第4章 齿轮机构 §4－1 齿轮机构的特点和类型 §4－2 齿廓实现定角速度比的条件 §4－3 渐开线齿廓 第4章 齿轮机构 §4－1 齿轮机构的特点和类型 §4－2 齿廓实现定角速度比的条件 §4－3 渐开线齿廓 §4－4 齿轮各部分名称及标准齿轮的基本尺寸 §4－5 渐开线标准齿轮的啮合 §4－6 渐开线齿轮的切齿原理 §4－7 根切现象、最少齿数及变位齿轮 §4－8 平行轴斜齿轮机构 §4－9 圆锥齿轮机构

§4－1 齿轮机构的特点和类型 结构特点：圆柱体或圆锥体外（或内）均匀分布有 大小一样的轮齿。 §4－1 齿轮机构的特点和类型 结构特点：圆柱体或圆锥体外（或内）均匀分布有 大小一样的轮齿。 作用：传递空间任意两轴（平行、相交、交错）的旋 转运动，或将转动转换为移动。 优点： ①传动比准确、传动平稳。 ②圆周速度大，高达300 m/s。 ③传动功率范围大，从几瓦到10万千瓦。 ④效率高(η→0.99)、使用寿命长、工作安全可靠。 ⑤可实现平行轴、相交轴和交错轴之间的传动。 缺点：要求较高的制造和安装精度，加工成本高、 不适宜远距离传动(如单车)。

分类： 齿轮传动的类型 外齿轮传动 直齿 内齿轮传动 圆柱齿轮 斜齿 齿轮齿条 平面齿轮传动 人字齿 （轴线平行） 非圆柱齿轮 直齿 按相对运动分 圆锥齿轮 斜齿 两轴相交 球齿轮 曲线齿 空间齿轮传动 （轴线不平行） 齿轮传动的类型 蜗轮蜗杆传动 交错轴斜齿轮 两轴交错 准双曲面齿轮 渐开线齿轮(1765年) 摆线齿轮 (1650年) 按齿廓曲线分 圆弧齿轮 (1950年) 抛物线齿轮(近年) 按速度高低分: 高速、中速、低速齿轮传动。 应用实例：提问参观对象、SZI型统一机芯手表有18个齿轮、炮塔、内然机。 定传动比、变传动比齿轮传动。 按传动比分: 按封闭形式分： 开式齿轮传动、闭式齿轮传动。

椭圆齿轮 斜齿圆锥齿轮 曲线齿圆锥齿轮 准双曲面齿轮 作者：潘存云教授 1 ω1 椭圆齿轮 作者：潘存云教授 斜齿圆锥齿轮 2 ω2 作者：潘存云教授 曲线齿圆锥齿轮 准双曲面齿轮

共轭齿廓：一对能实现预定传动比(i12=ω1/ω2)规律 的啮合齿廓。 §4－2 齿廓实现定角速度比的条件 共轭齿廓：一对能实现预定传动比(i12=ω1/ω2)规律 的啮合齿廓。 o1 ω1 P 1.齿廓啮合基本定律 一对齿廓在任意点K接触时，作法线n-n 根据三心定律可知： P点为相对瞬心。 n 设计：潘存云 k v12 o2 ω2 由： v12 ＝O1P ω1 ＝O2 P ω2 得： i12 ＝ω1/ω2＝O2 P /O1P 齿廓啮合基本定律: 互相啮合的一对齿轮在任一位置时的传动比，都与连心线O1O2被其啮合齿廓的在接触处的公法线所分成的两段成反比。

如果要求传动比为常数，则应使O2 P /O1P为常数。 由于O2 、O1为定点，故P必为一个定点。 节圆 o1 ω1 n P o2 ω2 k 节圆： 设想在P点放一只笔，则笔尖在两 个齿轮运动平面内所留轨迹。 a r’1 设计：潘存云 两节圆相切于P点，且两轮节点处速度相同，故两节圆作纯滚动。 r’2 中心距： a=r’1+r’2

2.齿廓曲线的选择 理论上，满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多，但考虑到便于制造和检测等因素，工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线，如渐开线、其中应用最广的是渐开线，其次是摆线(仅用于钟表)和变态摆线 (摆线针轮减速器)，近年来提出了圆弧和抛物线。 渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史，目前还没有其它曲线可以替代。主要在于它具有很好的传动性能，而且便于制造、安装、测量和互换使用等优点。本章只研究渐开线齿轮。

§4－3 渐开线齿廓 一、 渐开线的形成和特性 ―条直线在圆上作纯滚动时，直线上任一点的轨迹 基圆－rb θk－AK段的展角 §4－3 渐开线齿廓 －渐开线 渐开线 t 一、 渐开线的形成和特性 B k ―条直线在圆上作纯滚动时，直线上任一点的轨迹 rk 发生线 基圆 O A θk BK－发生线， 基圆－rb 设计：潘存云 θk－AK段的展角 rb 2.渐开线的特性 ① AB = BK; ②渐开线上任意点的法线切于基圆纯滚动时， B为瞬心，速度沿t-t线，是渐开线的切线，故BK为法线 ③B点为曲率中心，BK为曲率半径。 渐开线起始点A处曲率半径为0。可以证明

定义：啮合时K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点之压力角αk。 O A B k αk 定义：啮合时K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点之压力角αk。 vk rk θk rb＝rk cosαk 设计：潘存云 αk ④离中心越远，渐开线上的压力角越大。 rb ⑤渐开线形状取决于基圆 A1 B1 o1 θk K B3 o3 当rb→∞，变成直线。 θk A2 B2 o2 ⑥基圆内无渐开线。 ⑦同一基圆上任意两条渐开 线公法线处处相等。 设计：潘存云

⑦同一基圆上任意两条渐开线的公法线处处相等。 两条反向渐开线, 由性质①和②有： AB = AN1 + N1B = A1N1 + N1B1 = A1B1 AB = AN2 + N2B = A2N2 + N2B2 = A2B2 A C B C’ E C” ∴ A1B1 = A2B2 A2 B2 A1 B1 两条同向渐开线： E2 E1 rb O N1 N2 A1E1 = A2E2 设计：潘存云 B1E1 = A1E1－A1B1 B1E1 = B2E2 B2E2 = A2E2－A2B2 顺口溜： 弧长等于发生线， 基圆切线是法线， 曲线形状随基圆， 基圆内无渐开线。

两齿廓在任意点K啮合时，过K作两齿廓的法线N1N2，是基圆的切线，为定直线。 二、渐开线齿廓的啮合特性 ω2 O2 rb2 O1 ω1 1.渐开线齿廓满足定传动比要求 N2 N1 设计：潘存云 两齿廓在任意点K啮合时，过K作两齿廓的法线N1N2，是基圆的切线，为定直线。 K’ C1 K C2 P 两轮中心连线也为定直线，故交点P必为定点。在位置K’时同样有此结论。 i12=ω1/ω2=O2P/ O1P=const 要使两齿轮作定传动比传动，则两轮的齿廓无论在任何位置接触，过接触点所作公法线必须与两轮的连心线交于一个定点。 工程意义：i12为常数可减少因速度变化所产生的附加动载荷、振动和噪音，延长齿轮的使用寿命，提高机器的工作精度。

实际上α’ 就是节圆上的压力角 2.齿廓间正压力方向不变 N1N2是啮合点的轨迹， 称为啮合线 ω2 O2 rb2 O1 ω1 2.齿廓间正压力方向不变 N1N2是啮合点的轨迹， 称为啮合线 N2 N1 α’ 设计：潘存云 K’ K C1 C2 P 啮合线与节圆公切线之间的夹角α’ ，称为啮合角 实际上α’ 就是节圆上的压力角 由渐开线的性质可知：啮合线又是接触点的法线，正压力总是沿法线方向，故正压力方向不变。该特性对传动的平稳性有利。

实际安装中心距略有变化时，不影响i12，这一特性称为运动可分性，对加工和装配很有利。 rb1 ω2 O2 rb2 O1 ω1 N2 N1 P C1 C2 K 3.运动可分性 △ O1N1P≌△O2N2P 故传动比又可写成： i12=ω1/ω2= O2P/ O1P 设计：潘存云 = rb2 /rb1 －－基圆半径之反比。基圆半径是定值 实际安装中心距略有变化时，不影响i12，这一特性称为运动可分性，对加工和装配很有利。 由于上述特性，工程上广泛采用渐开线齿廓曲线。

齿距 （周节）－ pk= sk +ek 同侧齿廓弧长 法向齿距 （周节）－ pn = pb 分度圆－－人为规定的计算基准圆 §4－4 齿轮各部分名称及标准齿轮的基本尺寸 一、外齿轮 B rb O pk 1.名称与符号 p 齿顶圆－ da、ra ek e sk pn ha s ra 齿根圆－ df、rf pb h r hf rf 齿厚－ sk 任意圆上的弧长 设计：潘存云 齿槽宽－ ek 弧长 齿距 （周节）－ pk= sk +ek 同侧齿廓弧长 法向齿距 （周节）－ pn = pb 分度圆－－人为规定的计算基准圆 表示符号： d、r、s、e，p= s+e 齿顶高ha 齿根高 hf 齿全高 h= ha+hf 齿宽－ B

模数的单位：mm，它是决定齿轮尺寸的一个基本参数。齿数相同的齿轮，模数大，尺寸也大。 2.基本参数 ①齿数－z 出现无理数,不方便为了计算、制造和检验的方便 ②模数－m 分度圆周长：πd=zp, d=zp/π 人为规定： m=p/π只能取某些简单值， 称为模数m 。 于是有： d=mz， r = mz/2 m=4 z=16 m=2 z=16 模数的单位：mm，它是决定齿轮尺寸的一个基本参数。齿数相同的齿轮，模数大，尺寸也大。 m=1 z=16 设计：潘存云

为了便于制造、检验和互换使用，国标GB1357-87规定了标准模数系列。 0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 0.5 0.4 0.5 0.6 0.8 第一系列 1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50 为了便于制造、检验和互换使用，国标GB1357-87规定了标准模数系列。 0.35 0.7 0.9 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5 (3.75) 第二系列 4.5 5.5 (6.5) 7 9 (11) 14 18 22 28 (30) 36 45

③分度圆压力角 由 rb＝ri cosαi 得:αi＝arccos(rb/ri) 对于同一条渐开线：ri ↓ →αi ↓ αb＝0 定义分度圆压力角为齿轮的压力角： O rf ra rb r 正压力方向 N O ω rb αi ri Bi Ki 速度方向 设计：潘存云 B1 K1 r1 α1 设计：潘存云 A α

由d=mz知：m和z一定时，分度圆是一个大小唯一确定的圆。 α＝arccos(rb/r) 对于分度圆大小相同的齿轮，如果α不同，则基圆大小将不同，因而其齿廓形状也不同。 或rb＝rcosα， db＝dcosα α是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数。 规定标准值：α＝20° 由d=mz知：m和z一定时，分度圆是一个大小唯一确定的圆。 由db＝dcosα可知，基圆也是一个大小唯一确定的圆。 称 m、z、α为渐开线齿轮的三个基本参数。

齿轮各部分尺寸的计算公式： 分度圆直径： d=mz 齿顶高：ha=ha*m 齿顶高系数:ha* 正常齿： ha*＝1 ra 齿顶高：ha=ha*m r h hf rf 齿顶高系数:ha* 设计：潘存云 正常齿： ha*＝1 短齿制： ha*＝0.8 齿根高：hf=(ha* +c*)m 顶隙系数: c* 正常齿： c*＝0.25 短齿制： c*＝0.3 全齿高：h= ha+hf =(2ha* +c*)m 齿顶圆直径： da=d+2ha =(z+2ha*)m 齿根圆直径： df=d-2hf =(z-2ha*-2c*)m

基圆直径： db=dcosα =mzcosα 法向齿距： pn=pb =πdb/z =πmcosα r =pcosα 统一用pb表示 ha hf h B p ra rf r db=dcosα =mzcosα 法向齿距： s e pn pb N α rb O pn=pb =πdb/z 设计：潘存云 =πmcosα =pcosα 统一用pb表示 标准齿轮： m 、α、ha* 、c* 取标准值， 且e=s的齿轮。 一个标准齿轮的基本参数和参数的值确定之后，其主要尺寸和齿廓形状就完全确定了。

特点：齿廓是直线，各点法线和速度方向线平行 1)压力角处处相等，且等于齿形角， α为常数。 2)齿距处处相等: p=πm pn=pcosα 二、齿条 z→∞的特例。齿廓曲线（渐开线）→直线 特点：齿廓是直线，各点法线和速度方向线平行 1)压力角处处相等，且等于齿形角， α为常数。 2)齿距处处相等: p=πm pn=pcosα 其它参数的计算与外齿轮相同, 如： s=πm/2 e=πm/2 ha=ha*m hf=(ha* +c*)m pn B ha hf α α p e s 设计：潘存云

结构特点：轮齿分布在空心圆柱体内表面上。 不同点： 1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。 2) df>d>da ，da＝d-2ha 三、内齿轮 结构特点：轮齿分布在空心圆柱体内表面上。 不同点： 1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。 2) df>d>da ，da＝d-2ha ,df＝d+2hf 3) 为保证齿廓全部为渐开线， pn h N α s e ha hf p B O 要求da>db。 设计：潘存云 rf ra rb r

一对齿轮传动时，所有啮合点都在啮合线N1N2上。 §4－5 渐开线标准齿轮的啮合 渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律，那么，是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？ 一对齿轮传动时，所有啮合点都在啮合线N1N2上。 rb1 r1 O1 ω1 pb1 pb1 rb1 r1 O1 ω1 pb1 rb1 r1 O1 ω1 P N1 N2 B1 B2 P N1 N2 B2 B1 B1 P N1 N2 B2 rb2 r2 O2 ω2 rb2 r2 O2 ω2 pb2 pb2 rb2 r2 O2 ω2 pb2 设计：潘存云 设计：潘存云 设计：潘存云 从外观看齿 1比齿2小 外观齿1 比齿2大 pb1<pb2 pb1=pb2 pb1>pb2 m1<m2 m1 > m2 不能正确啮合! 能正确啮合! 不能正确啮合!

要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合，两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等： 1.正确啮合条件 要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合，两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等： pb1= pb2 rb2 r2 O2 rb1 r1 O1 ω1 ω2 P N1 N2 B2 B1 pb1 将pb=πmcosα代入得： m1cosα1=m2cosα2 设计：潘存云 因m和α都取标准值，使上式成立的条件为： pb2 m1=m2 ， α1=α2 结论： 一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它们模数和压力角应分别相等。 i12 = -- ω1 ω2 = -- d’2 d’1 = -- db2 db1 = -- d2 d1 = -- Z2 Z1 传动比：

s‘1-e’2=0 c=c*m 二、标准中心距a 1)理论上齿侧间隙为零 2)顶隙c为标准值。 储油用 此时有： a=ra1+ c +rf2 为了便于润滑、制造和装配误差，以及受力受热变形膨胀所引起的挤压现象，实际上侧隙不为零，由公差保证。 对标准齿轮，确定中心距a时，应满足两个要求： 1)理论上齿侧间隙为零 rb2 r2 O2 r1 O1 ω1 ω2 P N1 N2 rb1 ra1 a ra1 s‘1-e’2=0 2)顶隙c为标准值。 储油用 设计：潘存云 c=c*m c rf2 rf2 此时有： a=ra1+ c +rf2 =r1+ha*m +c*m + r2-(ha*m+c*m) =r1+ r2 =m(z1+z2)/2 a =r1+ r2 标准中心距 标准安装

α’ >α =r1+ r2 两轮节圆总相切： a=r’1+ r’2 r’1 = r1 r’2 = r2 两轮的传动比： i12 = r’2 / r’1 = r2 / r1 在标准安装时节圆与分度圆重合。 a rb2 O2 O1 ω1 ω2 P N1 N2 rb1 r’2 =r2 r’1 =r1 α’=α 因此有：α’=α 必须指出： 1.分度圆和压力角是单个齿轮就有的；而节圆和啮合角是两个齿轮啮合后才出现的。 设计：潘存云 2.非标准安装时，两分度圆将分离，此时由： α’ >α 提问：有可能α’ <α吗？

一、重合度 1.一对轮齿的啮合过程 B2 ----起始啮合点 B1----终止啮合点 B1B2 －实际啮合线 N1N2 ：因基圆内无渐开线 轮齿在从动轮顶圆与N1N2 线交点B2处进入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。随着传动的进行，啮合点沿N1N2 线移动。在主动轮顶圆与N1N2 线交点处B1脱离啮合。主动轮：啮合点从齿根走向齿顶，而在从动轮，正好相反。 一、重合度 N1 N2 O1 rb1 P rb2 ω2 ω1 O2 ra1 1.一对轮齿的啮合过程 B2 ----起始啮合点 B2 N1 N2 设计：潘存云 B1----终止啮合点 ra2 B1 B1B2 －实际啮合线 N1N2 ：因基圆内无渐开线 理论上可能的最长啮合线段-- 理论啮合线段 N1、N 2 －啮合极限点 阴影线部分－齿廓的实际工作段。

实际啮合线段B1B2≥pb (齿轮的法向齿距)， 即： B1B2/pb≥1 O1 N2 N1 K O2 ω2 ω1 2.连续传动条件 一对轮齿啮合传动的区间是有限的。要保证齿轮连续转动，则在前一对轮齿脱离啮合之前,后一对轮齿必须及时地进入啮合。 为保证连续传动，要求： pb 设计：潘存云 B2 实际啮合线段B1B2≥pb (齿轮的法向齿距)， B1 即： B1B2/pb≥1 定义: ε= B1B2/pb 为一对齿轮的重合度 一对齿轮的连续传动条件是： ε≥1 从理论上讲，重合度为1就能保证连续传动，但齿轮制造和安装有误差 为保证可靠工作，工程上要求： ε≥[ε] [ε]的推荐值： 使用场合 一般机械制造业 汽车拖拉机 金属切削机 [ε] 1.4 1.1～1.2 1.3 采用标准齿轮，总是有： ε≥1故不必验算。

§4－6 渐开线齿轮的切齿原理 铸造法 热轧法 冲压法 齿轮加 工方法 粉末冶金法 铣削 成形法 模锻法 拉削 切制法 插齿 滚齿 范成法 §4－6 渐开线齿轮的切齿原理 铸造法 热轧法 冲压法 齿轮加 工方法 粉末冶金法 铣削 成形法 模锻法 拉削 切制法 最常用 插齿 滚齿 范成法 (展成法共轭法 包络法) 剃齿 磨齿 一、成形法铣削 盘铣刀 指状铣刀

由db=mzcosα可知，渐开线形状随齿数变化。要想获得精确的齿廓，加工一种齿数的齿轮，就需要一把刀具。这在工程上是不现实的。 铣刀旋转，工件进给 分度、断续切削。 切削 ω 适用于加工大模数 m>20 的齿轮和人字 齿轮。 分度 进给 设计：潘存云 切削 ω 设计：潘存云 进给 盘铣刀加工 由db=mzcosα可知，渐开线形状随齿数变化。要想获得精确的齿廓，加工一种齿数的齿轮，就需要一把刀具。这在工程上是不现实的。 设计：潘存云 分度 设计：潘存云 指状铣刀加工

产生齿形误差和分度误差，精度较低，加工不连续，生产效率低。适于单件生产。 铣刀 号数 所切 齿轮 12～13 14～16 17～20 21～25 26～34 35～54 55～134 ≥135 齿数 8把一组各号铣刀切制齿轮的齿数范围 1 2 3 4 5 6 7 8 成形法加工的特点： 产生齿形误差和分度误差，精度较低，加工不连续，生产效率低。适于单件生产。

二、范成法 1. 齿轮插刀 共轭齿廓互为包络线 切削运动 ω ω0 ω ω0 ω ω0 范成运动 i=ω0 /ω=z/z0 齿轮插刀加工 让刀运动 ω ω0 ω ω0 设计：潘存云 设计：潘存云 ω ω0 范成运动 i=ω0 /ω=z/z0 齿轮插刀加工

2. 齿条插刀 切削 ω v 范成 让刀 进给 V＝ωr＝ωmz/2 齿条插刀加工时齿廓包络过程 插齿加工过程为断续切削，生产效率低。

3. 齿轮滚刀 滚刀 被加工齿轮 ω0 进给 范成运动 ω ω0 t ω0 切削 滚刀倾斜 γ v ω V＝ωr＝ωmz/2 相当于齿轮齿 条啮合传动 滚刀轴剖面 相当于齿条 γ 滚刀倾斜 t ω0 ω v ω0 切削 V＝ωr＝ωmz/2 为什么滚刀要倾斜一个角度呢？

一种模数只需要一把刀具连续切削，生产效率高，精度高，用于批量生产。 t t γ 设计：潘存云 范成法加工的特点： 一种模数只需要一把刀具连续切削，生产效率高，精度高，用于批量生产。

标准齿条型刀具比基准齿形高出c*m一段切出齿根过渡曲线。 非渐开线讨论切制原理时不考虑此部分。 4.用标准齿条型刀具加工标准齿轮 α=20° 4.1标准齿条型刀具 c*m πm/2 GB1356-88规定了标准齿条型刀具的基准齿形。 顶线 h*am h*am c*m 标准齿条型刀具比基准齿形高出c*m一段切出齿根过渡曲线。 非渐开线讨论切制原理时不考虑此部分。 设计：潘存云 4.2用标准齿条型刀具加工标准齿轮 hf=(h*a+ c*)m 加工标准齿轮： 刀具分度线刚好与轮坯的分度圆作纯滚动。 分度圆 ha=h*am 设计：潘存云 分度线 e s 加工结果： s＝e＝πm/2 ha=h*am hf=(h*a+ c*)m

§4－7 根切现象、最少齿数及变位齿轮 一、根切现象 图示现象称为轮齿的根切。 根切的后果： ①削弱轮齿的抗弯强度； ②使重合度ε下降。 §4－7 根切现象、最少齿数及变位齿轮 一、根切现象 分度圆 基圆 图示现象称为轮齿的根切。 根切的后果： ①削弱轮齿的抗弯强度； 设计：潘存云 ②使重合度ε下降。 以下分析产生根切的原因: P α rb r ra N1 O1 当B2落在N1点的下方： PB2<PN1 刀具在位置1开始切削齿间； 设计：潘存云 在位置2开始切削渐开线齿廓； B2 1 2 3 在位置3切削完全部齿廓； B1 PB2<PN1 不根切

当B2落在N1点之上： PB2=PN1 刀具在位置1开始切削齿间； 在位置2开始切削渐开线齿廓； 在位置3切削完全部齿廓； α rb r ra N1 O1 刀具在位置1开始切削齿间； 在位置2开始切削渐开线齿廓； B2 设计：潘存云 1 2 B1 3 在位置3切削完全部齿廓； PB2=PN1 不根切

已加工好的齿廓根部落在刀刃的左侧，被切掉； 在位置2开始切削渐开线齿廓；在位置3切削完全部齿廓； 到达位置4时，轮坯转过φ O1 P α N1 rb r 强调B2的位置 基圆转过的弧长为： N1 N’1＝rbφ φ N’1 强调N’1是齿廓起始点,并证明该点落在刀刃左边 根切 ＝ rφcosα 刀具沿水平移动的距离： N1M ＝rφ B2 1 2 B1 3 4 K 沿法线移动的距离： N1K ＝ N1Mcosα α M 设计：潘存云 ＝ rφcosα 弧长与直线长度相等： N1K ＝ N1N’1 发生根切 已加工好的齿廓根部落在刀刃的左侧，被切掉；

结论：刀具齿顶线与啮合线的交点B2落在极限啮合点 N1的右上方，必发生根切。 根切条件为： PB2>PN1 O1 P α N1 rb r B2 设计：潘存云

当被加工齿轮的模数m确定之后，其刀具齿顶线与啮合线的交点B2就唯一确定， 二、渐开线齿轮不发生根切的最少齿数 当被加工齿轮的模数m确定之后，其刀具齿顶线与啮合线的交点B2就唯一确定， 这时极限啮合点N1的位置随基圆大小变动。 当N1 B2两点重合时，正好不根切。 P rb N1 O1 rb3 N1 r α 不根切的条件： P N1≥P B2 在△PN1O1 中有： PN1=rsinα =mzsinα/2 rb1 N1 在△PB2B’ 中有： PB2=ha*m/sinα h*am 代入求得： z≥2 ha*/ sin2α B2 B’ α 即： zmin＝2 ha*/ sin2α 设计：潘存云 取α=20°, ha*=1，得: zmin=17

三、变位齿轮及其齿厚的确定 标准齿轮的优点： 计算简单、互换性好。 缺点： ①当z<zmin时，产生根切。但实际生产中经常要用到 ②不适合 a’≠a的场合。a’<a 时，不能安装。当a’>a 时，产生过大侧隙，且ε↓ ③小齿轮容易坏。原因：ρ小，滑动系数大，齿根 薄。希望两者寿命接 近。 为改善上述不足，就必须对齿轮进行变位修正。

1.加工齿轮时刀具的移位 从避免根切引入 为避免根切，可径向移动刀具 xm ----移距 x-----为移距系数。 规定: 1.加工齿轮时刀具的移位 从避免根切引入 为避免根切，可径向移动刀具 xm N1 α ----移距 x-----为移距系数。 xm 规定: 远离轮坯中心时，x>0， 正变位齿轮。 B2 设计：潘存云 刀具中线 B2 靠近轮坯中心时，x <0， 负变位齿轮。

由于刀具一样，变位齿轮的基本参数m、z、α与标准齿轮相同，故d、db与标准齿轮也相同，齿廓曲线取自同一条渐开线的不同段。 变位后，齿轮的齿顶高与齿根高有变化。 正变位齿轮 x>0 标准齿轮 x＝0 分度圆 负变位齿轮 x<0 ha 设计：潘存云 hf

2.齿厚与齿槽宽的确定 齿厚： s=πm/2 + 2xmtgα 齿槽宽：e=πm/2 － 2xmtgα 正变位：齿厚变宽，齿槽宽减薄。 变位后与轮坯分度圆相切的不是刀具的分度线，而是刀具节线，刀具节线上的齿厚减小、齿槽宽增大，则轮坯分度圆上的齿厚将增大。 齿厚： s=πm/2 + 2xmtgα xmtgα 齿槽宽：e=πm/2 － 2xmtgα 正变位：齿厚变宽，齿槽宽减薄。 分度圆 P N1 基圆 O1 α rb a b c xm 负变位：正好相反。 α 采用变位修正法加工变位齿轮，不仅可以避免根切，而且与标准齿轮相比，齿厚等参数发生了变化，因而，可以用这种方法来提高齿轮的弯曲强度，以改善齿轮的传动质量。且加工所用刀具与标准齿轮的一样，所以 变位齿轮在各类机械中获得了广泛地应用。 S=πm/2 s’ B2 刀具节线 刀具分度线 xm a c b 设计：潘存云

三、 变位齿轮传动的类型 标准齿轮传动x1＝x2＝0 零传动 x1＋x2＝0 等变位齿轮传动 x1＝-x2≠0 变位齿轮传动类型 三、 变位齿轮传动的类型 标准齿轮传动x1＝x2＝0 零传动 x1＋x2＝0 等变位齿轮传动 x1＝-x2≠0 高度变位齿轮传动 变位齿轮传动类型 正传动 x1＋x2>0 不等变位齿轮传动 或角度变位。 负传动 x1＋x2<0 变位系数的确定： 小齿轮采用正变位，x1>0，大齿轮采用负变位，x2<0 优缺点： ①可采用z1≤zmin的小齿轮，仍不根切,使结构更紧凑。 ②改善小齿轮的磨损情况。 ③相对提高承载能力，因大小齿轮强度趋于接近。 ④缺点是:没有互换性，必须成对使用，ε略有减小。

§4－8 平行轴斜齿轮传动 1.斜齿轮的共轭齿廓曲面 直齿轮：啮合线→啮合面 两基圆的内公切面 啮合点→接触线，即啮合面与齿廓曲面的交线。 §4－8 平行轴斜齿轮传动 考虑齿轮宽度，则直齿轮的齿廓曲面是发生面在基圆柱上作纯滚动时，发生面内一条与轴线平行的直线KK所展成的曲面。 1.斜齿轮的共轭齿廓曲面 直齿轮：啮合线→啮合面 两基圆的内公切面 啮合点→接触线，即啮合面与齿廓曲面的交线。 啮合特点: 沿齿宽同时进入或退出啮合。突然加载或卸载，运动平稳性差，冲击、振动和噪音大。 斜直线KK的轨迹－斜齿轮的齿廓曲面 →螺旋线渐开面 βb －基圆柱上的螺旋角 KK线上每一点都产生一条渐开线， 其形状相同而起始点不在同一条母线上 发生面 βb 发生面 K K K A A A 基圆柱 设计：潘存云

齿面接触线始终与K-K线平行并且位于两基圆的公切面内。 1 啮合面 齿面接触线 基圆柱 K 渐开线螺旋面 设计：潘存云 βb 2 齿面接触线始终与K-K线平行并且位于两基圆的公切面内。

在端面内，斜齿轮的齿廓曲线为渐开线，相当于直齿圆柱齿轮传动，满足定传动比要求。 啮合特点: 接触线长度的变化： 短→ 长→ 短 设计：潘存云 加载、卸载过程是逐渐进行的→传动平稳、冲击、振动和噪音较小，适宜高速、重载传动。

定义分度圆柱上的螺旋角为斜齿轮的螺旋角β 。 二、斜齿轮的基本参数 d 左旋 β 右旋 β 1. 斜齿轮的螺旋角 l βb β 定义分度圆柱上的螺旋角为斜齿轮的螺旋角β 。 将分度圆柱展开，得一矩形，有： 判别方法 tgβ=πd/l 同理，将基圆柱展开，也得一矩形，有： β tgβb=πdb/l πdb 得： tgβb /tgβ=db/ d β =cosαt 设计：潘存云 ∴ tgβb = tgβ cosαt 设计：潘存云 其中αt为端面压力角。 πd

法面内的齿形与刀具的齿形一样，取标准值。 斜齿轮的齿面为螺旋渐开面，其法面齿形和端面齿形不一样，参数也不一样。切削加工时，刀具沿齿槽方向运动，故法面内的齿形与刀具的齿形一样，取标准值。 计算时，按端面参数进行，故应建立两者之间的关系。端面是圆，而法面不是圆 2. 模数 mn、mt 法面内的齿形与刀具的齿形一样，取标准值。 将分度圆柱展开，得一矩形， 可求得端面齿距与法面齿距之间的关系： n pn=ptcosβ 将 pn＝πmn , pt＝πmt 代入得： pt pn mn=mtcosβ β B β 设计：潘存云 πd

由 ab=a’b’ , a’c=accosβ 得： 压力角：αn、αt 过c点作轮齿的法剖面 c 在△a’b’c’中，有： 用斜齿条说明： b' a' ∠a’b’c=αn , tgαn =a’c/a’b’ a b αn αt 在△abc中, 有： 在法面和端面内齿高一样 ∠abc=αt tgαt =ac/ab β 由 ab=a’b’ , a’c=accosβ 得： 设计：潘存云 β tgαn = tgαt cosβ c a a’ β 3. 斜齿轮传动的几何尺寸 不论在法面还是端面，其齿顶高和齿根高一样： ha=h*anmn hf= (h*an+c * n) m n h*an－法面齿顶高系数， han*＝1 c*n－法面顶隙系数, c*n＝0.25

mn1=mn2 ，αn1 =αn1 mt1=mt2 ，αt1＝αt2 分度圆直径： d=zmt=z mn / cosβ 中心距： a=r1+r2 = mn (z1+ z2) /2 cosβ 可通过改变β来调整a的大小。 一对斜齿轮的正确啮合条件，除了模数和压力角应分别相等外，其螺旋角必须匹配。 4.一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件 啮合处的齿向相同。 外啮合 : β1＝-β2 内啮合：β1＝β2 mn1=mn2 ，αn1 =αn1 mt1=mt2 ，αt1＝αt2

斜齿轮传动的重合度 直齿轮： ε＝L /pb 斜齿轮： εγ＝(L+△L)/pbt ＝ε+ △ε ε的增量： △ε＝△L/pbt 分析图示直齿轮和斜齿轮在啮合面进入 啮合(B2 B2)和退出啮合(B1 B1)的情形。 直齿轮： ε＝L /pb B1 b B2 斜齿轮： εγ＝(L+△L)/pbt ＝ε+ △ε L b B2 B1 ε的增量： △ε＝△L/pbt △L 设计：潘存云 ＝b tgβb /pbt βb ＝b tgβ/pt 若 b＝100，β＝20∘ mn＝2 则： △ε＝5.45

定义：与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮，称为该斜齿轮的当量齿轮，其齿数称当量齿数。 斜齿圆柱齿轮的当量齿数 定义：与斜齿轮法面齿形相当的直齿轮，称为该斜齿轮的当量齿轮，其齿数称当量齿数。 过分度圆C点作轮齿的法剖面得一椭圆，以C点曲率半径ρ作为当量齿轮的分度圆半径。 椭圆长半轴: a=d/2cosβ n 短半轴: b=d/2 由高数知，C点的曲率半径为： ρ 设计：潘存云 rv ＝ρ ＝a2/b =d/2cos2β b 得： zv ＝2rv /mn ＝d/mn cos2β a ＝zmt/ mn cos2β ＝z/ cos3β c d β 斜齿轮不发生根切的最少齿数： zmin=zvmincos3β β 若β=20 ∘ zvmin =17 zmin=14 齿槽 用盘铣刀加工斜齿轮时，加工沿法面进行，要求斜齿轮法面内的齿形与所选铣刀的齿形近可能接近。选择铣刀组号的依据是直齿轮的齿数，因此，有必要知道一个齿数为z的斜齿轮法面内的齿形与多少个齿的直齿轮的齿形相当，该直齿轮作为选刀号的依据。

③zmin< zvmin ,机构更紧凑。 7. 斜齿轮的主要优缺点 ①啮合性能好、传动平稳，噪音小。 ②重合度大，承载能力高。 ③zmin< zvmin ,机构更紧凑。 ④缺点是产生轴向力，且随β增大而增大， 一般取β＝8°～20°。 采用人字齿轮，可使β＝25°～40°。 常用于高速大功率传动中(如船用齿轮箱)。 β Ft Fn β Fn Ft β Fs Fs 设计：潘存云 设计：潘存云

§4－9 圆锥齿轮机构 一、圆锥齿轮概述 作用：传递两相交轴之间的运动和动力。 结构特点：轮齿分布在锥台表面上，轮齿大小逐渐由大变小。 §4－9 圆锥齿轮机构 一、圆锥齿轮概述 作用：传递两相交轴之间的运动和动力。 结构特点：轮齿分布在锥台表面上，轮齿大小逐渐由大变小。 为了计算和测量的方便，取大端参数(如m)为标准值。 名称变化：圆柱→圆锥，如分度圆锥、齿顶圆锥等。 r2 O2 r1 P O1 P1 rv1 δ2 =90° 冠轮 ∑ P 2 1 δ1 设计：潘存云 设计：潘存云 分度圆锥角δ。 轴交角∑：根据需要确定 相当于齿轮齿条啮合

按齿形分有：直齿、斜齿、曲齿(圆弧齿、螺旋齿) 圆锥齿 轮类型 轴交角 ∑ 根据需要确定 ∑=90° 常用∑=90° 按齿形分有：直齿、斜齿、曲齿(圆弧齿、螺旋齿) 圆锥齿 轮类型 设计：潘存云 设计：潘存云 直齿 斜齿 曲齿

按啮合方式分：外啮合、内啮合、平面啮合; 按齿形分：直齿、斜齿、曲齿; 圆锥齿 轮类型 按啮合方式分：外啮合、内啮合、平面啮合; 按轮齿高度分：渐缩齿、等高齿、等顶隙齿. 内啮合 外啮合 平面啮合 设计：潘存云 等顶隙齿 设计：潘存云 渐缩齿 等高齿

----球面渐开线。 圆平面称发生面 ，圆锥称基圆锥。 二、背锥及当量齿轮 由于两锥齿轮作定点运动，只有到定点距离相等的点 （球面上的点）才能啮合，故共轭齿廓分布在球面上。 1. 理论齿廓 一个圆平面在一圆锥上作纯滚动时，平面上任一点的轨迹 球面渐开线 ----球面渐开线。 圆平面称发生面 发生面 ，圆锥称基圆锥。 基圆锥 齿廓曲面： 圆平面上某一条半径上所有点的轨迹。 演示模型 O2 设计：潘存云 O1 公共锥顶 设计：潘存云

将背锥展开得扇形齿轮，补全，得当量齿轮,其齿形与锥齿轮大端的球面齿形相当，两者m和α相同。 o r 2.背锥及当量齿轮 Re 过大端作母线与分度圆锥母线垂直的圆锥 将球面齿往该圆锥上投影，则球面齿形与锥面上的投影非常接近。锥面可以展开，故用锥面上的齿形代替球面齿。演示纸片模型。 δ1 ---背锥 e f p e’ f’ 将背锥展开得扇形齿轮，补全，得当量齿轮,其齿形与锥齿轮大端的球面齿形相当，两者m和α相同。 O1 δ1 设计：潘存云 rv 当量齿轮的参数： 设计：潘存云 rv= O1 P = r /cosδ =zm/2 cosδ 又 rv=zvm/2 得：zv＝z/cosδ 因球面不能展开，给锥齿轮的设计和制造带来困难，不得已用近似方法研究其齿廓曲线。

不根切最少齿数：zvmin=17, z=17cosδ ： δ= 45° z=12 锥齿轮 圆柱直齿轮 引入当量齿轮的概念后，一对锥齿轮的啮合传动问题就转化为一对圆柱直齿轮啮合传动。故可直接引用直齿轮的结论. 正确啮合条件： m1=m2 , α1=α2 Re1 =Re2 不根切最少齿数：zvmin=17, z=17cosδ ： δ= 45° z=12 三、 几何参数和尺寸计算 大端参数m取标准值，α=20 ° 锥齿轮模数（GB12368-90） mm … 1 1.125 1.25 1.375 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.5 5 6 6.5 7 8 9 10…

Re－外锥距 δ－分度圆锥角 δa－齿顶圆锥角 b－齿宽 d1 , d2-分度圆直径 da－齿顶圆 df－齿根圆 传动比： GB12369-90规定，多采用等顶隙圆锥齿轮传动。 2 ha hf O θf 1 Re－外锥距 δ－分度圆锥角 δa1 d1 δa－齿顶圆锥角 R b－齿宽 δ1 d1 , d2-分度圆直径 δ2 b da－齿顶圆 da2 δa2 d2 df－齿根圆 df 2 设计：潘存云 传动比： i12＝ω1 / ω2 ＝z2 /z1 ＝r2 / r1 δ1 r1 r2 δ2 R ＝sinδ2 /sinδ1 ∑=90° 当∑＝90°时， δ2 +δ1 ＝90° i12 ＝ tgδ2 ＝ctgδ1 设计时，如果给定i12，据此可确定δ。

∑＝90°标准直齿圆锥齿轮的几何尺寸计算 名 称 符 号 计算公式及参数的选择 模数 me 按GB12368-90取值 传动比 i i=z2/z1=tgδ2 =ctgδ1 单级i<6~7 分度圆直径 d1 d2 d1=mez1 , d2=mez2 齿顶高 ha ha= ha* me ha* =1 齿顶圆直径 da1 da2 da1=d1+2mecosδ1 , da2=d2+2mecosδ2 分度圆锥角 δ1 δ2 δ2 =arctg z2/z1 , δ1=90°- δ2 顶隙 c c=0.2me 齿根圆直径 df1 df2 df1=d1-2.4mecosδ1 , df2=d2-2.4mecosδ2 齿根高 hf hf=(ha* + c*)me =1.2 me c* =0.2 全齿高 h h=hf+hf =2.2me …………… ………… …………………………………

续表 ∑＝90°标准直齿圆锥齿轮的几何尺寸计算 名 称 符 号 计算公式及参数的选择 齿顶角 θa θa =arctgha/Re 齿根角 θf θf =arctghf/Re 顶锥角 δa1 δa2 δa1 =δ1 +θa δa2 =δ2 -θa 根锥角 δf1 δf2 δf1 =δ1 -θf δf2 =δ2 -θf 外锥距 Re Re= r12+r22

本章重点： ①渐开线的形成与性质； ②标准齿轮的参数计算； ③正确啮合条件与重合度； ④根切、最少齿数、变位齿轮的齿厚计算； ⑤斜齿轮法面参数与端面参数之间的关系；