正確? (A)等效電容板上的電荷量等於個別電容器電荷 量的總和(B)各電容器兩端之電位差均相等(C) 等效電容Ceq為Ceq＝C1＋C2+ …+Cn (D)等效電 容值永遠小於任一個別電容值 並聯：電壓相同，電流相加 等效電容大於個別電容 20

題庫 7.( )如圖1所示電路之等效電容為何(A) 0.5 μF (B) 20 μF (C) 1.74 μF (D) 1.33 μF (i)紅圈內並聯： 等效電阻=5+2=7 (ii)黃圈串聯： 1/Ceq=1/10+1/7+1/3=121/210 Ceq=1.74 μF 21

題庫 8.如圖所示電路，每個電容器之具有25 μF， 求流過A之電荷量為何(A) 0.1 C (B) 0.3 C (C) 10 C (D) 50 C 並聯： 等效電阻Ceq =25+25+25=75μF Q=CeqV=(75×10-6)×4000=0.3 C 22

題庫 9.有2個電容器C2=2C1，當它們互相串聯時，兩者 間的電荷量關係、電位差關係，下列何者正確 (A) Q2=2Q1 (B) Q2=0.5Q1 (C) V2=2V1 (D) V2=0.5V1 互相串聯： V1=V2=V Q=CV Q1=C1V Q2=C2V=2C1V=2Q1 題庫中答案為D，有問題。 “互相串聯”，與電池串聯，情況不同。 23

題庫 10.同上題，當它們互相並聯時，兩者間的電荷量 及電位差關係何者正確(A)Q2=2Q1 (B) Q2=0.5Q1 (C) V2=2V1 (D) V2=0.5V1 互相並聯： V1=V2=V Q=CV Q1=C1V Q2=C2V=2C1V=2Q1 與上題不同之處在於，互相串聯 正負電荷會抵消，所以總電荷會減少 24

題庫 11.一電容器的兩平板間原為真空時，電容值 為Co，若一介電常數κ之介電質充滿兩板之間 時，電容大小為何(A) κCo (B) Co/κ (C) κCo2 (D) Co2/κ 介電常數k充滿電容板間時，會使電容增加 k倍 25

題庫 12.( )一般電容器的兩平板間由真空改插入一些 「非導電性物質」，則下列何者錯誤(A)介電 質之電容率（ε）會增加(B) 兩平板間之電位 差變小(C)電容變大(D) 兩平板間之電場變大 儲存的電荷增加 或 電位差變小 V=Ed ，電場也會變小 26

題庫 1.一平行板電容器之平板面積為4 cm × 5 cm，間 距3 mm，且平板分別連接於60 V 電池的兩端。 求(A)電容值____；(B)平板上的電荷量____。 = (8.85×10-12)(4×5×10-4)/(3×10-3) =5.9×10-12 F Q=CV=(5.9×10-12)×60=3.54×10-10 C 27

題庫 2.一300 pF之平行板電容器，平板上有±10 nC的 電荷，且平板間距為0.5 mm，求(A) 平板面積 ____；(B)板間電位差___；(C)平板間的電場大 小____。 => A=Cd/ε0 =(300×10-12)(5×10-4)/(8.85×10-12) =1.7×10-2 m2 V=Q/C=(10×10-9)/(300×10-12)=33.33 v E=V/d=33.33/(5×10-4)=6.67×104 v/c 28

題庫 3.一導體球半徑為1000 km，其電容________ C= Q/V ,導體球表面電位 V=Q/4πε0R => C=4πε0R =4π(8.85×10-12)(106)=1.11×10-4 F 29

題庫 4.如圖3所示電路，每個電容器具有6 μF， 求a與b間等效電容________。 紅圈內是電容串聯 1/Ceq=1/6+1/6+1/6=1/2 Ceq=2 兩個紅圈並聯 Ceq=2+2=4 μF 30

題庫 5. 就圖4所示之電路，求等效電容________ 紅圈內並聯 Ceq=5+2=7 μF C1與紅圈串聯 1/Ceq=1/10+1/7 =17/70 Ceq=4.12 μF 31

題庫 6.圖5所示之電路電位差為1000V，4個電容器個別 電容值為500 μF，求平板上的電荷量_____ 四個電容並聯 Q=CV= =(500×10-6)×1000 =0.5 C 32

題庫 7.有一球形電容器，兩球殼半徑分別為10 cm及20 cm，且與12 V的電池相連。 試求(A)電容________；(B)各球面上的電荷量________。 兩球面的電荷大小相同，正負相反 兩球面的電位分別為： kQ/r1 , kQ/r2 電位差=V2-V1=kQ(r1-r2)/r1r2 C=Q/V=r1r2/k(r1-r2)=(0.2)(0.1)/(9×109)(0.2-0.1) =2.2×10-11 F Q=CV=(2.2×10-11)×12=2.64×10-10 c 33

題庫 8.如圖6所示，兩電容器C1＝6μF 且C2＝3μF ，最 初與12V 的電池並聯，如(a)所示。之後切斷各接 線，而重新連接成圖(b)的形式，求最初狀況下兩 電容器(A)電荷量Q1_____；Q2____；(B)能量 U1_______；U2_______ Q=CV Q1=(6×10-6)12=7.2×10-5 C Q2=(3×10-6)12=3.6×10-5 C U1=Q1V1/2=4.32×10-4 J U2=Q2V2/2=2.16×10-4 J 34

題庫 9.重接成右圖後，電壓會相同，電荷會有一部份抵 消後再重新分配。 最後的Q=(7.2-3.6)×10-5 =3.6×10-5 c 因為電壓會相同， 且V=Q/C Q1/C1=Q2/C2 Q1/6=Q2/3 又Q1+Q2=3.6×10-5 得 Q1=2.4×10-5 c ，Q2=1.2×10-5 c U1=Q12/2C1=(2.4×10-5)2/2(6×10-6)=4.8×10-5 J U2=Q22/2C2=(1.2×10-5)2/2(3×10-6)=2.4×10-5 J 35

題庫 補充說明： Q=CV , Q跟V成正比 U=qV ，右圖為電容的V-q圖 底下面積即為將電容充電 所儲存的能量= QV/2 v V Q 36

題庫 10.兩個100μF的電容器連接一12V之電池，求二電 容器在以下狀況時系統儲存的總能量(A)並聯 _____；(B)串聯_____。 並聯： Ceq=100+100=200μF U=CV2/2=(200×10-6)(12)2/2=1.44×10-2 J 串聯：1/Ceq=1/100+1/100=1/50 ，Ceq=50 μF U=CV2/2=(50×10-6)(12)2/2=3.6×10-3 J 37

第 27 章 電流與電阻 27.1 電流 27.2 電流密度 27.3 電阻 27.4 歐姆定律 27.5 功率 P.361 第 27 章 電流與電阻 27.1 電流 27.2 電流密度 27.3 電阻 27.4 歐姆定律 27.5 功率 歐亞書局 第 27 章 電流與電阻 P.361

27.1 電流 若在 Δt 時間內所流過的淨電荷量為 ΔQ ，則定義平均電流為： 27.1 電流 若在 Δt 時間內所流過的淨電荷量為 ΔQ ，則定義平均電流為： 若其為非穩定流，則瞬時電流􁒠􀥡􀿪􀟹（ instantaneous electriccurrent； I）便定義為： 故所謂電流，乃是指電荷流經某一個面的流率。 電流的 SI 單位為安培（A） 歐亞書局 P.362

27.2 電流密度 圖 27.4 所示者為一些荷電 q 之粒子以 vd 之漂移速度沿導線移動。 27.2 電流密度 圖 27.4 所示者為一些荷電 q 之粒子以 vd 之漂移速度沿導線移動。 若每單位體積有 n 個荷電粒子，則在長 l 、面積 A 之圓柱內之總電荷量為 ΔQ = n（Al ）q 。 歐亞書局 P.363 40

這些電荷通過圓柱須花時間 Δ t ＝ l /υd ，故電流大小 I = ΔQ/Δ t 為： 而（平均）電流密度便定義為每單位面積上之電流： 電流密度的 SI 單位為 A/m2 。 歐亞書局 P.363 41

27.3 電阻 設一導體上某兩個點間的電位差為 V ，電流為 I 時，此兩點間之電阻（resistance）便定為： 27.3 電阻 設一導體上某兩個點間的電位差為 V ，電流為 I 時，此兩點間之電阻（resistance）便定為： 電阻的 SI 單位為歐姆（ohm ；Ω）。由 27.5 式知 1 Ω ＝1 V/A 。 在某一定溫下，電阻與其長度及截面積的關係 歐亞書局 P.364 42

27.4 歐姆定律 27.5 式， R ＝ V/I ，可改寫為： 此式雖只是電阻的定義式的一項重現，但在電阻值恆定（與 V 或 I 無關）的情況下，此式所表現出的，還是一種函數關係，稱之為歐姆定律（Ohm‘s law），乃是由歐姆（Georg Ohm）於 1827 年所導出的（圖 27.7）。 歐亞書局 P.367 43

27.5 功率 當某一電荷通過某一特定之電位差 V 時，其位能改變了 U ＝ qV ，電場輸送能量給這個電荷的比率即為其所輸送之功率，表為 P ＝ dU/dt ＝（dq/dt）V ，或即： 由 V ＝ IR ，消耗的電功率可寫為： 歐亞書局 P.368 44

題庫 1.下列何者錯誤(A) 電解質溶液靠溶液中之 陰、陽 離子導電(B) 金屬導線靠自由電子導電(C) 當溫 度固定，量一金屬導體上某兩點間的電位差為V ， 通過之電流為I ， 此兩點間之電阻定義為R=V/ I (D) 電流密度為單位體積所通過的電流 電流密度：單位面積的電流 45

題庫 2.以0.2 安培電流流入電燈內歷時1 分鐘，則此時 間內流過電燈之電量為若干庫侖? (A) 0.2 (B) 12 (C)120 (D) 5。 電流I=dQ/dt dQ=I．dt ，I為定值 Q=I．t= (0.2)．60=12 C 46

題庫 3.質料相同之二導線，A 長為B 的2 倍，A 的半徑 為B 的3 倍，則A 的電阻為B的若干倍？ (A) 4/9 (B)2/3 (C)3/2 (D)2/9 RB=ρL/A RA=ρ2L/9A=(2/9)RB 47

題庫 4.家庭電器電阻50 Ω，使用時流過電流4 安培，求 功率P 為(A)800 瓦特(B)200瓦特(C)0.08 瓦特 (D)2.5 瓦特 P=I2R=42．50=800 Watt 48

題庫 5.（ ） 有一燈泡，其標示的規格為120V、60W，若使用之電源為110 伏特，則其功率約 為多少瓦特？ (A) 60 (B)40 (C)50 (D)55 P=V2/R , 60=1202/R , 得知燈泡的R=240Ω 接上110v的電源，功率P=V2/R=1102/240=50.42 W 49

題庫 6.（ ）將電阻分別為2 歐姆與3 歐姆之二只電阻並 聯後接上電源，若通過2 歐姆之電流為6 安培， 則通過3 歐姆之電流若干安培？ (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D)6 並聯電壓相同， V=IR=6．2=12 V 通過3Ω的電流I=V/R=12/3=4 A 50

題庫 7.（ ）下列何者錯誤(A) 電流的單位為安培【A】 (B) 電流的單位為庫倫/秒【C/s】(C) 電阻的單 位為Ω (D) 電阻的單位為伏特/秒【V/s】。 I=dQ/dt=C/s=A R=V/I=Ω=volt/A 51

題庫 8.20℃時，鐵絲截面積2×10-6 平方公尺，電阻率ρ ＝1.0×10-7 Ω-m，求400 公尺長的電阻為 (A)8×10-11 (B)20 (C)5×10-16 (D)8×10-3 歐姆 R=ρL/A=(1×10-7)．400/(2×10-6)=20 Ω 52

題庫 9.金屬導線的電阻與下列何者無關？ (A) 導線的材 質(B) 導線的截面積(C)導線的長度(D) 外接電壓。 與外接電壓無關 53

題庫 10.設有一電阻為R 的均勻導線，若將其拉長為原來 的2 倍時，問其電阻變為多少？ (A)2R (B) R/2 (C)4R (D)不變。 原來的R=ρL/A 導線的體積V=AL ，V不變 ，L變兩倍=>A變一半 拉長後的R’=(ρ2L)/(A/2)=4(ρL/A)=4R 54

題庫 1.電流20A 通過直徑0.4 cm 的鋁線與0.2 cm 的銅 線，試求(a) 鋁線上之電流密度___(A/cm2)，銅 線上之電流密度___(A/cm2) (b)若鋁線上之自由 電子密度為6×1022 個/cm3。試求電子的漂移速率 ___(cm/s)。 電流密度J=I/A=20A/(3.14)(0.2)2 cm2=159.24 A/cm2 J=nqvd=> vd=J/nq =(159.24 c/s．cm2)/(6×1022 個/cm3)(1.6×10-19 c) =1.66×10-2 cm/s 55

題庫 2.8 號銅線（ρ=1.7×10-8 Ω．m）的半徑為1.63 mm。若在一長度為20 m 的此種導線兩端施一60V 的電位差，試問: 電阻= ___(歐姆)，電流=___(A)， 電場=________(V/m)。 R=ρL/A=(1.7×10-8)．20/(3.14)．(1.63×10-3)2 =4×10-2 Ω I=V/R= 60/(4×10-2)=1500 A E=V/L=60/20=3 V/m 56

題庫 3.一加熱器在120 V 下以1000 W 之功率作用，(a) 在正常狀況下，求通過此加熱器之電流=_____(A)， 電阻=___(Ω)，(b)若電位差降至110V，則其耗散功 率P=__________ (W) P=IV , 1000=I．120 ,I=8.33 A R=V/I=120/8.33=14.41 Ω 降電位差後，P=V2/R=1102/14.41=839.69 w 57

題庫 58

題庫 4.氫原子內之電子在半徑5.3×10-11m 的圓內移動， 速率為2.2×106 m/s。試問平均電流為________(A) I=dQ/dt 圓周長=2．(3.14)．(5.3×10-11)=3.33×10-10 m (2.2×106 m/s)/(3.33×10-10m)=6.67×1015 1/s (6.67×1015 1/s)．(1.6×10-19 c/1)=1.07×10-3 c/s 59

題庫 5.將100 V 跨接於一長25 m、半徑1mm 之導線兩端， 有11A 之電流通過。求該物質之電阻率為__(Ω．m） R=V/I=100/11=9.09 Ω R=ρL/A ρ=RA/L=(9.09)(3.14×0.0012)/25=1.14×10-6 60

題庫 6.長10 m、直徑1.2 mm 之導線電阻值為1.4 Ω，當 其長度為16 m、直徑為0.8 mm 時，電阻值為__(Ω） R=ρL/A ρ=RA/L=(1.4)(3.14×0.00062)/10=1.58×10-7 R=ρL/A=(1.58×10-7)．16/(3.14×0.00042) =5.03 Ω 61

題庫 7.一9 V 之電池輸出至一8 Ω之喇叭(30 mW)上，請問在1 分鐘內有____個電子由電池負端離去(原命題不夠清楚) P=I2R , 得I=0.0612 c 所以每分鐘電池輸出的電荷有 (0.0612 c/s) ×60s=3.672 c 一個電子有1.6×10-19 c 所以電池輸出 3.672/1.6×10-19=2.295×1019 個 62

題庫 8.一鋁線每公尺電阻值為1.8×10-3 Ω，載流200 A。 此種線10 km 所耗散的功率為____(W) 兩端的電位差為：V=IR=200×18=3600 V 消耗的功率為：P=IV=200×3600=720000 w 63

題庫 9.一水壺於120 V 下將1.5 公升的水在8 分鐘內由20 ℃加熱到90 ℃，求電流值___(A)。 (熱功當量(J)＝4.1865 焦耳/卡) 1.5公升的水從20度升到90度，需要的熱量為 1500 g × 1 cal/g．oC × 70 oC=105000 cal 105000 cal × 4.1865 J/cal=439582.5 J P(功率)=439582.5 J/(60×8)s=915.8 w I=P/V=915.8/120=7.63 A 64

題庫 10.55 歐姆的電阻接於110 伏特的電源上，則於1 分 鐘內可產生電能_________(J)可使20℃、100 克 的水升溫至__________℃？ (熱功當量(J)＝4.1865 焦耳/卡) P=V2/R=1102/55=220 w 220 w × 60 s=13200 J 13200J/(4.1865 J/cal)=3153 cal 100g × (1cal/g．oc) × (t oC)=3153 cal t=31.53 oC 所以可以使水上升到20+31.53=51.53 oC 65