相对论的复标度方法及对Gamow态的研究 郭建友 安徽大学物理学院

内容提要 一、引言 二、理论框架 三、结果分析 四、小结

一 引 言 Gamow态的研究意义 晕和皮等奇特现象的形成扮演重要作用 J.Meng and P.Ring, PRL77, 一 引 言 Gamow态的研究意义 晕和皮等奇特现象的形成扮演重要作用 J.Meng and P.Ring, PRL77, 3963 (1996), PRL80,460 (1998) 给出晕结构的合理解释；并预言巨晕：N³82 Zr40同位素可以有巨晕现象.

31Ne形变晕的解释 PRC81,021304(R), (2010)， I Hamamoto

巨晕 的预言

滴线附近核的能级结构-壳结构和新幻数 I Hamamoto, PRC79 (2009)

在集体巨共振的形成中扮演重要作用 L.G.Cao, Z.Y.Ma, PRC60 (2002) 024311 The single particle resonances in the continuum play an important role in the description of the nuclear dynamical processes, such as the collective giant resonances. L.G.Cao, Z.Y.Ma, PRC60 (2002) 024311

滴线附近核的寿命 中子衰变和质子衰变

恒星的核合成 Nucleosynthesis in red giants Terra Incognita Nucleosynthesis in binary systems s-Process rp-Process r-Process Proton Number Fe Nucleosynthesis in supernovae Neutron Number Properties of the resonant states play a important role in the nucleosynthesis

Gamow 态的研究方法 1) R-Matrix method, Phys.Rev.72, 29 (1947) 2) S-Matrix method, J.R.Taylor, Scattering Theory 3) 连续谱理论, NPA635,31(1998); NPA422,103(1984) 4) J-Matrix method, H. A. Yamani and L. Fishman, J. Math. Phys. 16, 410(1975); A.M.Shirokov,etal, Inverse scattering J-matrix approach to nucleon-nucleus scattering and the shell Model, PRC(2009) 5) To solve the coupling equation in coordinate space, PRC72,024301(2005); PRC77,054311(2008)

注：4)、5)和6)求共振态的方法是类束缚态的方法 6) Real stabilization method(RSM)实稳定化方法 A. U. Hazi and H. S. Taylor, Phys. Rev. A1, 1109 (1970)； Y. K. Ho, Phys. Rep. 99, 1 (1983). 7) Analytic continuation in the coupling constant(ACCC)耦合常数的解析延拓方法 V. I. Kukulin and V. M. Krasnopol'sky, J. Phys. A 10, 33 (1977). V. I. Kukulin, V. M. Krasnopl’sky and J. Hor´acek, Theory of Resonances: Principles and Applications (Kluwer Academic, Dordrecht, 1989). 8) Complex scaling method(CSM) 复标度方法 A. T. Kruppa, R. G. Lovas, and B. Gyarmati, Phys. Rev. C 37, 383 (1988). 注：4)、5)和6)求共振态的方法是类束缚态的方法

Gamow态的研究进展(几种类束缚态方法情况) 非相对论情况： RSM H. S. Taylor and A. U. Hazi, Phys. Rev. A 14, 2071 (1976). V. A. Mandelshtam, T. R. Ravuri, and H. S. Taylor, Phys. Rev. Lett. 70, 1932 (1993). A. T. Kruppa and K. Arai, Phys. Rev. A 59, 3556 (1999). 计算精度会影响共振态参数 ACCC N. Tanaka, Y. Suzuki, and K. Varga, Phys. Rev. C 56, 562 (1997). N. Tanaka, Y. Suzuki, K. Varga, and R. G. Lovas, Phys. Rev. C 59, 1391 (1999). 计算了一些轻核的共振能量和宽度 G. Cattapan and E. Maglione, Phys. Rev. C 61, 067301 (2000) 求解含有Woods-Saxon势的薛定谔方程得出共振态的波函数 CSM Kiyoshi Kato, J. Phys.: Conf. Ser. 49, 73 (2006). A. T. Kruppa, R. G. Lovas, and B. Gyarmati, Phys. Rev. C 37, 383 (1988). B. Gyarmati and A. T. Kruppa, Phys. Rev. C 34, 95(1986). A. T. Kruppa, P. -H. Heenen, H. Flocard, and R. J. Liotta, Phys. Rev.Lett.79, 2217 (1997). K. Arai, Phys. Rev. C 74, 064311 (2006). 虽然求解复本征值比较麻烦，但还是通过引进数学上的拉盖尔函数简化 了计算过程

相对论情况： ACCC 将ACCC拓展到RMF框架， 利用ACCC研究一些共振态的共振参数。 S. C. Yang, J. Meng, S. G. Zhou, Chin. Phys. Lett. 18, 196 (2001). S. S. Zhang, J. Meng, S. G. Zhou, and G. C. Hillhouse, Phys. Rev.C 70, 034308 (2004). 将ACCC拓展到RMF框架， 利用ACCC研究一些共振态的共振参数。 J.Y. Guo, R.D. Wang, and X.Z. Fang, Phys. Rev. C 72, 054319(2005). J.Y. Guo and X.Z. Fang, Phys. Rev. C 74, 024320 (2006). 在RMF框架下，利用ACCC研究一些核的共振能级结构和赝自旋对称性。 RSM L. Zhang, S.G. Zhou, J. Meng, and E.G. Zhao, Phys. Rev. C 77, 014312 (2008). 将RSM拓展到RMF框架，并与ACCC计算结果进行了比较。

CSM PETR SEBA，The Complex Scaling Method for Dirac Resonances，Letters in Mathematical Physics 16 (1988) 51-59, 从理论上证明了CSM可以拓展到Dirac方程 I. A. Ivanov, Complex rotation method for the Dirac Hamiltonian, PRA 69, 023407 (2004), 利用基展开方法计算类氧离子在均匀电场中的共振态 V.M. Shabaev etal.,Dual Kinetic Balance Approach to Basis-Set Expansions for the Dirac Equation, PRL93, 130405(2004), A new approach to finite basis sets for the Dirac equation is developed. It does not involve spurious states and improves the convergence properties of basis-set calculations. G. Pestka, Application of the complex-coordinate rotation to the relativistic Hylleraas-CI method: a case study, JPB 39 (2006) 2979–2987, 利用Hylleraas-CI 求解 Dirac–Coulomb问题，计算了两电子原子的共振态 A. D. Alhaidari, Relativistic extension of the complex scaling method, PRA 75, 042707 2007, 利用Laguerre polynomials作为基，研究了CSM方法的相对论拓展问题

CSM 在核物理中的应用 CSM + few-body model 1) Takayuki Myo, etal.,Analysis of 6He Coulomb breakup in the complex scaling method, PRC63, 054313(2001) 2) Kenichi Yoshida,Role of low-l component in deformed wave functions near the continuum threshold, PRC 72, 064311 (2005) 3) A. T. Kruppa,Scattering amplitude without an explicit enforcement of boundary conditions, PRC 75, 044602 (2007)

CSM + Shell model => Gamow Shell Model 1) N. Michel, etal., Gamow Shell Model Description of Neutron-Rich Nuclei, PRL89, 042502 (2002). 2) N. Michel, etal., Gamow shell model description of weakly bound nuclei and unbound nuclear states, PRC67, 054311 (2003). 3) G. Hagen,etal.,Gamow shell model description of weakly bound nuclei and unbound nuclear states, PRC 73, 064307 (2006) 4) N. Michel, etal., Antibound states and halo formation in the Gamow shell model, PRC74, 054305 (2006). 5) J. Rotureau, etal., PRL97, 110603 (2006). 6) N. Michel, Shell Model in the Complex Energy Plane, JPG36,013101(2009)

CSM + HFB => Gamow-Hartree-Fock-Method Particle-Unstable Nuclei in the Hartree-Fock Theory, A.T.Kruppa, and etal., PRL79, 2217(1997) Resonances in the Hartree-Fock BCS theory, A.T.Kruppa, PRC63, 044324(2001) Gamow-Hartree-Fock-Bogoliubov method: Representation of quasiparticles with Berggren sets of wave functions, N. Michel, etal., PRC 78, 044319 (2008)

Complex Scaling Method (CSM) 二 理论框架 Complex Scaling Method (CSM) The starting point of the CSM is a transformastion of the Hamiltonian H. First one defines the unbounded nonunitary scaling operator U(θ) ： whereθ is real. The transformed complex scaled Hamiltonian is of the form:

Relativistic Complex Scaling Method (R-CSM)

1. A bound state eigenvalue of H remains also an eigenvalue of 2. A resonance pole of the Green-operator of H is an eigenvalue of 3. The continuous part of the spectrum of is rotated down into the complex energy plane by the angle θ . 4. The important point is that the wavefunctions of resonant states are square integrable. Y. K. Ho, Phys. Rep. 99, 1 (1983); N. Moiseyev, Phys. Rep. 302, 211(1998)

RCSM 非相对论情况 相对论情况 复标度( r→reiө )的复能量面，方框代表束缚态，实线代表连续态，圆圈代表共振态。 复能量面，有限基情况。 相对论情况 RCSM

RMF-CSM 拉氏量密度 运动方程 Dirac equation Klein-Gordon equation

对于球形核, Dirac 旋量可展开为 Dirac-方程变为

引入一套完备基 {Rnl(r)} 展开Dirac旋量f(r)和g(r)如下： RMF-CSM 计算公式 引入一套完备基 {Rnl(r)} 展开Dirac旋量f(r)和g(r)如下： 这里

PRA 75, 042707 2007

引入复标度变换如下：

三、结果分析 (一)、谐振子基展开的复标度方法 (二)、谐振子基与Laguerre基展开的比较 (三)、RMF-CSM 对原子核共振态的计算

(一)、谐振子基展开的复标度方法 Computer Physics Communications 181 (2010), Jian-You Guo etal. 能量和宽度与θ的关系

V(r)=7.5r2e-r, S(r)=0, κ=-1, 谐振子基参数 θ=50º, b0=1.0a.u. 共振态的能量和宽度与展开基的个数 N 的关系 V(r)=7.5r2e-r, S(r)=0, κ=-1, 谐振子基参数 θ=50º, b0=1.0a.u.

共振态能量和宽度与振子长度参数 b0 的关系

V(r)=7.5r2e-r, S(r)=0, κ=-1, 谐振子基参数 N=100, θ =50º, b0=1.0 a.u. 谐振子基展开方法计算结果与文献结果的比较 V(r)=7.5r2e-r, S(r)=0, κ=-1, 谐振子基参数 N=100, θ =50º, b0=1.0 a.u. 相对论情况： [44] A.D. Alhaidari, PRA75, 042707, 2007

非相对论近似情况：

原子分子共振态的计算 Morse potential N=100, θ=50º

JPB41,215001(2008) R-CSM

JPB41,215001(2008) R-CSM

(二)、谐振子基展开与Laguerre基展开的比较 Comloub Potential Int.J.Mod.Phys E19 (2010), Jian-You Guo etal. Oscillator Potential Exponental Potential

计算结果的比较——束缚态

V(r)=7.5r2e-r, S(r)=0, κ=-1, 基参数 N=100, θ =50º 计算结果的比较——共振态 V(r)=7.5r2e-r, S(r)=0, κ=-1, 基参数 N=100, θ =50º

(三)、RMF-CSM 对 120Sn单粒子共振态的研究 Phys.Rev.C (2010), Jian-You Guo etal. RMF-CSM计算的束缚态，共振态和连续谱

共振态和连续谱 与展开基参数 Nf 的关系

共振态和连续谱与复标度参数θ的关系

共振参数的确定——θ轨迹

LGCao, ZYMa, PRC60 (2002); NSandulescu, PRC2003 RMF-CSM计算结果与文献的比较 LGCao, ZYMa, PRC60 (2002); NSandulescu, PRC2003 L. Zhang, S.G.Zhou, etal., PRC 2008 SCYang, CPL(2001); SSZhang, PRC(2004); JYGuo,PRC(2005);PRC(2006).

四、小结与展望 发展了 RMF-CSM 方法。 比较了两种基展开计算的优缺点，检验了模型的有效性。 对具体核的 Gamow 态进行了计算，得到了满意的结果。 发展变形核的RMF-CSM，研究变形核的性质。 发展相对论连续谱壳模型

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