第五章 牛頓運動定律的應用 5-1 等速率圓周運動和向心力 5-2 簡諧運動 5-3 質點系統的質心運動 5-4 質點系統的總動量和動量守恆定律 5-5 物理量的因次

5-1等速率圓周運動和向心力 (1/2) v [複習]： 等速率圓周運動 a R w= = =2pf Dq Dt 2p T O (1)角速度： O v= = =Rw Ds Dt 2pR T (2)速率： a= Dv Dt =Rw2 v2 R = 4p2R T2 (3)向心加速度：

5-1等速率圓周運動和向心力 (2/2) 等速率圓周運動與向心力 v2 R =m 4p2R T2 =m v 向心力 F=ma =mRw2 a 原 因 結 果 O [問題]：人造衛星繞地球作圓周運動的向心力 來源為何? 例題5-1 例題5-2 例題5-3

5-2 簡諧運動(1/5) 簡諧運動 (S.H.M.) 往復的週期性運動。 [說明]：如右圖，小球作等速圓周運動時，其在 x T A xo t -A 平行光 (1)描述：質點在平衡位置附近，沿一直線作 往復的週期性運動。 [說明]：如右圖，小球作等速圓周運動時，其在 直徑上的投影作簡諧運動。

5-2 簡諧運動(2/5) 簡諧運動 (S.H.M.) y y x v q P O Q x y a q P O Q P R q x O Q (2)位置函數：x=Rcosq=Rcos(wt+qo) (3)速度：vx= -vsinq= -Rwsin(wt+qo) (4)加速度：ax= -acosq= -Rw2cos(wt+qo) = -w2x

5-2 簡諧運動(2/5) 簡諧運動 (S.H.M.) y y x v q P O Q x y a q P O Q P R q x O Q (2)位置函數：x=Rcosq=Rcos(wt+qo) (3)速度：vx= -vsinq= -Rwsin(wt+qo) (4)加速度：ax= -acosq= -Rw2cos(wt+qo) = -w2x

5-2 簡諧運動(3/5) 簡諧運動 (S.H.M.) 其中，k= -(mw2)x 為一常數 [說明]：質點作簡諧運動，其合力 f 與位移成 (5)合力：f =max= -(mw2)x = -kx 其中，k= -(mw2)x 為一常數 [說明]：質點作簡諧運動，其合力 f 與位移成 正比，但方向相反。 [問題]：簡諧運動的速度、加速度的最大、 最小值分別在何處發生？ 例題5-4

5-2 簡諧運動(4/5) 簡諧運動 (S.H.M.) k m 2p m =2p w k (6)角頻率：w = (7)週期：T = 例題5-5

5-2 簡諧運動(5/5) 單擺運動 mg L g L 2p L =2p w g (1)恢復力：f = -mgsinq = -( )x (3)週期：T = g L w 2p =2p 例題5-6

? = 5-3 質點系統的質心運動 (1/3) 質點系統： 由許多質點組合成的系統 。 質點系統的受力 m1a1+m2a2+m3a3+… = F外+ F內 = [問題1]：為何系統的內力和為0？ [問題2]：在什麼情況下各質點的加速度會相等？ ? a1=a2=a3=…

5-3 質點系統的質心運動 (2/3) (miri)  mi (mivi)  mi (miai)  mi 質點系統的運動量 rc= (1)位置向量 (miri) m1r1+m2r2+m3r3+… m1+m2+m3+… = i  mi vc= (2)質心速度 (mivi) m1v1+m2v2+m3v3+… m1+m2+m3+… = i  mi ac= (3)質心加速度 (miai) m1a1+m2a2+m3a3+… m1+m2+m3+… = i  mi

5-3 質點系統的質心運動 (3/3) F外=Mac [問題1]：質心加速度代表的意涵為何？ [問題2]：重心位置和質心位置在什麼情況下 會重疊？ 例題5-7 例題5-8 例題5-9 例題5-10 例題5-11 例題5-12

質點系統的總動量 p i=mv i P=m iv i =Mvc 5-4質點系統的總動量和動量守恆定律 (1/3) (1)質點的動量 p i=mv i (2)系統的總動量 P=m iv i =Mvc [證明]：試證明 m iv i=Mvc。

=0 = DP F外=Mac = lim Dt→0 Dt 動量守恆定律 5-4質點系統的總動量和動量守恆定律 (2/3) P保持一定 P保持一定 動量守恆定律 若質點系統所受外力的合力為0，則系統的 總動量守恆。

= = Dpx Dpy Dpz Dt Dt Dt 5-4質點系統的總動量和動量守恆定律 (3/3) Fx i + Fy j + Fz k = = [問題]：若物體在x方向、y方向受力為0，只有 z方向受力不為0，則其質心如何運動? 動量守恆是否守恆？ 例題5-13 例題5-14 例題5-15 例題5-16

5-5 物理量的因次 (1/2) 物理量必須包含 和 兩部份。 數字 單位 力學物理量的基本單位是 、 、 和 ；其因次分別為 、 、 5-5 物理量的因次 (1/2) 物理量必須包含 和 兩部份。 數字 單位 力學物理量的基本單位是 、 、 和 ；其因次分別為 、 、 和 。 長度(m) 質量(kg) 時間(s) L M T [問題]：試驗算 x=vot + at2 等式兩邊的因次。 2 1

5-5 物理量的因次 (2/2) 物理量 因次 位 移 加速度 質 量 角速度 密 度 力 時 間 力 矩 速 度 動 量 速 率 衝 量 5-5 物理量的因次 (2/2) 物理量 因次 位 移 加速度 質 量 角速度 密 度 力 時 間 力 矩 速 度 動 量 速 率 衝 量 L LT - 2 M T - 1 ML - 3 LMT - 2 T L2MT - 2 LMT - 1 LT - 1 LT - 1 LMT - 1 例題5-17

「福爾摩沙衛星二號」（簡稱福衛二號）是由我 國自主發展的第二枚人造衛星，已於93年5月21日 成功發射，進入距地球表面891公里的圓形軌道飛 例題5-1 「福爾摩沙衛星二號」（簡稱福衛二號）是由我 國自主發展的第二枚人造衛星，已於93年5月21日 成功發射，進入距地球表面891公里的圓形軌道飛 行，具有地表遙測的實用任務及高空大氣閃電觀 測科學之用途。福衛二號的質量為760公斤，每 日繞地球飛行14圈，其運動軌跡每天有兩次會通 過澎湖與臺灣本島中間。試求福衛二號的 (1)飛行的速率為何？ (2)加速度為何？ (3)所受合力為何？（地球半徑為6378公里）

例題5-2 路面溼滑時，摩擦力不足以提供汽車轉彎時所須 之向心力，故常將彎曲路面築成外側較高之斜面。 如右圖所示，有一曲率半徑為R之彎道，路面傾 斜角為q。若不計路面摩擦力，欲使質量m之汽車 行經此彎道時，沿車道行駛而不向外滑出或向內 滑下，則車速應保持多少？

如右圖所示為遊樂場中的旋轉吊椅，吊椅旋轉時 便會向外甩出去。若吊椅的質量為m，鍊條長度為 角速度w與週期T各為何？ 例題5-3 如右圖所示為遊樂場中的旋轉吊椅，吊椅旋轉時 便會向外甩出去。若吊椅的質量為m，鍊條長度為 L，鍊條與旋轉軸的夾角為q，試求吊椅旋轉時的 角速度w與週期T各為何？

某次地震時，一建築物在水平面上沿一直線作簡諧運動，其振幅為0.200 m，週期為0.628 s，則： 例題5-4 某次地震時，一建築物在水平面上沿一直線作簡諧運動，其振幅為0.200 m，週期為0.628 s，則： (1)此建築物之最大加速度為何？ (2)當建築物離開平衡點0.120 m時的速率為何？

例題5-5 如右圖所示，一鉛直懸掛的輕彈簧(力常數為k)，其上端繫在天花板上，下端繫一質量為m之物體。起先將物體托住使彈簧回復至彈簧原長處，再使之從靜止開始自由落下，則物體將作上下的往復振動。若不計摩擦力，則： (1)物體振動週期為何？ (2)物體的最大速率為何？

例題5-6 一個週期為2.0秒的單擺，由左端擺到右端所經過 的時間為1.0秒，可用來顯示一秒的時距，則此 單擺的擺長為何？

溴化鉀分子（KBr）中的溴原子和鉀原子相距2.82 Å 分子的質心與溴原子的距離為多少Å？ 例題5-7 溴化鉀分子（KBr）中的溴原子和鉀原子相距2.82 Å (1Å＝10－10 m，稱為埃），視原子為質點，則該 分子的質心與溴原子的距離為多少Å？ (溴和鉀的原子質量分別為79.9 u和39.1 u， 1 u ＝1.66 × 10－27 kg，稱為原子質量單位， atomic mass unit。)

例題5-8 一長度為L的均勻細木棒，求其質心的位置。

例題5-9 如右圖所示為一質量分布均勻的直角曲尺， 兩股的長度分別為a和b，寬度甚小可予忽略， 求此曲尺的質心位置。

一砲彈以80.0 m／s的初速，沿45o的仰角發射出去， 在最高點時爆裂成兩片，其質量比為2：1。兩片 例題5-10 一砲彈以80.0 m／s的初速，沿45o的仰角發射出去， 在最高點時爆裂成兩片，其質量比為2：1。兩片 同時落至地面，且兩片的落點和原砲彈的發射點 在同一直線上，其中大片落點位置與發射點相距 450 m，求小片的落點。

例題5-11 在右圖所示的阿特午機中，兩物體的質量分別為m1和m2（m1 ＞ m2），視兩物體為一系統，忽略繩子的質量和摩擦力的影響，則物體自靜止釋放後，求 (1)系統的質心加速度 。 (2) t秒末時的質心速度 。

例題5-12 如右圖所示，在一條長度為r的輕繩一端，繫一 質量為m的小物體A，在繩子的中點另繫一同質量 的小物體B，使A和B兩物體在光滑水平面上作等 速率圓周運動，其角速度為w，求OB段繩子的 張力。

在一光滑水平面上有A和B兩物體，其質量各為 為k ＝ 200N/m的輕彈簧，如圖(a)所示。現以同大 例題5-13 在一光滑水平面上有A和B兩物體，其質量各為 m1＝1.00 kg和m2＝0.80 kg，兩者之間夾置一力常數 為k ＝ 200N/m的輕彈簧，如圖(a)所示。現以同大 的力F在物體的兩邊相向將彈簧壓縮後，自靜止起 釋放，兩物體以相反方向彈開，其中物體A的速度 為v1＝2.0 m/s，方向向左，如圖(b)所示。試求 物體B的速度為何？ (a) (b)

在右圖中，質量為M =1300 kg的大砲，沿水平方向 發射質量為m=70 kg的砲彈，砲彈的出口速度 自由後退，求砲身對地的後退速度。 例題5-14 在右圖中，質量為M =1300 kg的大砲，沿水平方向 發射質量為m=70 kg的砲彈，砲彈的出口速度 (相對於後退的砲身而言) vr = 50 m/s，若砲身可 自由後退，求砲身對地的後退速度。

例題5-15 一質量為M的水箱車在光滑的水平軌道面上以等速 度v前進。現有質量為m的水自上方鉛直倒入車上 的水箱內，則其車速變為多少？後來又將水箱 底部的洩水孔打開，水自底部流出，則車速變為 多少？

例題5-16 一砲彈以初速vo=50 m/s，沿仰角qo=53o的方向發射 。砲彈在最高點時，爆炸成為質量相等的兩彈片， 其中一片以速率v1=45 m/s鉛直落下。若重力加速 度取為10 m/s2，且砲彈及彈片的飛行路徑均在同 一鉛直面上，則當砲彈爆炸時，另一彈片的速度 為何？

例題5-17 試利用物理量的因次分析，找出單擺的週期P和 擺錘的擺長L、質量m、和重力加速度g之間有什麼 關係？