上节课内容总结 统计推断基本概念 CDF估计： 统计函数估计 统计模型：参数模型与非参数模型 统计推断/模型估计：点估计、区间估计、假设检验 估计的评价：无偏性、一致性、有效性、MSE 偏差、方差、区间估计 CDF估计： 点估计、偏差、方差及区间估计 统计函数估计 点估计 区间估计/标准误差 影响函数 Bootstrap Bootstrap也可用于偏差、置信区间和分布估计等计算

本节课内容 重采样技术（resampling） Bootstrap 刀切法（jackknife）

引言 假设我们想知道 的方差 如果 的形式比较简单，可以直接用上节课学习的嵌入式估计量 作为 的估计 例： ，则 ，其中 是一个统计量，或者是数据的某个函数，数据来自某个未知的分布F，我们想知道 的某些性质（如偏差、方差和置信区间） 假设我们想知道 的方差 如果 的形式比较简单，可以直接用上节课学习的嵌入式估计量 作为 的估计 例： ，则 ，其中 问题：若 的形式很复杂（任意统计量），如何计算/估计？

Bootstrap简介 Bootstrap是一个很通用的工具，用来估计标准误差、置信区间和偏差。由Bradley Efron于1979年提出，用于计算任意估计的标准误差 术语“Bootstrap”来自短语“to pull oneself up by one’s bootstraps” （源自西方神话故事“ The Adventures of Baron Munchausen”，男爵掉到了深湖底，没有工具，所以他想到了拎着鞋带将自己提起来） 计算机的引导程序boot也来源于此 意义：不靠外界力量，而靠自身提升自己的性能，翻译为自助/自举 1980年代很流行，因为计算机被引入统计实践中来

Bootstrap简介 Bootstrap：利用计算机手段进行重采样 一种基于数据的模拟（simulation）方法，用于统计推断。基本思想是：利用样本数据计算统计量和估计样本分布，而不对模型做任何假设（非参数bootstrap） 无需标准误差的理论计算，因此不关心估计的数学形式有多复杂 Bootstrap有两种形式：非参数bootstrap和参数化的bootstrap，但基本思想都是模拟

重采样 通过从原始数据 进行n次有放回采样n个数据，得到bootstrap样本 如：若原始样本为 则bootstrap样本可能为 对原始数据进行有放回的随机采样，抽取的样本数目同原始样本数目一样 如：若原始样本为 则bootstrap样本可能为 …

计算bootstrap样本 重复B次， Web上有matlab代码： 1. 随机选择整数 ，每个整数的取值范围为[1, n]，选择每个[1, n]之间的整数的概率相等，均为 2. 计算bootstrap样本为： Web上有matlab代码： BOOTSTRAP MATLAB TOOLBOX, by Abdelhak M. Zoubir and D. Robert Iskander, http://www.csp.curtin.edu.au/downloads/bootstrap_ toolbox.html Matlab函数：bootstrp

Bootstrap样本 在一次bootstrap采样中，某些原始样本可能没被采到，另外一些样本可能被采样多次

模拟 假设我们从 的分布 中抽取IID样本 ，当 时，根据大数定律， 也就是说，如果我们从 中抽取大量样本，我们可以用样本均值 来近似 也就是说，如果我们从 中抽取大量样本，我们可以用样本均值 来近似 当样本数目B足够大时，样本均值 与期望 之间的差别可以忽略不计

模拟 更一般地，对任意均值有限的函数h，当 有 则当 时，有 用模拟样本的方差来近似方差

模拟 怎样得到 的分布？ 怎样得到F？用 代替（嵌入式估计量） 怎样从 中采样？ 已知的只有X，但是我们可以讨论X的分布F 怎样得到 的分布？ 已知的只有X，但是我们可以讨论X的分布F 如果我们可以从分布F中得到样本 ，我们可以计算 怎样得到F？用 代替（嵌入式估计量） 怎样从 中采样？ 因为 对每个数据点 的质量都为1/n 所以从 中抽取一个样本等价于从原始数据随机抽取一个样本 也就是说：为了模拟 ，可以通过有放回地随机抽取n个样本（bootstrap 样本）来实现

Bootstrap：一个重采样过程 重采样： 模拟： 通过从原始数据 进行有放回采样n个数据，得到bootstrap样本 为了估计我们感兴趣的统计量 的方差/中值/均值，我们用 bootstrap样本对应的统计量（bootstrap复制） 近似，其中

例：中值 X1=(1.57,0.22,19.67, 0,0,2.2,3.12) Mean=4.13 X = (3.12, 0, 1.57, 19.67, 0.22, 2.20) Mean=4.46 X2=(0, 2.20, 2.20, 2.20, 19.67, 1.57) Mean=4.64 X3=(0.22, 3.12,1.57, 3.12, 2.20, 0.22) Mean=1.74

Bootstrap方差估计 方差： 其中 通过两步实现： 注意：F为数据X的分布，G为统计量T的分布 第一步：用 估计 第一步：用 估计 插入估计，积分符号变成求和 第二步：通过从 中采样来近似计算 Bootstrap采样+大数定律近似

Bootstrap：方差估计 Bootstrap的步骤： 1.画出 2.计算 3.重复步骤1和2共B次，得到 4. （计算boostrap样本） （计算boostrap复制） （大数定律）

例：混合高斯模型： 假设真实分布为 现有n=100个观测样本： 直接用嵌入式估计结果：

例：混合高斯模型（续） 用Bootstrap计算统计量 的方差： 1. 得到B=1000个bootstrap样本 ，其中 3. 与直接用嵌入式估计得到的结果比较：

Bootstrap：方差估计 真实世界： Bootstrap世界： 发生了两个近似 近似的程度与原始样本数目n及bootstrap样本的数目B有关

Bootstrap：方差估计 在方差估计中， 可为任意统计函数 除了用来计算方差外，还可以用作其他应用 如均值（混合高斯模型的例子） 在方差估计中， 可为任意统计函数 如均值（混合高斯模型的例子） 中值（伪代码参见教材） 偏度（例子参见教材） 极大值（见后续例子） … 除了用来计算方差外，还可以用作其他应用 CDF近似、偏差估计、置信区间估计

CDF近似 令 为 的CDF 则 的bootstrap估计为

偏差估计 偏差的bootstrap估计定义为： Bootstrap偏差估计的步骤为： 得到B个独立bootstrap样本

例：混合高斯模型： 标准误差估计 偏差估计 在标准误差估计中，B为50到200之间结果比较稳定 B 10 20 50 100 500 1000 10000 0.1386 0.2188 0.2245 0.2142 0.2248 0.2212 0.2187 B 10 20 50 100 500 1000 10000 5.0587 4.9551 5.0244 4.9883 4.9945 5.0035 4.9996 0.0617 -0.0417 0.0274 -0.0087 -0.0025 0.0064 0.0025

Bootstrap置信区间 正态区间： 百分位区间： ，对应 的样本分位数 还有其他一些计算置信区间的方法 简单，但该估计不是很准确，除非 接近正态分布 百分位区间： ，对应 的样本分位数 还有其他一些计算置信区间的方法 如枢轴置信区间：

例：Bootstrap置信区间 例8.6：Bootstrap方法的发明者Bradley Efron给出了下列用语解释Bootstrap方法的例子。这些数据是LAST分数（法学院的入学分数）和GPA。计算相关系数及其标准误差。 LSAT (Y) 576 635 558 578 666 580 555 661 651 605 653 575 545 572 594 GPA (Z) 3.39 3.30 2.81 3.03 3.44 3.07 3.00 3.43 3.36 3.13 3.12 2.74 2.76 2.88 2.96

例8.6 （续） 相关系数的定义为： 相关系数的嵌入式估计量为： Bootstrap得到的相关系数插入估计的标准误差为： 标准误差趋向稳定于 25 50 100 200 400 800 1600 3200 0.140 0.142 0.151 0.143 0.141 0.137 0.133 0.132 标准误差趋向稳定于

例8.6 （续） 当B=1000时， 的直方图为下图，可近似为从 的分布采样 95%的正态区间为： 95%的百分点区间为： 的直方图为下图，可近似为从 的分布采样 95%的正态区间为： 95%的百分点区间为： 当大样本情况下，这两个区间趋近于相同

非参数bootstrap过程总结 对原始样本数据 进行重采样，得到B个bootstrap样本 ，其中b=1, …, B 对每个bootstrap样本 ，计算其对应的统计量的值（bootstrap复制） 根据bootstrap复制 ，计算其方差、偏差和置信区间等 称为非参数bootstrap方法，因为没有对F的先验（即F的知识仅从样本数据中获得）

非参数bootstrap 统计量/统计函数： 没有对F的先验，F的知识仅从样本数据中获得（CDF估计），统计函数的估计变为嵌入式估计 真实世界： Bootstrap世界： 如方差计算中，发生了两个近似 近似的程度与样本数目n及bootstrap样本的数目B有关

Bootstrap的收敛性 例：混合高斯模型： n=100个观测样本： 4次试验得到不同B的偏差和方差的结果

Bootstrap的收敛性 B的选择取决于 计算机的可用性 问题的类型：标准误差/偏差/置信区间/… 问题的复杂程度

Bootstrap失败的一个例子 ，我们感兴趣的统计量 为 的CDF用G表示 则 的pdf为

Bootstrap失败的一个例子（续） 对非参数bootstrap，令 则 所以 ，非参数bootstrap不能很好地模拟真正的分布

Bootstrap失败的一个例子（续） 假设样本数目n=10，样本为 ，取参数 X = (0.5729,0.1873,0.5984,0.2883,0.8722,0.4320,0.4896,0.7106,0.2754,0.7637) 理论结果： 非参数bootstrap复制 的直方图 B=1000，最高峰为

Bootstrap失败的一个例子 为什么失败？ EDF 不是真正分布 的很好近似 为了得到更好的结果，需要F的参数知识或者 的平滑性

Bootstrap的收敛性 给定n个IID数据 ，要求 当 ， 收敛于F 为 的嵌入式估计 统计函数的平滑性 平滑函数： 为 的嵌入式估计 统计函数的平滑性 平滑函数： 均值、方差… 不平滑函数：数据的一个小的变化会带来统计量的很大变化 顺序统计量的极值（极大值、极小值）

参数化的bootstrap 真实世界： Bootstrap世界： 与非参数的bootstrap相比： F的先验 F的先验用参数模型表示 多了一个步骤：根据数据估计参数 （参数估计），从而得到 不是经验分布函数EDF 重采样：从估计的分布 采样（产生随机数） F的先验

例： 非参数bootstrap失败的例子 ，取参数 ，假设样本数目n=10，样本为 在参数bootstrap中： F的先验： X = (0.5729,0.1873,0.5984,0.2883,0.8722,0.4320,0.4896,0.7106,0.2754,0.7637) 在参数bootstrap中： F的先验： 根据数据估计F中的参数： 得到F的估计： 从分布 产生B=1000个样本 ， 得到B个 , 直方图如右图 的分布为真正的分布

参数化的bootstrap 当F为参数模型时，参数化的bootstrap也可用于计算方差、偏差、置信区间等 如计算方差： 0. 根据数据 估计 f 的参数 ，得到 f 的估计 1. 抽取样本 2. 计算 3. 重复步骤1和2 B次，得到 4.

参数bootstrap Vs. 非参数的bootstrap F的先验 参数bootstrap中利用了分布F的先验，表现为一个参数模型，因此多了一个步骤，估计F模型中的参数。当先验模型正确时，参数bootstrap能得到更好的结果 而非参数bootstrap不利用F的先验知识就能得到正确的标准误差（在大多数情况下） 参数bootstrap能得到与Delta方法（计算变量的函数的方差）相当的结果，但更简单 重采样 参数bootstrap中，通过从分布 中产生随机数，得到 bootstrap样本，得到的样本通常与原始样本不重合 非参数bootstrap中，通过对原始样本进行有放回采样实现对 的采样，每个bootstrap样本都是原始样本集合的一部分 二者相同的是模拟的思想

Bootstrap（参数/非参数）不适合的场合 小样本（n太小） 原始样本不能很好地代表总体分布 Bootstrap只能覆盖原始样本的一部分，带来更大的偏差 结构间有关联 如时间/空间序列信号 因为bootstrap假设个样本间独立 脏数据 奇异点(outliers)给估计带来了变化

刀切法（jackknife）

引言 Bootstrap方法并不总是最佳的。其中一个主要原因是bootstrap样本是从 产生而不是从F产生。 如果样本数目为n，答案是否定的！ 若样本数目为m (m < n)，则可以从F中找到数目为m的采样/重采样，通过从原始样本X得到不同的子集就可以！ 寻找原始样本的不同子集相当于从观测 进行无放回采样，得到数目为m的重采样样本（在此称为子样本）这就是jackknife的基本思想。

刀切法（jackknife） Jackknife由Maurice Quenouille (1949)首先提出 比bootstrap出现更早 与bootstrap相比，Jackknife ( m=n-1) 对计算机不敏感。 Jackknife为一种瑞士小折刀，很容易携带。通过类比， John W. Tukey (1958)在统计学中创造了这个术语，作为一种通用的假设检验和置信区间计算的方法。

Jackknife样本 Jackknife样本定义为：一次从原始样本 中留出一个样本 ： Jackknife样本中的样本数目为m=n-1 共有n个不同的jackknife样本 无需通过采样手段得到 jackknife样本 BOOTSTRAP MATLAB TOOLBOX中也有该功能

Jackknife复制 统计量为： Jackknife复制为： 均值的jackknife复制为：

Jackknife方差估计 从原始样本X中计算n个jackknife样本 计算n个jackknife复制：

例：计算均值的方差 ，则 所以 方差的无偏估计

例：计算均值的方差 因子 比bootstrap中的因子 大多了。 直观上，因为jackknife 方差 比bootstrap中的方差 小得多（相比bootstrap样本，jackknife样本与原始样本更相似 事实上，因子 就是考虑特殊情况 得到的 （有点武断）

例：混合高斯模型： Bootstrap结果： Jacknife结果： B 10 20 50 100 500 1000 10000 0.1386 0.2188 0.2245 0.2142 0.2248 0.2212 0.2187 0.0617 -0.0417 0.0274 -0.0087 -0.0025 0.0064 0.0025

例：混合高斯模型： 复制的直方图 1000个Bootstrap复制 100个Jacknife复制 Jackknife复制之间的差异很小，每两个Jackknife样本中只有两个单个的原始样本不同

Jackknife Vs. bootstrap 当n较小时，能更容易（更快）计算 n个 jackknife复制。 但是，与bootstrap 相比，jackknife只利用了更少的信息（更少的样本） 。 事实上， jackknife为bootstrap的一个近似（jackknife方差为bootstrap方差的一阶近似）！ 估计样本分位数时，jackknife计算的方差不是一致估计

Jackknife的其他应用 Jackknife可用于类似bootstrap的应用，如偏差估计

Jackknife不适合的场合 统计函数不是平滑函数：数据小的变化会带来统计量的一个大的变化 如极值、中值 如对数据 X=(10,27,31,40,46,50,52,104,146)的中值 得到的结果为48,48,48,48,45,43,43,43,43 偶数个数的中值为最中间两个数的平均值 当函数不平滑时，可以用delete-d jackknife子采样来弥补 每个delete-d jackknife样本中的样本的数目为n-d 共有 个不同的delete-d jackknife样本 d的取值：

参考文献 Books Special issues An Introduction to Bootstrap, B. Efron and R. J. Tibshirani, Chapman & Hall, 1998. Bootstrap Methods and Their Application, A. Davidson and D. Hinkley, Cambridge University Press, 1997. Randomization, Bootstrapping, and Monte Carlo Methods in Biology, Manly, Chapman & Hall, 1997. Special issues Silver Anniversary of the Bootstrap, Statistical Science, Vol. 18, nb. 2, May 2003. Signal Processing Applications Of The Bootstrap by S. Shamsunder; Computer-intensive methods in statistical analysis by D.N. Politis; The bootstrap and its application in signal processing, A.M. Zoubir and B. Boashash, in IEEE Signal Processing Magazine, January 1998. ——有Demo

参考文献 对bootstrap的批判 Exploring the limits of bootstrap edited, by Le Page and Billard, 1990

下节课内容 作业： Chp8: 第1、6题 第1题GPA的最后一个数值为2.96 下节课内容 参数推断：Chp9