第三章 半导体中载流子的统计分布 重点和难点 热平衡时非简并半导体中载流子的浓度分布 费米能级EF的相对位置

在一定温度下，若无其它外界作用， 半导体中的导电电子和空穴是依靠电子的热激发作用而产生的，电子从热振动的晶格中获得能量，可从低能量的量子态跃迁到高能量的量子态. 如本征激发，形成导带电子和价带空穴

电子和空穴也可以通过杂质电离方式产生，当电子从施主能级跃迁到导带时产生导带电子；当电子从价带激发到受主能级时产生价带空穴等。

相反的过程----即电子也可以从高能量的量子态跃迁到低能量的量子态，并向晶格放出一定能量(声子)，从而使导带中的电子和价带中的空穴不断减少，这一过程称为载流子的复合。

T定，两个相反的过程之间将建立起动态平衡---热平衡状态。热平衡状态下,半导体中的导电电子浓度和空穴浓度保持一个稳定的数值.称为热平衡载流子 若温度改变，情况如何？

半导体的导电性强烈地随温度而变化。原因就在于半导体中载流子浓度随温度而变化。 要深入了解半导体的导电性及其他许多性质，必须探求半导体中载流子浓度随温度变化的规律，解决如何计算一定温度下半导体中热平衡载流子浓度的问题。 但重点涉及平衡态,不讨论非平衡态.

要得到: 1. 热平衡载流子浓度; 2. 热平衡载流子浓度随温度的变化; 需要知道： 1. 允许的量子态(允态)按能量如何分布； 2. 电子在允许的量子态中如何分布。

3.1 状态密度 解决第一个问题: 1. 允许的量子态(允态)按能量如何分布? 3.1 状态密度 解决第一个问题: 1. 允许的量子态(允态)按能量如何分布? 半导体的导带和价带中，有很多能级存在。但相邻能级间隔很小，约为10-22eV数量级，能级可看成连续。可将能带分为能量很小的间隔来处理。

假定在能带中能量E～（E+dE）之间无限小的能量间隔dE内有dZ个量子态，则状态密度g（E）为: （3-1） g（E）：能量E附近每单位能量间隔内量子态数 第一个问题: 允许的量子态(允态)按能量如何分布?

怎样得到g（E）? 通过k(k空间) 计算k空间的状态密度 1.算出单位k空间中量子态数（k空间的状 根据 可求的状态密度g(E) 态密度）。 2.算出k空间中与能量dE 即E～(E+dE）间对应的k空间体积，用k空间体积和k空间中的状态密度相乘（dZ）。 根据 可求的状态密度g(E)

3.1.1 k空间中量子态的分布 半导体中电子的允态（即能级）用波矢k标志，但是电子波矢k不能取任意的数值，而是受到一定条件的限制。

用kx ky kz坐标轴的直角坐标系描写k空间。显然，在k空间中，由一组整数（ nx ny nz ）给出k空间一点且对应一定的波矢k。

该点是电子的一个允态的代表点。 由于nx ny nz只能取整数，不同的整数（ nx ny nz ）决定了不同的点，对应着不同的波矢k，代表了电子不同允态，因此，电子有多少个允态，在k空间中就有多少个代表点（如图）。

任一代表点的坐标，沿三个坐标轴kx ky kz方向均为1/L的整数倍，所以代表点在k空间中是均匀分布的。

k空间中，电子的允许能量状态密度是V。 考虑电子的自旋，k空间中每一个代表点代表自旋方向相反的两个量子态 ∴ k空间中，电子的允许量子态密度是2V

3.1.2 状态密度 允许的量子态(允态)按能量如何分布? 计算半导体导带底附近的状态密度

一、考虑能带极值在k=0，等能面为球面 （抛物线假设）的情况。 导带底附近E(k)与k的关系：

两个球壳之间体积是4лk2dk，k空间中量子态密度是2V，所以，在能量E～(E+dE)之间的量子态数为 dZ=2V×4 лk2dk

由式（3-2）求得k与E的关系

允许的量子态(允态)按能量如何分布? 说明：导带底附近单位能量间隔内的量子态数目，随着电子的能量增加按指数关系增大。即电子能量越高，状态密度越大。

同理可算得价带顶附近状态密度gv（E）为: 在图3-2的曲线表示了gv（E）与E的关系曲线。

二 实际半导体硅、锗，导带底附近，等能面为 旋转椭球面 EC：极值能量 可计算得 S：对称状态数 mdn: 导带底电子状态密度有效质量

硅：导带底共有六个对称状态 s=6，将m1，mt的值代入式，计算得mdn=1.08 m0 。 对锗, s= 4，可以计算得mdn=0.56 m0 硅、锗中，价带中起作用的能带是极值相重合的两个能带，这两个能带相对应有轻空穴有效质量（mp）1和重空穴有效质量（mp）h。

价带顶附近状态密度应为这两个能带的状态密度之和。相加之后，价带顶附近gv（E）仍可下式表示，不过其中的有效质量mp为mdp. 硅，mdp=0.5m0；锗，mdp=0.37m0。 10学时

3.2 费米能级EF和载流子的统计分布 3.2.1 费米分布函数和费米能级 硅晶体中约有 5×1022 /cm3个硅原子，价电子数约有4×5×1022 /cm3个。

电子能量变化无常，看似无规。 在热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统计分布规律性，电子在不同能量的量子态上统计分布概率是一定的。 　 根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计律。

能量为E的一量子态被一个电子占据概率为f（E）. 的一个统计分布函数。 k0是破耳兹曼常数，T是热力学温度。

EF非常重要的一个量~费米能或费米能量，它和温度T、半导体材料的导电类型n、p，杂质的含量以及能量零点选取有关。 EF是一个很重要的物理参数，只要知道EF 数值，在定T下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定。

如何定出： 由半导体中能带内所有量子态中被电子占据的量子态数应等于电子总数N这一条件来决定，即

将半导体中大量电子的集体看成一个热力学系统，统计理论表明，费米能级EF是系统的化学势，即

意义： 系统处于热平衡状态，不对外界做功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级 处于热平衡状态的系统有统一的化学势！ 处于热平衡状态的电子系统有统一费米能级！

费米分布函数f（E）特性分析： 当T=0K时： 若E<EF，则f(E)=1， 若E>EF，则f(E)=0。

∴在热力学温度零度时，费米能级EF可看成量子态是否被电子占据的一个界限。

当T>0K时： 若E<EF，则f(E)>1/2 若 E=EF，则f(E)=1/2 若E>EF，则f(E)<1/2。

系统热力学温度> 0时，如量子态的能量比费米能级低，则该量子态被电子占据的概率>50%； 量子态的能量比费米能级高，则该量子态被电子占据的概率<50%。 量子态的能量等于费米能级时，则该量子态被电子占据的概率是50%。 标志----费米能级是量子态基本上被电子占据或基本上是空的

EF 的意义： 费米能级位置直观地标志了电子占据量子态情况. 费米能级标志了电子填充能级的水平

图给出的300K、1000K，1500K时f(E)与E的曲线，从图中看出，随着温度的升高，电子占据能量小于费米能级的量子态的概率下降，而占据能量大于费米能级的量子的概率增大。

费米能级EF 强p型 弱p型 弱n型 强n型 本征型 EC EV EI

3.2.2 玻尔兹曼分布函数 电子的费米分布函数 E-EF》k0T时

显然,在一定温度T，电子占据E的的概率由e-E/k0T定-----玻耳兹曼统计分布函数 fB(E)称为电子的玻耳兹曼分布函数

我们讨论f（E） ： f（E）表能量为E的量子态被电子占据的概率 1-f（E）必然表示能量为E的量子态不被电子占据的概率，表量子态空（被空穴占据）的概率。

表明当E远低于EF时，空穴占据能量为E的量子态的概率很小，即这些量子态几乎都被子电子所占据了。 空穴的费米分布函数 当（EF-E）》k0T时， 空穴的玻尔 兹曼分布函数 表明当E远低于EF时，空穴占据能量为E的量子态的概率很小，即这些量子态几乎都被子电子所占据了。

半导体材料中，EF位于禁带内，一般 Ec –EF 》k0T EF –Ev 对导带中的所有量子态，E–Ec>0,被电子占据的概率，一般都满足f(E)《1，半导体导带中的电子分布可以用电子的玻耳兹分布函数描写。 价带道理相同 EF Ec Ev

E增大，f(E)减小，导带中绝大多数电子分布在导带底附近 Ec Ev

价带中的量子态，被空穴占据的概率，一般满足1-f(E)《1。 价带中的空穴分布服从空穴的玻耳兹曼他分布函数。 E增大，1-f（E）增大，价带中绝大多数空穴集中分布在价带顶附近。 EC EV EF

（3-13）、（3-14）两个基本公式。 服从玻耳兹曼统计律的电子系统-----非简并性系统 服从费米统计律的电子系统-----------简并性系统

3.2.3 导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度 解决问题2：计算半导体中的载流子浓度。

状态密度为gc(E)，E处参量E～(E+dE）之间有dZ=gc(E)dE个量子态，而电子占据能量为E的量子态的概率是f（E），则在E～（E+dE）间有 f(E)gc(E)dE个电子。

从导带底到导带顶对f(E)gc(E)dE进行积分，就得到了能带中的电子总数，再除以半导体体积V，就得到了导带中的电子浓度。

图为能带、函数f(E)、1-f(E)、gc(E)、 gv(E) 等曲线

图为f(E)gc(E)和[1-f(E)]gv(E)等曲线。

在非简并情况下，导带中电子浓度可计算如下。 在能量E～（E+dE）间的电子数dN为

得能量E～（E+dE）之间单位体积中的电子数为

对上式各分，得热平衡状态下非简并半导体的导带电子浓度n0为

积分上限Ec是导带顶能量。 作一变换：x=(E-Ec)/(k0T)， （3-15）变为 导带宽

积分上限改为 无穷不影响结果。 导带中的电子绝大多数在导带底部附近。

数学处理上带来了很大的方便，（3-16）可改写：

Nc T3/2是一很重要的量，称为导带的有效状态密度，是温度的函数。

是电子占据能量为Ec的量子态的概率，（3-19）可理解为把导带中所有量子态都集中在导带底Ec， Ec处的状态密度为Nc。

同理，热平衡状态下，非简并半导体的价带中空穴浓度p0为

Nv T3/2是一很重要的量，称为价带的有效状态密度，是温度的函数。

空穴占据能量为Ev的量子态的概率 　可理解为把价带中所有量子态都集中在导带底Ev， Ev处的状态密度为Nv，则价带中的空穴浓度是Nv中有空穴占据的量子态数。

EF, T 确定，就可以计算导带电子浓度和价带空穴浓度 n0 、p0 与温度T有关，与EF有关。 T的影响来自两方面 ： Nc、Nv正比于T3/2 指数部分随温度迅速变化。

n0 、p0 与温度T有关，与EF有关。 可由n0p0 得到很有意思的结果。

所以 重要结论：电子和空穴的浓度乘积和费米能级无关。 半导体材料定，乘积n0p0只决定于温度T，与所含杂质无关。

普遍适用本征半导体和杂质半导体（热平衡状态、非简并）。 给定温度T，半导体材料不同，禁带宽度Eg不同，乘积n0p0也将不同。 普遍适用本征半导体和杂质半导体（热平衡状态、非简并）。

上式可看出，半导体材料定，则Eg一定。温度定，乘积n0p0定。 半导体处于热平衡状态时，载流子浓度的乘积保持恒定，如果电子浓度增大，空穴浓度就要减小；反之亦然。

3.3 本征半导体的载流子浓度 Eg －热激发所产生的载流子 －没有杂质和缺陷的半导体 T= 0 K，价带全满，导带全空 3.3 本征半导体的载流子浓度 －热激发所产生的载流子 －没有杂质和缺陷的半导体 T= 0 K，价带全满，导带全空 T≠0 K，热激发，电子从价带激发到导带（本征激发） EC EV Eg

本征激发，电子和空穴成对产生，n0=p0 本征激发下的电中性条件 由上式可求得本征半导体的费米能级EF （本征用符号Ei表示）。

上述三种半导体材料的1n（ mp*/mn* ）在2以下。 EF约在禁带中线附近1.5k0T范围内。 在室温（300K）下，k0T≈0.026eV，而硅、锗、砷化镓的禁带宽度约为1eV左右，因上式（3-30）中第二项小得多，所以本征半导体的费米能级Ei基本上在禁带中线处。 锑化铟室温时禁带宽度Eg≈0.17eV，而 mp*/mn* 之值约为32左右，于是它的费米能级Ei已经远在禁带之上。

本征载流子浓度ni为 式中Eg=Ec-Ev为禁带宽度。 讨论： 一定的半导体材料，本征载流子浓度ni随温度的升高而迅速增加（指数增长）； 不同的半导体材料，在同一温度T时，禁带宽度Eg越大，本征载流子浓度ni就越小。

n0p0=ni2 （质量作用定律） 说明: 在一定温度下，任何非简并半导体的热平衡载流子浓度的乘积n0p0等于该温度时的本征载流子浓度ni的平方，与所含杂质无关。 注意：不仅适用于本征半导体材料，而且也适用于非简并的杂质半导体材料。 12学时

常见半导体在室温下的本征载流子浓度： Si: ni=1.5×1010cm-3 Ge: ni=2.4×1013cm-3 GaAs: ni=1.1×107cm-3

常见半导体本征载流子浓度和温度关系 Lnni-1/T 直线关系

半导体中总是含有一定量的杂质和缺陷的，在一定温度下，欲使载流子主要来源于本征激发，要求半导体中杂质含量不能超过一定限度。 室温下，锗的本征载流子浓度为2.4×1013cm-3，而锗的原子密度是4.5×1022cm-3，于是要求杂质含量应该低于10-9。 硅室温本征情况，则要求杂质含量应低于10-12。对砷化镓在室温下要达到10-15以上的纯度才可能是本征情况，这样高的纯度，目前尚未做到。

半导体器件中，载流子主要来源于杂质电离，而将本征激发忽略不计，在本征载流子浓度没有超过杂质电离所提供的载流子浓度的范围，如杂质全部电离，载流子浓度是一定的，器件就能稳定工作。 随着温度的升高，本征载流子浓度迅速地增加。

举例子： RT处，纯硅的温度每升高8K左右，本征载 流子浓度就增加约一倍。 纯锗的温度每升高12K左右，本征载流子浓 度就增加约一倍。 温度足够高，本征激发占主要地位，器件将 不能正常工作。

每种半导体材料制成的器件都有一定的极限工作温度，超过这一温度后，器件就失效了。 室温电阻率为1Ω·cm左右的硅平面管，由掺入5×1015cm-3的施主杂质锑而制成的。在保持载流子主要来源于杂质电离时，要求本征载流子浓度至少比杂质浓度低一个数量级，即不超过5×1014cm-3 。

如果也以本征载流子浓度不超过5×1014cm-3的话，由右图查得对应温度为526K，所以硅器件的极限工作温度是520K左右。

由于本征载流子浓度随温度的迅速变化，用本征材料制作的器件性能很不稳定，所以制造半导体器件一般都用含有适当杂质的半导体材料。 砷化镓禁宽度比硅大，极限工作温度可高达720K左右，适宜于制造大功率器件。 由于本征载流子浓度随温度的迅速变化，用本征材料制作的器件性能很不稳定，所以制造半导体器件一般都用含有适当杂质的半导体材料。