复数代数形式的四则运算 —乘除运算 六安市新安中学数学组 胡永祥
一、知识回顾 复数的加/减运算法则： 加法运算规律：对任意z1,z2,z3∈C.有
二、新课教学 1.复数乘法运算： 我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di )= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i 注意：两个复数的积是一个确定的复数
2.应用举例 计算 (3+4i)(-2-3i) 分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1 解：原式= -6-9i-8i-12i2 = -6-17i+12 = 6-17i
3.探究： 复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？ 对任意复数z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i ∴z1·z2=z2·z1 (交换律)
4.乘法运算律 对任意z1 , z2 , z3 ∈C. 有 z1·z2=z2·z1 (交换律) (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律)
5.例题讲解 例3.计算 ⑴(1+i)2 ⑵(3+4i)(3-4i) 解： ⑴原式= (1+i)(1+i) = 1+2i+i2 分析：可利用复数的乘法法则计算 5.例题讲解 例3.计算 ⑴(1+i)2 ⑵(3+4i)(3-4i) 解： ⑴原式= (1+i)(1+i) = 1+2i+i2 = 1+2i-1 = 2i ⑵原式= 9-12i+12i-16i2 = 9-(-16) = 25 与实数系中完全平方展开式一样 (是一个实数) (是一个虚数) 注：可用实数系中乘法相应公式进行运算
6.共轭复数 定义：实部相等，虚部互为相反数的两 个复数叫做互为共轭复数。 记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作 = a-bi
口答：说出下列复数的共轭复数 ⑴z=2+3i ( =2-3i ) ⑵z= -6i ( =6i ) ⑶z= 3 ( =3 ) ( =3 ) 注意：⑴当a=0时的共轭复数称为共轭虚数 (如上⑵) ⑵实数的共轭复数是它本身(如上⑶)
？ 7.思考 若z1 , z2是共轭复数，那么 ⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？ ⑵z1·z2是一个怎样的数？ 解：⑴作图 ⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi 则z1·z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 =a2+b2 结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数。 x y z1=bi (0,b) (0,-b) o y x (a,o) z1=a o y x (a,b) (a,-b) z1=a+bi o
8.复数的除法法则 探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探 究复数除法的法则. 复数除法的法则是： (c+di≠0) 提示：这里分子分母都乘以分母 的“实数化因式”（共轭复数）从而使分母“实数化”。
然后分母实数化分子分母同时乘以分母的共轭复数 例4.计算 (1+2i) ÷(3-4i) 先写成分式形式 结果化简成代数形式
9.沙场练兵 计算: ⑵ ⑴ (1-2i)(3+4i)(-2+i) 解: ⑴ 原式= (3+4i-6i-8i2)(-2+i)
三.小结 ⑴复数乘法的运算法则、运算规律，共轭 复数概念. ⑵复数除法运算法则. 四.作业 P62.练习
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