CHAPTER 5 功與能量 第一節 功與功率 第二節 動能與功能定理 第三節 位能 第四節 力學能守恆
第一節 功與功率 一、 以力與位移的純量積定義功 課本 P.94 第一節 功與功率 一、 以力與位移的純量積定義功 當我們對一個物體施加一個外力F時，若物體產生的位移為d，而外力與位移如果方向平行，則稱對物體作功W
功與功率 課本 P.94 上式若F與d為相同方向，稱對物體作正功取正號；若F與d為方向相反，則對物體作負功取負號；當F與d的方向夾一 θ角時，如圖5-1所示，此時施力F對物體的作功變為
功與功率 課本 P.94 且由上式亦可看出當0≦θ＜90，則cosθ 為正，即W＞0對物體作正功；若90<θ≦180o，則cosθ為負，即W＜0對物體作負功。但若θ ＝90o，則此時W＝0，即對物體不作功（或作功為零）。如圖5-2所示。
功與功率 課本 P.94
功與功率 課本 P.94 施力F的單位為牛頓N，位移d的單位為公尺m，則功的單位為N‧m，稱為焦耳（Joule簡記為J），另一種較小單位為爾格（erg），爾格＝達因 x公分，是由較小的力量單位達因與公分所組成。
功與功率 課本 P.94 在光滑水平地面上，施一固定的水平力量F＝4牛頓，推動一個質量2.0公斤的物體，若沿力方向的水平位移5.0為公尺，則此力對物體共作了多少功？ (A) 4 (B) 8 (C) 10 (D) 20 (E) 40 焦耳。
功與功率 課本 P.94
功與功率 課本 P.95 物理學上對功的定義，必須在對物體施力的情形下，而且有同方向上的位移，這樣的施力才對物體作功；這和一般認知上有些差異，例如一個人提著重物站在原地等公車，雖然提重物又累又費力，但就物理角度而言，卻是沒有做功，因為沒有同方向上的位移。
功與功率 課本 P.95 二、 平均功率與瞬時功率 前述對於功的討論，如果考慮時間的因素，則定義在每單位時間內，施力所做的功，稱為功率（Power），記為P。亦即在單位時間 Δt對物體作功 ΔW，則這段時間內的平均功率為：
當選取的時間 Δt逐漸縮短，直到趨近於零時，即Δt → 0，則此時極短瞬間的平均功率便稱為瞬時功率，數學式寫成： 功與功率 課本 P.95 當選取的時間 Δt逐漸縮短，直到趨近於零時，即Δt → 0，則此時極短瞬間的平均功率便稱為瞬時功率，數學式寫成： 計算時因無法直接代入極短的時間 Δt，因此須改變其運算過程：由 ΔW＝F (Δx) cos θ（為了物理符號使用習慣，將物體位移由d改為 Δx），代入上式，則：
式中v為物體的瞬時速度大小，而θ 則為F與夾角，利用前面提到的內積觀念，可寫為： 功與功率 課本 P.95~96 式中v為物體的瞬時速度大小，而θ 則為F與夾角，利用前面提到的內積觀念，可寫為： 利用此式中的瞬間作用力（或是定力）F，與物體瞬時速度v，可以很容易計算出物體的瞬時功率
功與功率 課本 P.95~96 如圖5-4的賽車，可以計算其功率；而功率的單位為瓦特（Watt，記為W），乃是焦耳/秒（J/s）；或是牛頓 x公尺/秒＝焦耳/秒（N xm/s＝J/s），為了不同使用場合，另有千瓦（kilowatt 記為kW）的單位，即1 kW＝1000 W。
另一個在汽車工業上常用的功率單位則是馬力（horse power，記為hp），其換算關係為1hp＝746W。 功與功率 課本 P.96 另一個在汽車工業上常用的功率單位則是馬力（horse power，記為hp），其換算關係為1hp＝746W。
想想看，常見的汽車性能介紹中，會聽到有德制馬力與日制馬力，兩者有何不同呢？ 功與功率 課本 P.96 想想看，常見的汽車性能介紹中，會聽到有德制馬力與日制馬力，兩者有何不同呢？
如圖5-5，上升中的電梯，由電梯的馬達輸出能量，克服物體的重量與摩擦力，使物體向上運動；過程中馬達輸出的功率為：負擔的力量F乘上上升速度v。 功與功率 課本 P.96 如圖5-5，上升中的電梯，由電梯的馬達輸出能量，克服物體的重量與摩擦力，使物體向上運動；過程中馬達輸出的功率為：負擔的力量F乘上上升速度v。
某人拖動於水平地面上的行李，施力方向和水平面夾60o，施力40牛頓，使行李以5公尺/秒作等速直線移動，此人對行李所施的功率為多少馬力？ 功與功率 課本 P.96 某人拖動於水平地面上的行李，施力方向和水平面夾60o，施力40牛頓，使行李以5公尺/秒作等速直線移動，此人對行李所施的功率為多少馬力？
功與功率 課本 P.96
功與功率 課本 P.96
某抽水機每分鐘可將3.6立方米之水抽高10米，則該抽水機之功率為若干仟瓦？ 功與功率 課本 P.96 某抽水機每分鐘可將3.6立方米之水抽高10米，則該抽水機之功率為若干仟瓦？ (A) 0.6 (B) 600 (C) 5.88 (D) 588 仟瓦。
功與功率 課本 P.96
功與功率 課本 P.96
第二節 動能與功能定理 在上一節的討論中，對物體施加一作用力，若是對物體作功，接下來要討論的是對物體產生的影響及變化。 課本 P.97 第二節 動能與功能定理 在上一節的討論中，對物體施加一作用力，若是對物體作功，接下來要討論的是對物體產生的影響及變化。 當施加一外力F於物體上，若其質量為m，考慮F與位移d為同方向，假設作功為W，則 W＝Fd＝(ma) d 若力保持不變，則加速度a可寫為 此乃由運動公式 移項而得
上式中的算式 ，乃定義為與物體運動有關的能量，是為純量，稱為動能（kinetic energy），習慣上以符號K表示，定義為 動能與功能定理 課本 P.97 上式中的算式 ，乃定義為與物體運動有關的能量，是為純量，稱為動能（kinetic energy），習慣上以符號K表示，定義為 其中m為物體質量，以公斤（kg）為單位，為物體速度，以公尺/秒（m/s）為單位，則K即為其動能大小，單位為焦耳（Joule）。
此式的涵義即為：對物體所做的功，變成物體動能的變化量。也就是功能定理（work-energy theorem）。 動能與功能定理 課本 P.97 此式的涵義即為：對物體所做的功，變成物體動能的變化量。也就是功能定理（work-energy theorem）。 若合力對物體作正功，則物體速率增加，動能上升；合力對物體作負功，則物體速率下降，動能減少。
動能與功能定理 課本 P.98 一質量為2.0 kg的物體以10 m/s2的速率在一光滑水平面上運動，一個與物體運動方向相反的力4.0 N作用於此物體上，使此物體的速率減少至6.0 m/s，當力作用期間，物體移動距離為 (A) 24 (B) 20 (C) 16 (D) 14 (E) 12 m。
動能與功能定理 課本 P.98
有一隻山羊的質量是50 kg，請問當牠在草原上以速度3 m/s奔跑時，牠的動能為 J。 動能與功能定理 課本 P.98 有一隻山羊的質量是50 kg，請問當牠在草原上以速度3 m/s奔跑時，牠的動能為 J。 對物體作功，可轉換為物體動能；相反的，也可以利用動能，轉換為對物體作功。例如具有動能的鐵鎚，敲打釘子進入牆壁中，使釘子克服牆壁摩擦力而能進入牆壁一段距離。
動能與功能定理 課本 P.98
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位能 課本 P.98 第三節 位能 一、 保守力與位能 當施加一力於物體上，並有同方向位移，則對物體做功，進而轉換為物體的能量；而在施力做功的過程中，物體行經的路徑，是否會影響到做功的量值大小呢？本節將以此出發，討論重力、彈力以及摩擦力的作功情形。
位能 課本 P.99 當一個物體質量為m，其具有另一種形式的能量，與物體的所在位置有關，稱為位能（potential energy）。在重力場中，若以vo 的初速度將其向上拋，高度越高，其速度越小，當到達最高點時，瞬間速度為零，則此時原本物體的動能到哪裡去了呢？隨著物體下降，物體的動能又漸漸增加，恢復成原來的大小，這又是從哪來呢？
位能 課本 P.99 當物體上升時，向下的重力與上升的物體反方向，所以重力做負功，導致物體動能逐漸減少；但是當物體由高點往下時，與重力同方向，所以重力作正功，使物體動能又逐漸增加。如圖5-7。
位能 課本 P.99 跳傘選手向下跳後，下降時動能漸增、重力位能漸減，但因為降落傘使下降速度減緩，因此原本應該增加的動能，就被空氣摩擦力產生的熱量抵銷了。如圖5-8所示。
位能 課本 P.99 在這個動能減少和增加的過程中，這些能量顯然並未喪失，只是轉換成某種形式能量並儲存起來，而此能量顯然和其位置高低（或是與地表的距離）有關，在此稱為重力位能（gravitational potential energy）。 同樣的情形也適用於彈簧，如圖5-9
位能 課本 P.99 當物體以速度v，動能為 的能量撞上彈簧，此時彈簧受力，開始產生恢復力向左（恢復原狀的力），恢復力與物體運動方向相反，因此對物體作負功，使物體動能逐漸減少，直到壓縮至物體瞬間速度為零，此時彈簧壓縮最嚴重
位能 課本 P.99 壓縮量最大，物體原本動能瞬間為零，全部轉移成彈簧的能量；接下來彈簧開始向左恢復原狀，此時物體動能逐漸增加，原本在彈簧中的能量，又逐漸釋放出來，直到彈簧恢復成原長度，物體動能也回到原來大小。
位能 課本 P.99~100 彈簧如此的能量變化，因為與其長度有關，所以將儲存於彈簧內部的能量，定義為彈性位能。綜合上述討論，將與相對位置或是形變有關的能量形式，均稱為位能。 在物體的受力過程中，若此力量對物體的作功大小，僅與其最初與最終的位置有關，而與過程中的路徑完全無關，則這樣的力量稱為叫保守力（conservative force）。
位能 課本 P.100 舉重力為例說明，如左圖5-10，讓物體A沿著斜面方向向下到地面，另外讓物體B沿著垂直方向向下到達地面（此時先不考慮摩擦力），兩者在重力方向上的位能變化，就A而言為mg sinθ L＝mg (L sin θ)＝mgh；假設物體B的質量也是m，則其能量變化為mgh，重力皆對A、B作正功，其位能均增加mgh的大小。
至於像摩擦力，隨著路徑不同，摩擦力的大小也各自不同，因此不同路徑摩擦力作的功，也不一樣，因此絕對與路徑有關；所以摩擦力屬於非保守力。 位能 課本 P.100 至於像摩擦力，隨著路徑不同，摩擦力的大小也各自不同，因此不同路徑摩擦力作的功，也不一樣，因此絕對與路徑有關；所以摩擦力屬於非保守力。
位能 課本 P.100 二、 重力位能與彈力位能 由上面的舉例中可見，物體A或B雖然路徑不同，但是一樣由同一高度到達地面，則其重力位能的變化也一樣，都是mgh，接下來對物體的重力位能形式作詳細討論。 假設一物體質量m以 vo初速度往上拋，當其到達最高點時原本在地面的動能 瞬間為零，若考慮運動公式v2=2gh ，則
在最高點轉換成為重力位能的大小為mgh，若兩邊同時乘上負號，則變成： 課本 P.100~101 在最高點轉換成為重力位能的大小為mgh，若兩邊同時乘上負號，則變成： 等號左邊代表到達最高點時動能變化量，右邊則代表重力對物體作負功；通常重力對物體作負功，則其重力位能增加，增加的量值即為重力作功的大小；若是重力對物體作正功，則其重力位能減少，減少的量值即為重力所作正功的量。
現在分別以W來代表重力對物體的作功，U代表物體的重力位能，若物體原來重力位能為U1 ，後來重力位能為U2 ，則可得下式： 課本 P.101 現在分別以W來代表重力對物體的作功，U代表物體的重力位能，若物體原來重力位能為U1 ，後來重力位能為U2 ，則可得下式： W=-(U2-U1)=-ΔU
位能 課本 P.101 其中U＝mgh，所以 ΔU＝mg (Δh)，負號即代表重力作功的正負，與物體重力位能變化的增減相反；若質量m的單位為kg（公斤），重力加速度單位為m/s2，高度變化的單位為m（公尺），則重力位能的單位為焦耳（J），與前述作功W的單位相同。
位能 課本 P.101 計算重力位能時，參考座標原點位置訂定後，才有辦法描述其大小；假設將地面定為參考座標原點O的位置，若將一物體由地面提升至高度h的位置，假設物體質量為m，則提起物體的外力為mg，則此過程中外力作正功mgh，同時重力作負功，使得物體儲存重力位能mgh，並以U1 及U2 分別代表物體在地面及高度h處的重力位能，則： 外力作功
上述的討論，都是針對重力加速度g為定值的情形，因此只適用於地表附近。 位能 課本 P.101 上述的討論，都是針對重力加速度g為定值的情形，因此只適用於地表附近。 位能的討論，只在物體有相對位置的變化時，才有意義，單獨看某一點的位能大小是沒有意義的；通常討論時，習慣取地面的重力位能為零，則任一點的位能可表示為
將質量50 kg之重物由地面搬至3公尺高處，需作功 焦耳。 位能 課本 P.101 將質量50 kg之重物由地面搬至3公尺高處，需作功 焦耳。 解：U＝mgh＝50 x9.8 x3＝1470 J
位能 課本 P.101
接下來針對彈簧的情形討論，前面已利用虎克定律，討論過其受力與形變量的情形，現在對其伸長或壓縮時的能量變化作討論。 位能 課本 P.102 推力所作的功等於物體重力位能的增加 W＝ΔU＝mg (Δh) 由於三者高度差相同，所以作功相等。 接下來針對彈簧的情形討論，前面已利用虎克定律，討論過其受力與形變量的情形，現在對其伸長或壓縮時的能量變化作討論。
位能 課本 P.102 將彈簧一端固定於牆壁上，另一端綁住一質量m物體，為簡化討論，先不考慮彈簧質量與摩擦力，令彈簧的彈力常數為k，並使物體在彈簧伸長量為零時具有速度vo ，則其原始動能為 ，由此開始向左運動，並以此為座標原點O向左為負，如左圖5-12；當物體開始向左運動，隨著彈簧伸長量的拉長，則向右的恢復力也逐漸增加，恢復力f＝-kx，負號代表與物體位移反方向，此時恢復力對物體作負功，其作功大小為
如圖5-13所示，若彈簧位置變化由x1 →x2 ，則其作功大小為W= 位能 課本 P.102 如圖5-13所示，若彈簧位置變化由x1 →x2 ，則其作功大小為W= 定義彈簧的位能形式為U(x)=-W(x1→x) ，若選擇x1 為參考原點（彈簧原長位置），則x1＝0，其位能為 。
若以 Ws代表彈簧恢復力對物體的作功，Us1及Us2 代表彈簧在不同前後位置的位能，則上述可寫為 課本 P.102 因此彈簧的彈力位能與其長度變化量有關，而且僅與長度有關，當彈簧恢復力對物體作正功，則物體動能增加；反之，當恢復力對物體作負功，則物體動能減少，所以彈力屬於保守力。 若以 Ws代表彈簧恢復力對物體的作功，Us1及Us2 代表彈簧在不同前後位置的位能，則上述可寫為
如左圖5-13所示，外力對彈簧作功，轉變成為其彈力位能，當伸長量由0增加到x時，其彈力位能為 課本 P.102~103 如左圖5-13所示，外力對彈簧作功，轉變成為其彈力位能，當伸長量由0增加到x時，其彈力位能為 ；和重力位能類似，習慣上訂定彈簧伸長量為零時（x＝0），也就是此時的彈力位能是零，而伸長量（或是壓縮量）為x時則為 ，所以彈力位能形式為
位能 課本 P.103 彈簧的彈力位能可以由其他能量轉移而得（如物體的動能），也可以直接對彈簧作功，使能量儲存成為彈力位能，例如利用外力將彈簧拉長，則此克服其恢復力的外力所做的作功，轉移成彈力位能；如右圖5-14的射箭選手施力拉弓，所做的功轉換成為彈力位能，使箭具有動能射出。
一彈簧遵守虎克定律，由原長壓縮5公分需施力10克重，令g＝10公尺/秒2，由原長拉長10公分需作功多少 焦耳。 位能 課本 P.103 一彈簧遵守虎克定律，由原長壓縮5公分需施力10克重，令g＝10公尺/秒2，由原長拉長10公分需作功多少 焦耳。
位能 課本 P.103
位能 課本 P.103
位能 課本 P.103 有一輕彈簧置於光滑水平桌面上，一端固定於牆壁，其力常數為100 N/m，有一質量為1 kg的木塊以速率4 m/s，如圖5-16，沿彈簧軸線方向撞擊彈簧的另一端，則彈簧的最大壓縮量為何？ (A) 1.6 (B) 0.8 (C) 0.4 (D) 0.2 (E) 0.1 m。
位能 課本 P.103
力學能守恆 課本 P.104 第四節 力學能守恆 由上節的討論得知，當物體受到保守力的作用時，其對物體所做的功，可用位能的形式表示，位能則僅是位置的函數與路徑無關，例如重力位能U＝mgh，彈力位能Us= kx2 ；而根據前面討論的功能定理，當外力對物體作功時，可以轉變為其動能變化量，即W＝ΔK
力學能守恆 課本 P.104 在上節中討論過，重力對物體作功，與其重力位能變化的關係，乃為W＝-(U2-U1)＝-ΔU；若換成彈力對物體作功，則與其彈力位能的關係變成Ws ＝-(Us2-Us1)＝-ΔUs；
結合上述的重力與彈力的形式，可得W＝－ΔU，加上W＝ΔK，可得ΔK＝ΔU，也就是 力學能守恆 課本 P.104 結合上述的重力與彈力的形式，可得W＝－ΔU，加上W＝ΔK，可得ΔK＝ΔU，也就是
力學能守恆 課本 P.104 此式的含意即為：物體的初始動能與位能的總和，當受到保守力作用時，此值保持不變，等於物體後來的動能與位能的總和。此總和定義為物體的力學能或是機械能（mechanical energy），以E表示。寫成 E＝K＋U
力學能守恆 課本 P.104 物體在只受到保守力作用時，其動能或位能產生變化，但是總和不變，即力學能守恆。如圖5-18中的籃球，上升過程中動能逐漸減少，但是位能逐漸增加，動能減少的量值，等於位能增加的量值。
力學能守恆 課本 P.104 又如圖5-19所示，懸吊於彈簧下方的物體，因為重量將彈簧往下拉，此時彈力位能增加，物體重力位能減少；而彈力位能增加的量值，即為重力位能減少的量值，所以受到重力作用屬於保守力，其力學能保持不變。
力學能守恆 課本 P.105
力學能守恆 課本 P.105
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一彈簧之彈力常數為10牛頓/公分，在彈性限度內將其拉長30公分，須施力 牛頓，此時彈簧之位能為 焦耳。 力學能守恆 課本 P.105 一彈簧之彈力常數為10牛頓/公分，在彈性限度內將其拉長30公分，須施力 牛頓，此時彈簧之位能為 焦耳。
力學能守恆 課本 P.105