例1.设 求AB.
解：把A,B分块成
所以 AB＝
其中 于是
4.分块矩阵的转置 设分块矩阵 则
5.分块对角矩阵（准对角矩阵）. 设 其中 显然
若 则 , 所以
例2. 设 解：
所以
例3 设 A 的伴随矩阵 且ABA-1 = BA-1 + 3E, 求矩阵B。 解 由 | A* | = |A|n-1, 有|A|3= 8 , 得 |A| = 2。在 ABA-1 = BA-1 + 3E 的两边左乘 A*，右乘 A 得 2B = A*B + 6E 即 ( 2E － A* )B = 6E
故 B = 6 (2E－A* )-1 由于 2E－A* ＝ 所以 (2E－A*)-1 =
因此
6.分块矩阵的应用 设A为m×n矩阵，将A按行分块，得 其中 是A的第 i 行. 将A按列分块,得 A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
记 A = X = b = B =
其中 A 称为系数矩阵, x 称为 利用矩阵的乘法,此方程可记为: 未知向量 , b 称为常数项向量 , B 称为增广矩阵, 记为: 或 B = ( A,b ) = ( β1, β2,… , β n , b ) 利用矩阵的乘法,此方程可记为: Ax = b
按行分块矩阵, Ax = b又可写成: 即 αi Tx = bi ( i = 1, 2, … , m ) .
按列分块矩阵, Ax = b又可写成 即 x1β1+ x2 β2 + … + xn βn = b
距阵主要知识网络图 m×n个数aij (i = 1,2,…,m ; j =1,2,…,n) 构成的数表 概念 矩阵 特殊矩阵 对角矩阵:主对角元素是 其余元素都是零的n阶方阵 对称矩阵: AT = A 反对称矩阵: AT = －A
n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子式构成的矩阵 A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运算 AB = C 其中 AT: AT 的第i行是A的第i列. ,A必须是方阵. |A|= detA n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子式构成的矩阵 伴随矩阵
如果AB=BA=E,则A可逆， B是A的逆矩阵. 概念 用定义 用伴随矩阵 逆矩阵 求法 分块对角矩阵 |A| ≠ 0 , A可逆 . |A| = 0 , A不可逆 . 证法 AB = E , A与B互逆 反证法
作业 1.利用逆矩阵解线性方程组: 2.设
3.设n阶矩阵A和s阶矩阵B都可逆,求