9.1 圓的方程 圓方程的標準式
9 圓 9.1 圓的方程 圓方程的標準式
9.1 圓的方程 圓方程的一般式 則可得出圓方程的一般式：
9.1 圓的方程 圓方程的一般式 綜合以上結果，得
9.1 圓的方程 圓方程的一般式 備註： (1) 圓方程的一般式是一個關於 x、y 的二次方程，其中 9.1 圓的方程 圓方程的一般式 備註： (1) 圓方程的一般式是一個關於 x、y 的二次方程，其中 x2 與 y2 的係數相等，且方程中不存在 x y 項。 (2) 在利用上述公式求一般式之圓心和半徑時， 必須使 x2 與 y2 的係數都等於 1 。
9.1 圓的方程 例 9.1 解：
9.1 圓的方程 例 9.2 解：
9.1 圓的方程 例 9.3 若某圓通過 A(–1, –1)、B(–3, 5) 和 C(1, 3)三點，試求該圓的方程。 解： 9.1 圓的方程 例 9.3 若某圓通過 A(–1, –1)、B(–3, 5) 和 C(1, 3)三點，試求該圓的方程。 解： 由於點 A(–1, –1)、B(–3, 5) 及 C(1, 3)位於圓上， 由於點 (1)、 (2) 及 (3) ，得 D = 4、 E = –4 及 E = –2 ，
9.1 圓的方程 例 9.5 某圓的圓心位於直線 y = x + 1上，且該圓通過點 (5, 2)。 9.1 圓的方程 例 9.5 某圓的圓心位於直線 y = x + 1上，且該圓通過點 (5, 2)。 若該圓與直線 y = 3 – x 相切，試求圓方程。 解：
9.1 圓的方程 例 9.5 某圓的圓心位於直線 y = x + 1上，且該圓通過點 (5, 2)。 9.1 圓的方程 例 9.5 某圓的圓心位於直線 y = x + 1上，且該圓通過點 (5, 2)。 若該圓與直線y = 3 – x 相切，試求圓方程。 解：
9.1 圓的方程 例 9.5 某圓的圓心位於直線 y = x + 1上，且該圓通過點 (5, 2)。 9.1 圓的方程 例 9.5 某圓的圓心位於直線 y = x + 1上，且該圓通過點 (5, 2)。 若該圓與直線y = 3 – x 相切，試求圓方程。 解：
9.1 圓的方程 例 9.6 若某圓與兩坐標軸相切，且通過點 (4, 2)，試求該圓可取的兩個方程。 解：
9.1 圓的方程 例 9.6 若某圓與兩坐標軸相切，且通過點 (4, 2)，試求該圓可取的兩個方程。 解： 圓可取的兩方程是
9.2 直線與圓的交點
9.2 直線與圓的交點 沒有交點
9.2 直線與圓的交點 沒有交點 一個交點
9.2 直線與圓的交點 沒有交點 一個交點 二個交點 設直線 L 與圓 C 的方程為
9.2 直線與圓的交點
9.2 直線與圓的交點 則直線L 與圓 C 不相交。
9.2 直線與圓的交點 則直線 L 與圓 C 不相交。 則直線L 與圓 C 相交於 (x1, y1)一點 (即 L 是 C 的切線)。 注意 x = x1 是 () 唯一的根 。
9.2 直線與圓的交點 則直線 L 與圓 C 不相交。 則直線L 與圓 C 相交於 (x1, y1)一點 (即 L 是 C 的切線)。 注意 x = x1 是 () 唯一的根 。 則直線L 與圓 C 相交於 (x1, y1)和 (x２, y２ ) 兩個相異點。 注意，x = x1 及 x = x２是 () 的根。
9.2 直線與圓的交點 例 9.8 試求圓 x2 + y2 + 2y – 9 = 0 與直線 2x – y – 6 = 0 的交點數目。 9.2 直線與圓的交點 例 9.8 試求圓 x2 + y2 + 2y – 9 = 0 與直線 2x – y – 6 = 0 的交點數目。 解： 因此，圓與直線有兩個交點。
9.2 直線與圓的交點 例 9.8 試求圓 x2 + y2 + 2y – 9 = 0 與直線 2x – y – 6 = 0 的交點數目。 9.2 直線與圓的交點 例 9.8 試求圓 x2 + y2 + 2y – 9 = 0 與直線 2x – y – 6 = 0 的交點數目。 另解： 從圓心到直線 2x – y – 6 = 0 的垂直距離 因此，直線 2x – y – 6 = 0 與圓形相交於兩個相異點。
9.3 圓的切線 切線方程
9.3 圓的切線 切線方程 1. 位於圓周上一點的切線
9.3 圓的切線 切線方程
9.3 圓的切線 例 9.11 試求圓 x2 + y2 － 2y + 8y － 8 = 0 在點 (5, －1) 的切線之方程。 解： 9.3 圓的切線 例 9.11 試求圓 x2 + y2 － 2y + 8y － 8 = 0 在點 (5, －1) 的切線之方程。 解： 所求的切線方程是
9.3 圓的切線 2. 具有已知斜率的切線 若要求出 L1 及 L2 的方程，我們可以考慮 (i) 判別式或 9.3 圓的切線 2. 具有已知斜率的切線 若要求出 L1 及 L2 的方程，我們可以考慮 (i) 判別式或 (ii) 從圓心到切線的垂直距離及圓半徑。 讓我們通過以下的例題加以說明。
9.3 圓的切線 例 9.12 已知一圓 x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 – 1 的切線之方程。 解： 9.3 圓的切線 例 9.12 已知一圓 x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 – 1 的切線之方程。 解： 設所求的切線方程為 若 (1) 代表一條切線，則 所求的切線方程是
9.3 圓的切線 例 9.12 已知一圓 x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 –1 的切線之方程。 另解： 9.3 圓的切線 例 9.12 已知一圓 x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 –1 的切線之方程。 另解： 如圖 9.8 所示，設所求的切線方程為
9.3 圓的切線 例 9.12 已知一圓 x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 –1 的切線之方程。 9.3 圓的切線 例 9.12 已知一圓 x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 –1 的切線之方程。 由於 (2) 代表一條切線，因此，(2) 與圓心 的距離等於圓半徑。
9.3 圓的切線 例 9.12 已知一圓 x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 –1 的切線之方程。 9.3 圓的切線 例 9.12 已知一圓 x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 –1 的切線之方程。 由於 (2) 代表一條切線，因此，(2) 與圓心 的距離等於圓半徑。 所求的切線方程是
9.3 圓的切線 3. 從外點到圓的切線
9.3 圓的切線 3. 從外點到圓的切線 若要求出L1 及 L2 的方程，我們可以考慮前述的兩種方法 9.3 圓的切線 3. 從外點到圓的切線 若要求出L1 及 L2 的方程，我們可以考慮前述的兩種方法 即利用(i) 判別式 () = 0 或 (ii) 從圓心到切線的垂直距離 (d) =圓的半徑 (r) 。
9.3 圓的切線 從外點到圓的切線之長度
9.3 圓的切線 從外點到圓的切線之長度
9.3 圓的切線 例 9.14 試求從點(1, –2)到圓 4x2 + 4 y2 – 6x + 8y + 3 = 0 的切線之長度。 解： 9.3 圓的切線 例 9.14 試求從點(1, –2)到圓 4x2 + 4 y2 – 6x + 8y + 3 = 0 的切線之長度。 解： 切線的長度
9.4 圓族 同心圓族 當 r 值變化時， S 代表一系列的圓 ，這些圓具有同樣的圓心 (h, k) 但有著不同的半徑。
9.4 圓族 同心圓族 當 r 值變化時， S 代表一系列的圓 ，這些圓具有同樣的圓心 (h, k) 但有著不同的半徑。 9.4 圓族 同心圓族 當 r 值變化時， S 代表一系列的圓 ，這些圓具有同樣的圓心 (h, k) 但有著不同的半徑。 我們把 S 稱為同心圓族。
9.4 圓族 通過直線與圓的交點之圓族 若直線 L: Ax + By + C = 0 與圓 C: x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0 相交於 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2) 兩點。 則存在著一通過 P 和 Q 兩點的圓 S，其方程為： 注意，當 k 值變化時， S 代表通過 L 與 C 的交點之圓族。
9.4 圓族 通過直線與圓的交點之圓族 若直線 L: Ax + By + C = 0 與圓 C:x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0 相交於 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2) 兩點。 則存在著一通過 P 和 Q 兩點的圓 S，其方程為： 注意，當 k 值變化時， S 代表通過 L 與 C 的交點之圓族。
9.4 圓族 例 9.16 試求通過 C: x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 與直線 L: x + y = 1 的交點，且圓心位於 y 軸上符合以下條件的圓方程。 解： 設所求的圓方程為 y 軸上任意一點 x 坐標都是零 所求的圓方程是
9.4 圓族 通過兩圓的交點之圓族
9.4 圓族 通過兩圓的交點之圓族
9.4 圓族 通過兩圓的交點之圓族 如圖 9.28 所示，L 將通過兩圓 C1 與 C2 的公共弦 PQ。
9.4 圓族 通過兩圓的交點之圓族 如圖 9.28 所示，L 將通過兩圓 C1 與 C2 的公共弦 PQ。
9.4 圓族 通過兩圓的交點之圓族
9.4 圓族 通過兩圓的交點之圓族
9.4 圓族 通過兩圓的交點之圓族
9.4 圓族 例 9.18 解：
9.4 圓族 例 9.18 解： 設所求的圓方程為 所求的圓方程是