第五章 理想变压器和运算放大器 具有多个端钮与外电路连接的元件，称为多端元件。本章先介绍一种常用的电阻双口元件--理想变压器，然后介绍一种很有用的多端电子器件--运算放大器以及含运算放大器的电阻电路分析。

§5－1 理想变压器 电子和电力设备中广泛使用各种变压器，为了得到各种变压器的电路模型，需要定义一种称为理想变压器的电路元件。

变压器初级电压为4V，次级电压为0.125V，变比为16。

理想变压器是根据铁心变压器的电气特性抽象出来的一种理想电路元件。在铁心变压器初级加上交流电压信号时，次级可以得到不同电压的交流信号。

理想变压器的符号如图所示，其中11’端称为初级，22’端称为次级。 理想变压器的电压电流关系为： 式中参数n称为变比。图中标注的一对  点是表示初级电压u1和次级电压u2极性关系的符号。当u1和u2的 + 端均选在标有  点的端钮上时，表示u1和u2极性相同。

当变压器的极性改变时 理想变压器的符号如图所示。

理想变压器的电压电流关系为： 表征理想变压器端口特性的VCR方程是两个线性代数方程，因而理想变压器是一种线性双口电阻元件。与实际变压器不同。它既可工作于交流又可工作于直流，对电压、电流的频率和波形没有任何限制。

当u1和u2参考方向的“ +”端均选在标有“ · ”点的端钮上时，如图(a)所示，表示u1和u2极性相同，其关系式为u1=nu2。当u1和u2参考方向的“ +”端不同时出现在标有“ · ”点的端钮上时，如图(b)所示，表示u1和u2极性相反，其关系式为u1= －nu2。

当i1和i2参考方向的箭头同时指向标有“ · ”点的端钮时，如图(a)所示，其关系式i1= -ni2，式中的负号表示i1或i2的实际方向与参考方向相反。当i1和i2参考方向的箭头不同时指向标有“ · ”点的端钮时，如图(b)所示，其关系式i1=ni2。

表征理想变压器端口特性的VCR方程是两个线性代数方程，因而理想变压器是一种线性双口电阻元件。正如二端线性电阻元件不同于实际电阻器，理想变压器这种电路元件也不同于各种实际变压器。例如用线圈绕制的铁心变压器对电压、电流的工作频率有一定限制，而理想变压器则是一种理想化模型。它既可工作于交流又可工作于直流，对电压、电流的频率和波形没有任何限制。将一个含变压器的实际电路抽象为电路模型时，应根据实际电路器件的情况说明该模型适用的范围。

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理想变压器有两个基本性质： 1．理想变压器既不消耗能量，也不储存能量，在任一时刻进入理想变压器的功率等于零，即 此式说明从初级进入理想变压器的功率，全部传输到次级的负载中，它本身既不消耗，也不储存能量。

2．当理想变压器次级端接一个电阻R时，初级的输入电阻为n2R。 图5－2 用外加电源法求得图示单口网络的输入电阻为

上式表明理想变压器不仅可以变换电压和电流，也可以变换电阻。可以证明，式（5－5）的结论与理想变压器初、次级极性标记的位置无关，因此今后在这种情况下可以不标出初、次级的极性。

例5－1 求图5-3所示单口网络的等效电阻Rab。 图5－3 解：先求理想变压器的次级负载电阻

由RL=5kΩ得到图(b)所示电路，由此求得 图5－3 由RL=5kΩ得到图(b)所示电路，由此求得 最后得到图(c)所示电路。

例5－2 电路如图5-4所示。欲使负载电阻RL=8得最大功 率，求理想变压器的变比和负载电阻获得的最大 功率。 图5－4 解：理想变压器端接负载电阻RL时的等效电阻为

根据最大功率传输定理，Ri获得最大功率的条件是 求得 得到图(b)所示电路电阻RL和Ri获得的最大功率为

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例5－3 求图5-5(a)所示单口网络的等效电阻Rab。 图5－5 解：理想变压器的方程为：

用外加电源法求等效电阻。为了计算方便，在端口外加1V电压源如图(b)所示，用2b方程可求得： 最后得到等效电阻

例5-4 用结点分析法再求图5-5(a)所示单口网络的等效电阻。 图5－5 解：采用外加电流源计算端口电压的方法求等效电阻。

解一：增加理想变压器电流i1和i2变量来列写结点方程： 图5－5 补充理想变压器的VCR方程： 求解方程可以得到

用两个相应的受控源代替理想变压器的两条支路，得到图(b)电路。 解法二：根据理想变压器的VCR方程： 用两个相应的受控源代替理想变压器的两条支路，得到图(b)电路。 图5－6

列出结点方程： 图5－6 代入 可解得

读者学习本小节时，可以观看教材光盘中“ 铁心变压器波形”，“铁心变压器变比的测量”，“铁心变压器变换电阻”, “铁心变压器阻抗匹配”， “铁心变压器的频率特性”和 “ AC－DC变换器”等实验录像。

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根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 1 铁心变压器的电压波形 5:01 2 铁心变压器的电压电流关系 2:40 3 铁心变压器变比的测量 2:35 4 铁心变压器的电阻变换 1:35 5 铁心变压器的阻抗匹配 2:14 6 铁心变压器的频率特性 4:05 7 AC－DC变换器 2:48 8 运算放大器实验 1:56 9 运放加法电路 2:53 10 运放减法电路 2:08 11 运放跟随器的应用 2:58 12 负阻变换器实验 2:34 13 负阻振荡器 1:09 14 回转器变电阻为电导 2:06

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§5－2 运算放大器的电路模型 一、运算放大器 运算放大器简称运放，是一种多端集成电路，通常由数十个晶体管和一些电阻构成。现已有上千种不同型号的集成运放，是一种价格低廉、用途广泛的电子器件。早期，运放用来完成模拟信号的求和、微分和积分等运算，故称为运算放大器。现在，运放的应用已远远超过运算的范围。它在通信、控制和测量等设备中得到广泛应用。

图5－7 运放器件的电气图形符号如图(a)所示。运放在正常工作时，需将一个直流正电源和一个直流负电源与运放的电源端E+和E-相连[图(b)]。两个电源的公共端构成运放的外部接地端。

运放与外部电路连接的端钮只有四个：两个输入端、一个输出端和一个接地端，这样，运放可看为是一个四端元件。图中i-和i+分别表示进入反相输入端和同相输入端的电流。io表示进入输出端的电流。u-、u+和uo分别表示反相输入端、同相输入端和输出端相对接地端的电压。ud=u+-u-称为差模输入电压。

运放工作在直流和低频信号的条件下，其输出电压与差模输入电压的典型转移特性曲线uo=f(ud)如图所示。该曲线有三个明显的特点： 1．uo和ud有不同的比例尺度：uo用V; ud用mV。 图5－8

2.在输入信号很小(|ud|<)的区域内，曲线近似于一条很陡的直线，即uo=f(ud)Aud。该直线的斜率与A=uo/ud成比例，A称为开环电压增益，其量值可高达105～108。工作在线性区的运放是一个高增益的电压放大器。 3．在输入信号较大(|ud|>)的区域，曲线f(ud)饱和于uo=Usat。Usat称为饱和电压，其量值比电源电压低2V左右，例如E+=15V, E-=-15V，则+Usat=13V,-Usat =-13V左右。工作于饱和区的运放，其输出特性与电压源相似。

综上所述，运放在直流和低频应用时，其端电压电流方程为： 式中IB-和IB+是反相输入端和同相输入端的输入偏置电流，其量值非常小，通常小于10-7A，可以近似认为等于零。uo=f(ud)是输出电压uo对差模输入电压ud的转移特性。下面介绍运算放大器的两种电路模型。

二、有限增益的运算放大器模型 有限增益运放模型的符号和转移特性曲线如图5-9所示。 图5－9

由于实际运放的输入电流非常小，可以认为i-=i+=0，这意味着运放的输入电阻为无限大，相当于开路。图5－9(b)所示转移特性曲线是图5－8实际运放转移特性曲线的分段线性近似。有限增益运放模型可以由以下方程描述：

有限增益模型可以工作于三个不同的区域时，其电路模型，分别如图(a)、(b)、(c)所示。 1 ．线性区 当|ud|<时，uo=f(ud)=Aud，运放等效为一个电压控制电压源，如图(a)所示。 图5－10(a)

当ud>时，uo=+Usat，运放的输出端口等效于一个直流电压源，如图(b)所示。 图5－10 2．正饱和区 当ud>时，uo=+Usat，运放的输出端口等效于一个直流电压源，如图(b)所示。 3．负饱和区 当ud<-时，uo=-Usat，运放的输出端口等效于一个直流电压源，如图(c)所示。

三、理想运算放大器模型   实际运放的开环电压增益非常大(A=105~108)，可以近似认为A=和=0。此时,有限增益运放模型可以进一步简化为理想运放模型。理想运放模型的符号如图(a)所示，其转移特性曲线如图(b)所示。 图5－11

理想运放模型工作于线性区、正饱和区和负饱和区相应的电路模型，分别如图(a)、(b)、(c)所示。 理想运放模型可由以下方程描述: 理想运放模型工作于线性区、正饱和区和负饱和区相应的电路模型，分别如图(a)、(b)、(c)所示。 图5－12

工作于线性区的理想运放模型可以由以下方程描述 上式表明该理想运放的输入端口既像一个开路（i-=i+ =0），又像一个短路(ud=0)，这可等效为一个电流为零的特殊短路，因此，该模型又称为虚短路模型。当输入电压ud=0时，输出电压uo可以为-Usat到+Usat间的任何量值。此时，理想运放的模型为一个增益为无限大的电压控制电压源(VCVS)。

根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 时间  1 铁心变压器的电压波形 5:01 2 铁心变压器的电压电流关系 2:40 3 铁心变压器变比的测量 2:35 4 铁心变压器的电阻变换 1:35 5 铁心变压器的阻抗匹配 2:14 6 铁心变压器的频率特性 4:05 7 AC－DC变换器 2:48 8 运算放大器实验 1:56 9 运放加法电路 2:53 10 运放减法电路 2:08 11 运放跟随器的应用 2:58 12 负阻变换器实验 2:34 13 负阻振荡器 1:09 14 回转器变电阻为电导 2:06

郁金香

§5－3 含运放的电阻电路分析 一、电压跟随器 下面采用理想运放线性模型分析几种常用的运放电路。 §5－3 含运放的电阻电路分析 下面采用理想运放线性模型分析几种常用的运放电路。 一、电压跟随器 图5－13(a)所示电压跟随器是一种最简单的运放电路。 图5－13

工作于线性区的理想运放，其差模输入电压ud=0，根据KVL可求得输出电压uo与输入电压源电压uin的关系 图5－13 工作于线性区的理想运放，其差模输入电压ud=0，根据KVL可求得输出电压uo与输入电压源电压uin的关系 它等效于增益为 l的VCVS[图(b)]。该电路的输出电压uo将跟随输入电压uin的变化，故称为电压跟随器。

由于该电路的输入电阻Ri为无限大(uin=0)和输出电阻Ro为零，将它插入两个双口网络之间(图5－14)时，既不会影响网络的转移特性，又能对网络起隔离作用，故又称为缓冲器。

二、反相放大器 利用理想运放输入端口的虚短路特性(i-=i+=0)，写出电路中结点①的KCL方程 图5－15 解得

当Rf>R1时，输出电压的幅度比输入电压幅度大，该电路是一个电压放大器。式（5－12）中的负号表示输出电压与输入电压极性相反，故称为反相放大器。 例如, R1=1k,Rf=10k, uin(t)=8cost mV时，输出电压为

三、同相放大器 利用理想运放的虚短路特性，写出图示电路中结点①的KCL方程 图5－16 解得

由于输出电压的幅度比输入电压的幅度大，而且极性相同，故称为同相放大器。 例如R1=1k,Rf=10k, uin(t)=8cost mV时，输出电压为

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四、加法运算电路  图5－17 利用理想运放的虚短路特性，写出图示电路中结点①的KCL方程

解得 当R1=R2=R时，上式变为 该电路输出电压幅度正比于两个输入电压之和，实现了加法运算。当R3> R1=R2时，还能起反相放大作用，是一种加法放大电路。

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五、负阻变换器 图5－18 用外加电源法求出 a、b两端的VCR关系, 从而求得输入电阻Rab。利用理想运放的虚短路特性，再用观察法列出

得到 代入KVL方程 解得 当R1=R2时

上式表明该电路可将正电阻Rf变换为一个负电阻。为了实现负电阻，要求运放必须工作于线性区，即 ， 由式(5－15)可求得负电阻上的电压应满足 例如R1=R2=1k, Rf=10k, Usat=10V，且运放输入端ab两点间电压u<0.5V时，Rab=-10k。

例5－5 图5－19(a)电路中的运放工作于线性区，试用叠加定 理计算输出电压uo。 解：工作于线性区的运放模型是线性电阻元件，可以应用叠加定理。 该电路的输出正比于两个电压之差，是一个减法放大电路。 图(b)是一个反相放大器，求得 图(c)是一个同相放大器电路，求得

5－14 电路中的运放工作于线性区，试用叠加定理求输出电压的表达式。 XT5-14 circuit data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 符 号 符 号 V 1 1 0 Us1 OA 2 1 2 3 3 0 R 4 2 0 Rf R 5 2 3 R1 R 6 3 4 R1 R 7 4 6 Rf V 8 5 0 Us2 OA 9 4 5 10 6 0 独立结点数目 = 6 支路数目 = 10 ----- 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 ----- RfUs2+R1Us2-R1Us1-RfUs1 V6 = -------------------------- R1 ----- 独立电源 V 1 = Us1 单独作用 ----- -R1-Rf V6 /Us= -------- ----- 独立电源 V 8 = Us2 单独作用 ----- Rf+R1 ***** 符 号 网 络 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成电 七系--胡翔骏 ***** 习题5-14

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根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 时间  1 铁心变压器的电压波形 5:01 2 铁心变压器的电压电流关系 2:40 3 铁心变压器变比的测量 2:35 4 铁心变压器的电阻变换 1:35 5 铁心变压器的阻抗匹配 2:14 6 铁心变压器的频率特性 4:05 7 AC－DC变换器 2:48 8 运算放大器实验 1:56 9 运放加法电路 2:53 10 运放减法电路 2:08 11 运放跟随器的应用 2:58 12 负阻变换器实验 2:34 13 负阻振荡器 1:09 14 回转器变电阻为电导 2:06

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§5－4电路应用和计算机分析电路实例 一、运放跟随器的应用 首先介绍运放跟随器的应用。再介绍用运算放大器实现负阻变换器和回转器。最后介绍一个实际的AC－DC变换器。 一、运放跟随器的应用 由运算放大器构成的电压跟随器，其输入电阻为无穷大，输出电阻为零，将它插入在两个网络之间，可以避免它们的互相影响，在实际电路设计中经常采用。下面举例加以说明。

例5-6 电路如图5－15所示，试计算开关接在a和a 位置， 及接在b和b 位置时的转移电压比uo/uin。 图5－20 解：网络 N1和N2的转移电压比为

开关S1、S2接在a、a 时，在 N1和 N2间插入电压跟随器，不会影响u1和H1的值，又由于跟随器的输出电阻为零，N2的接入不会影响u2的值，即u1= u2。该电路总的转移电压比为

开关 S1、S2接在b、b 时， N1和 N2直接相连，由于N2输入电阻对N1的影响，H1将会变化，总转移电压比为 由此例可见，使用缓冲器可以隔离两个电路的相互影响，从而简化了电路的分析与设计。

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二、负阻变换器的实现和应用   实际电阻器的电阻值是正值，包含晶体管和集成电路的电路模型中会出现受控源，可能得到负电阻。下面根据图5－18所示负阻变换器的电路模型，用实验来证明由运算放大器和一些电阻器组成的电路可以实现负电阻。 图5－18

例5-7 试用运放(例如LM741)、电阻器和电位器构成一 个线性电阻器，其阻值从-10k到+10k连续可调。 图5－21 解：由图5－18所示电路模型，画出图5-21所示电原理图。 在实验室按图接线，并接通电源，则在ad两点间形成 一个Rad=-Rf= -10k的线性电阻器。

为得到一个从-10k到+10k可连续变化的电阻，将一个20k电位器用作可变电阻器与上述负电阻串联，其总电阻为 当电位器滑动端从b点向c点移动时， Rbd则从-10k到+10k连续变化。

为了证实图5－21电路确能实现一个负电阻器，可以用普通万用电表的电阻挡间接测量负电阻Rad。万用电表虽不能直接测量负电阻，但可将万用电表接在bd两点间，调整电位器滑动端，令其读数为0 ，即Rbd=0，由上式得到 只需用万用电表测量电位器ab两点间的正电阻Rab，就能求得负电阻Rad。用上述方法,可以确认图5－21电路 bd两点间能实现一个从-10kΩ连续变化到+10kΩ的可变电阻器。我们还可以用半导体管特性图示仪来观测图5－21电路bd两点的VCR特性曲线，从而说明图5－21电路可以实现负电阻。

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三、回转器的实现和应用 回转器(Gyrator)的是现代网络理论中使用的一种双口电阻元件，其元件符号如图5－22所示：

在回转器的次级端接一个电阻时，如图5－23(a)所示，其初级的等效电阻为一个电导。 显然，当回转电导G=1S时，Rab= GL=1/ RL，例如RL =10Ω时， Rab=0.1Ω。在第七章，将证明在回转器次级端接一个电容时，其初级等效为一个电感。

例5－8 证明图5－24电路可以实现一个回转器，其回转电导为G= -1/ R。假设运算放大器工作于线性区域。

解 回转电导为G= -1/ R的回转器，其电压电流关系为 在端口外加两个电流源，计算端口电压电流关系式。注意到运算放大器输入端的虚短路特性导致v2= v1= u1，列出结点1和2的结点方程 求解方程得到v3=2 u1以及i1和u2关系的方程

注意到v4= v6 =u2和v3=2 u1，列出结点6和4的结点方程 求解方程得到 方程(1)和(2)正好构成了回转电导为G=-1/ R的回转器电压电流关系。

用符号网络分析程序SNAP来计算，得到相同结果。 circuit data 元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件 类型 编号 结点 结点 支路 符 号 符 号 V 1 0 1 -U1 V 2 0 6 -U2 R 3 1 3 R R 4 2 0 R R 5 2 3 R R 6 1 6 R OA 7 2 1 8 3 0 R 9 3 4 R R 10 4 5 R R 11 5 6 R OA 12 4 6 13 5 0 独立结点数目 = 6 支路数目 = 13 ----- 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 ----- -U2 I1 = ----- R U1 I2 = ----- ***** 符 号 网 络 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成电 七系--胡翔骏 *****

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四 AC－DC变换器 便携式电子设备可以用电池工作，也可以用交流电工作。在交流电工作时，它是通过一个AC－DC变换器(AC－DC Adapter)将交流电变换为直流电提供给电子设备工作的。下面介绍一种供一般半导体收音机使用的AC变换器，其电原理图如图5－25所示。AC－DC变换器电路由变压，整流和滤波三部分电路组成，第一部分是用降压变压器将110V或220V50Hz或60Hz的交流电变换为几伏～十几伏的低压交流电。

第二部分是通过四个半导体二极管将双向正弦交流电变换为单向整流波形(请参考第二章例2－18)，这种全波整流波形包含直流分量和谐波分量(请参考第十章第八节)。第三部分是利用大容量的电解电容器滤除整流波形的谐波分量，得到脉动的直流电，供给电子设备使用(请参考第十二章第二节)，1456型变换器可以输出3V，4.5V，6V，7.5V，9V和12V的直流电压，输出电流可达300mA，供半导体收音机等小型电子设备使用。AC变换器的结构和波形，请观看教材所附光盘中的“AC－DC变换器”的录像和幻灯片。

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根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。   名 称 时间 时间  1 铁心变压器的电压波形 5:01 2 铁心变压器的电压电流关系 2:40 3 铁心变压器变比的测量 2:35 4 铁心变压器的电阻变换 1:35 5 铁心变压器的阻抗匹配 2:14 6 铁心变压器的频率特性 4:05 7 AC－DC变换器 2:48 8 运算放大器实验 1:56 9 运放加法电路 2:53 10 运放减法电路 2:08 11 运放跟随器的应用 2:58 12 负阻变换器实验 2:34 13 负阻振荡器 1:09 14 回转器变电阻为电导 2:06

摘 要 1．理想变压器是一种线性电阻双口元件，它是构成各种实际变压器电路模型的基本元件。理想变压器既不消耗也不储存能量，常用来变换电阻、电压和电流。 2．理想变压器端口电压电流采用关联参考方向的情况下，其电压电流关系式由以下两个代数方程描述

3．运放是一种多用途的多端电子器件，已得到广泛应用。在直流和低频条件下工作的运放，其电路模型是一个四端电阻元件。运放的工作区分为线性工作区，正饱和区和负饱和区，其电压电流关系由以下三个代数方程描述 4．理想运放模型的电压电流关系由以下三个代数方程描述 采用理想运放模型可以简化含运放电路的分析。

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